基于“三教”理念用向量法解决三角形重心问题

摘 要：在中学数学中，向量与三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心的性质紧密相关.将它们有机融合，不仅能够揭示知识间的内在联系，还能促进学生发散性思维的发展，提升学生数学抽象和逻辑推理等数学核心素养.

关键词：向量；三角形重心；数学核心素养

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0065-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：安中顺（1984.9—），男，贵州省德江人，本科，一级教师，从事高中数学教学研究；袁晓亮（1980.10—），女，贵州省独山人，本科，高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：贵州省民族专项课题“三教理念下培养高中生数学核心素养案例研究”（MJ23040）.

“三教”理念，即教思考、教体验、教表达，它基于创新型人才培养，教会学生积极思考、自主体验和善于表达，从而增进学生的知识深度和思维广度.近些年，三角形“五心”在自主招生、强基计划、高考中频繁出现，成为中学教学的热点.但直接解答难度较大，所以要学会思考，寻找方法.将向量与三角形的“五心”有机融合，不仅可以掌握“五心”本身具有的重要性质，还可以通过类比推广，得到“五心”之间的内在联系，探究出更多性质和结论.

1 重心性质探究

设△ABC的角A，B，C对应的边分别为a，b，c，三条中线的交点G是△ABC的重心．

性质1 若点D是BC的中点，则AG=2GD，G（xA+xB+xC3，yA+yB+yC3）．

性质2 GA+GB+GC=0点G是△ABC的重心.

性质3 PG=13（PA+PB+PC）点G是ΔABC的重心.

性质4 点G是△ABC的重心，则S△BGC=S△AGC=

S△AGB=13S△ABC.

性质5 当AG=λ（AB+AC）时，点G在中线上；

AG=

13（AB+AC）时，点G为重心.

性质6 点G是△ABC的重心GA2+GB2+GC2取得最小值.

性质7 三边中点组成的三角形的重心也是点G.

性质8 △ABC的三条中线长组成的三角形面积为S中线，则S△ABC=43S中线.

性质9 在△ABC中，过重心G的直线交AB，AC所在直线分别于点P，Q，则ABAP+ACAQ=3.

例1 如图1所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1和A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角大小（结果用反三角函数值表示）.

解析 易知AC，BC，C1C互相垂直，故以C为坐标原点建立如图2所示的空间直角坐标系.设|AC|=|BC|=agt;0，则A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，1），G（a3，a3，13），A1（a，0，2），E（a2，a2，1），

所以EG=（-a6，-a6，-23），AD=（-a，0，1）.

因为EG⊥平面ABD，所以EG⊥AD.

所以EG·AD=a26-23=0，解得a=2.

因为EB在平面ABD上的射影为BG，

所以A1B与平面ABD所成角为∠A1BG.

因为BA1=（2，-2，2），BG=（23，-43，13），

所以cos∠A1BG=|BA1·BG||BA1|·|BG|=73.

所以A1B与平面ABD所成角大小为arccos73.

例2 在△ABC所在平面求一点G，当GA2+GB2+

GC2取最小值时，此时点G与△ABC有何关系.

证明 设A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），G（x，y），则T=GA2+GB2+GC2=3x2-2（a1+a2+a3）x+

3y2-2（b1+b2+b3）y+m（m为常数）.

因为x，y相互独立，由二次函数对称轴性质可知x=（a1+a2+a3）3，y=（b1+b2+b3）3时，T取得最小值，此时G（a1+a2+a33，b1+b2+b33）.

故G为△ABC的重心.

2 重心性质推广

推广1 △ABC重心G、垂心H、外心O、内心I的相关联系：（1）OA+OB+OC=OH；

（2）2OG=GH.

推广2 重心G是三角形内到三边距离之积最大的点.

推广3 设P为其内部任一点，则AP2+BP2+CP2-13（AB2+BC2+CA2）=3PG2.

推广4 设P为平面上任一点，则点G，P与△ABC三个顶点之间的距离平方关系为AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2.

推广5 从△ABC的三个顶点分别向以它们的对边为直径的圆作切线，所得到的6个切点为Pi，则Pi（i=1，2…，6）均在以重心G为圆心，r=

118（AB2+BC2+CA2）为半径的圆周上.

例3 已知△ABC满足CA·CB=0，|CA|=3，|CB|=4，点P为△ABC内任一点，求点P到△ABC三边距离之积的最大值，此时点P与△ABC有何关系.

解析 由勾股定理可得|AB|=5.设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为d1，d2，d3，由等面积有S△ABC=12×3×4=12d1×5+12d2×3+

12d3×4，得12=5d1+3d2+4d3.

即12=5d1+3d2+4d3≥3360d1d2d3.即d1d2d3≤1615，当且仅当5d1=3d2=4d3时，点P到△ABC三边距离之积取得最大值，此时S△PAB=S△PAC=S△PBC.

所以点P为△ABC的重心.

推广6 （奔驰定理）已知点P是△ABC所在平面上一点，且有xPA+yPB+zPC=0（其中SA=S△PBC，SB=S△PAC，SC=S△PAB），则

（1）SAS△ABC=|x||x+y+z|;

SBS△ABC=|y||x+y+z|;SCSΔABC=|z||x+y+z|，

即SA∶SB∶SC=|x|∶|y|∶|z|.

（2）若P是△ABC内一点，则SAPA+SBPB+SCPC=0.

注：P是△ABC内一点，则xgt;0，ygt;0，zgt;0；P是△ABC外一点，则x，y，z中有1负或2负；

P是△ABC某边所在直线上一点，则x，y，z中有1个为0.

例4 设M为△ABC内一点，且AM=14AB+

15AC，求△ABM与△ABC的面积之比.

解析 由AM=14AB+15AC，得AM=14（AM+MB）+15（AM+MC）.转化为以M为起点的向量和，即1120MA+14MB+15MC=

0，由奔驰定理知△ABM与△ABC的面积之比1∶5.

3 圆锥曲线内接三角形重心性质

性质1 设点G为椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦点△PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为

x2（a/3）2+y2（b/3）2=1（y≠0）.

性质2 设点G为双曲线x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦点△PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为

x2（a/3）2-y2（b/3）2=1（y≠0）.

性质3 设A，B，C为抛物线y2=2px（pgt;0）上的三个不同点，△ABC的三边AB，BC，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，点G（m，n）为△ABC的重心.则有

（1）1k1+1k2+1k3=3np；

（2）1k21+1k22+1k23=9n2+6pm4p2[1].

例5 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3）为C上的三个动点（x1lt;x2lt;x3且y2lt;0），若F为△PQM的重心，记△PQM三边PQ，PM，QM的中点到C的准线的距离分别为d1，d2，d3，且满足d1+d3=2d2，求直线PM的斜率.

解析 由题意知d1=x1+x22+2；d2=x1+x32+2；d3=x2+x32+2.代入d1+d3=2d2中，得x1+x3=2x2.由F（2，0）为△PQM的重心，得x1+x2+x33=2；

y1+y2+y33=0，得x2=2，y2=-4，则y1+y3=4.即PM的中点坐标为（2，2）.故kPM=y1-y3x1-x3=8y1+y3=2.

4 结束语

“重心”的题目解题思路不唯一，有的传统方法复杂且计算量较大，我们不畏惧运算，但不能死算.所以，教师要教会学生思考，在解决三角形“重心”的问题时，要善于分析“重心”的性质特征，利用向量工具以及其他数学、物理知识和数形结合的思想，寻找解决问题的途径.教师还要教会学生体验、感悟数学知识之间的联系，加强对数学整体性的认识.同时也要教会学生表达，正确使用向量符号及运算符号等，这样的课堂更加生动丰富.通过向量在重心中的应用，学生能够学会举一反三，将三角形“五心”与向量完美结合，探究出向量与三角形“五心”更多相关的性质，达到事半功倍的效果.

参考文献：

［1］ 白鹰.抛物线的外切三角形和内接三角形的有趣性质[J].数学通讯，2017（18）：41-42.

［责任编辑：李 璟］