解答含参指数与对数函数单调性问题的步骤

含参指对函数的单调性问题不仅涉及了参数，还涉及了指数函数式、对数函数式.这类问题的难度一般较大.很多同学在面对这类问题时不知如何下手，下面结合实例探讨一下，解答含参指对函数的单调性问题的思路.

一般地，对于指对函数问题，我们通常需运用导数法求解，通过对函数求导，讨论导函数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性.若已知函数 f （x） 在区间 D 上单调，则①∀x ∈ D ，f′（x） ≥ 0 恒成立⇔ f （x） 在区间 D 上单调递增；②∀x ∈ D ，f′（x） ≤ 0 恒成立⇔ f （x） 在区间 D 上单调递减.

解答含参指对函数单调性问题的一般步骤为：

第一步，根据函数的解析式确定函数 y = f （x） 的定义域；

第二步，根据求导法则、求导公式对函数 f （x） 求导，得到导函数 f′（x） ；

第三步，通过通分、分解因式，利用求根公式等方式，将导函数化为几个因式的积或商；

第四步，令 f′（x）= 0 ，求得各个因式的零点，并用零点将函数的定义域划分为几个子区间.若零点中含有参数，往往需对参数进行分类讨论；

第五步，在各个子区间上讨论导函数 f′（x） 的符号，可采用列表、画图的方式，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数在各个子区间上的单调性.

值得注意的是，求导后得到的导函数可能为含参一次函数式、含参二次函数式、含参高次函数式、含参指数函数式、含参对数函数式，我们需要针对不同的函数类型分类讨论函数的单调性.

下面举例加以说明.

例1

解

有时候，我们根据函数的定义域和整式的性质，可以很快判断出导函数的部分因式的符号，如本题中 f′（x） = a - 1 x = ax - 1 x （x gt; 0） .因此我们只需讨论因式 ax - 1的符号即可判断出函数的单调性.而要判断一次式 ax - 1 的符号，需借助其函数图象来进行分析、研究.

例2

解

该导函数涉及了指数函数式 ex （exgt; 0），其零点为 x = ln（-m - 1） ，所以我们只需讨论 m + 1 的符号即可.用该零点将函数的定义域 R 划分为两个子区间 （-∞，ln（-m - 1）） 、（ln（-m - 1），+∞） ，并在这两个区间上讨论导函数的符号，进而根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性.

例3

解

对函数求导可得 f′（x）= （2x + a）（x - 1） x .由于 x gt; 0 ，所以只需讨论函数 y =（2x + a）（x - 1） 的符号.该函数的零点为 x1 = - a 2 或 x2 = 1 ，其中含有参数 a ，需对两个零点的大小进行比较，分 a lt; -2 、a = -2 、-2 lt; a lt; 0 、 a = 0、a gt; 0 几种情况进行讨论，借助函数 y =（2x + a）⋅ （x - 1） 的图象来确定函数的单调区间.对于二次导函数，往往需将其分解为两个因式，然后在 x 轴上标出两个零点 x1 、x2 ，并画出函数的图象，通过研究其图象来判断导函数的符号.

例4

解

若二次导函数无法进行因式分解，则需根据求根公式来求导函数的零点.首先要讨论 Δ = b 2 - 4ac 的符号，分 Δ ≤ 0 、Δ gt; 0 两种情况讨论方程的根的分布情况；然后借助 y = ax 2 - 2x + 1 的图象来求得问题的答案.

总之，解答含参指对数函数的单调性问题，需注意：（1）明确导函数最高次项的系数是否含有参数，若含有参数，则需分参数大于、等于、小于0三种情况进行讨论；（2）对导函数进行合理的变形，将其化为几个最简因式的商、积，以便快速判断出因式的符号；（3）对于涉及多个零点的导函数，通常要比较几个零点的大小，以准确划分出单调区间.

本文系 2024 年自治区“以校为本”小课题研究——利用高中数学实验加强学生几何直观与空间想象能力的实践研究（课题编号：XKT-2404002）阶段性成果.

（作者单位：新疆昌吉州玛纳斯县第一中学）