理解数学 理解学生 理解教学

摘 要：文章基于“理解数学、理解学生”的观点，引导学生思考“新定义”问题的解决策略，教会学生用数学的眼光去观察、发现，形成“实践—发现—证明”的数学思维，实践“理解教学”的理念.

关键词：理解教学；新定义问题；探究与发现能力；递推法计数

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0049-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：张宜凡（1986.12—），男，江苏省苏州人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“数据驱动高质量发展的‘发现教育’实践与创新”（项目编号：D/2021/02/209）.

章建跃先生提出“理解数学、理解学生、理解教学”［1］.理解数学是提高教学质量的前提，只有理解数学，才能准确地确定教学目标与任务，从而在目标的驱动下，准确解析教学任务中所蕴含的数学思想；理解学生是实现有效教学的基础，只有理解学生，才能立足于学生的“最近发展区”，用学生的眼光对待数学教学，向学生有机渗透数学思想和方法；理解教学是实施有效教学的关键，只有理解教学，才能有效实现教与学的和谐统一，在这个统一体中努力实践数学思想的感悟与内化.

1 基本情况

1.1 试题分析

题目 设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai，aj（ilt;j）后剩余的4m项可被平分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分数列.

（1）写出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使得数列a1，a2，…，a6是（i，j）-可分数列；

（2）当m≥3时，证明：a1，a2，…，a4m+2是（2，13）-可分数列；

（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（ilt;j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分数列的概率为pm，证明：pmgt;18.

本题是2024年新高考Ⅰ卷的第19题，设计新颖，背景公平，极具探索性、创新性.试题以学生熟悉的等差数列为主要载体，给出了（i，j）-可分数列的新定义，将数列和概率两个主要模块有机结合.

1.2 学情分析

从学生的考后反馈来看，很多学生在考场中无法准确找到第三问突破口，对于可分数列的分类及计数比较混乱，没有明确解决问题的方案.还有部分同学完全没有信心去解决第三问而选择直接放弃.

针对学生在考场中反映出的问题，结合考场中将本题做出来的同学的方法，思考如何能立足于学生的“最近发展区”，结合学生已有知识体系，从理解学生角度进行有效的新高三教学，特别是新概念压轴题教学.

1.3 教学目标及重难点

教学目标 （1）体会递推法在计数中的作用；（2）体会新概念问题的审题、理解、方法选择等，学会如何去研究新问题；（3）理解新概念问题解决的数学思想——从特殊到一般、类比与转化；（4）通过逐步设问与探索，增强学生发现数学魅力的热情，提高解决复杂问题的信心和能力.

教学重点 （1）学会如何理解与分析新概念问题，以及如何研究数学新问题；（2）计数方法的选择，特别是递推法在计数中的应用.

教学难点 研究新问题的方法与思想，形成“实践—发现—证明”的数学思维.

2 教学过程

2.1 理解问题

师：如何阅读和理解本题？

生：题目给出一个新定义，即可分数列.第（1）问通过一个具体例子来认知新定义的数列，第（2）问探究一类特殊的可分数列，即（2，13）-可分数列，第（3）问本质是求所有的可分数列个数.设问是层层递进的，研究清楚前两问应该对第三问有促进作用.

设计意图 让学生有整体审题观，先弄清楚问题属于哪一个类型.如本题是研究可分数列个数的，同时注意所求也是问题的一部分，也需要作为审题的一部分，弄清楚所求与条件的基本关系以及设问之间的逻辑关系，有助于我们整体把握问题本身.

师：要想解决问题，什么是核心？

生：理解清楚“（i，j）-可分数列”的特征，研究其背后的性质.

2.2 初步探究

师：可以得到哪些“（i，j）-可分数列”的性质？

生：首先可以简化一下问题，不妨设an=n，这是因为公差不为0的等差数列具有性质：aik为等差数列当且仅当ik是等差数列.

师：很好，把数列变成我们更熟悉的正整数数列，更有利于去发现“（i，j）-可分数列”的性质.

生：数列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2显然是（1，2）-，（4m+1，4m+2）-，（1，4m+2）-可分的.

生：数列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2也是

（4s+1，4s+2）-，0≤s≤m可分的.

师：根据定义直接观察就发现上面几种平凡的可分数列，这实际上就是第一问让我们写出来的类型.能否发现一些不平凡的可分数列类型呢？

设计意图 对于要研究的问题先从最简单的角度去思考，得到一些平凡的结果，既能增强学生解决问题的信心，也可以为问题的解决提供基本的结果.关注设问，其也作为理解问题的一个方面，能给我们提供一些启示.

师：大家可以从m=2出发去研究一下.

生：当m=2时可以得到1，2，3，…，8，9，10去掉2，9，剩余的项可以组成2组公差为2的等差数列，即1，3，5，7;4，6，8，10，故数列1，2，3，…，8，9，10是（2，9）-可分的.

生：当m=3时，1，2，3，…，12，13，14去掉2，13不能组成3组公差为2的等差数列，这是怎么回事？

生：应该是构成3组公差为3的等差数列，即1，4，7，10;3，6，9，12;5，8，11，14.

师：我们能否将这个结论推广呢？

生：推广为“数列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2是（2，4m+1）-可分的”.

生：类比上面的证明，分为m组，每组公差为m，即：

1，m+1，2m+1，3m+1；3，m+3，2m+3，3m+3；4，m+4，2m+4，3m+4；m，2m，3m，4m；m+2，2m+2，3m+2，4m+2.

师：很好，我们得到一类不平凡的可分数列.

设计意图 类比推理及证明是我们解决新定义问题的一个重要手段，由特殊到一般，由具体到抽象，大胆猜测，小心求证.重视设问中要证明的结果，为我们的研究与发现提供方向.

2.3 拟订方案

师：还有其他类型的可分数列吗？

生：我还发现一类，数列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2是（4s+1，4t+2）-可分的，其中0≤slt;t≤m.

师：怎样分类才能得到所有的可分数列呢？师：能否从第三问得到启示呢？

生：题目只要证明不等式pmgt;18，我们可能不需要找出所有的可分数列，由于从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（ilt;j），共有C24m+2=8m2+6m+1中取法，只要可分数列个数多于18C24m+2=m2+18（6m+1）即可.

师：非常好，不要只顾去找所有的可分数列，还要看所求，根据目标及时调整方向.计算哪些类型的可分数列使得其个数多于18C24m+2=m2+18（6m+1）呢？

师：回顾一下高中我们学习过的常见计数方法.

生：枚举法、排列组合、递推法、对应法.

生：这是一个正整数问题，可以考虑使用递推方法.

师：很好，大家尝试一下.

生：设f（m）表示“使得数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分的（i，j）个数”，则f（m+1）表示“使得数列a1，a2，…，a4m+6是（i，j）-可分的（i，j）个数”，发现数列a1，a2，…，a4m+6可以看成a1，a2，…，a4m+2和a5，a6，…，a4m+6的并，公共部分为a5，a6，…，a4m+2，这样可分数列的（i，j）包含1≤ilt;j≤4m+2或5≤ilt;j≤4m+6或1≤i≤4，4m+2≤j≤4m+6，可以建立递推关系.

师：能否用数学符号严谨表示出建立递推关系的过程呢？

生：记

A={（i，j）|a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分的且1≤ilt;j≤4m+2}；

B={（i，j）|a5，a6，…，a4m+6是（i，j）可分的且5≤ilt;j≤4m+6}；

C={（i，j）|a5，a6，…，a4m+2是（i，j）可分的且5≤ilt;j≤4m+2}；

D={（i，j）|a1，a2，…，a4m+6是（i，j）可分的且1≤i≤4，4m+2≤j≤4m+6}；

E={（i，j）|a1，a2，…，a4m+6是（i，j）可分的且1≤ilt;j≤4m+6}，

所以|E|=|A|+|B|-|C|+|D|，其中X表示集合X的元素个数.

则f（m+1）=2f（m）-f（m-1）+|D|，即f（m+1）-f（m）=f（m）-f（m-1）+|D|，其中m≥2.

生：D随着m的变化而变化，不方便计算.

生：我们只需寻找D的一个下界（常数），上面的递推关系就可以求通项公式.

师：这个下界究竟选取多少合适呢？

生：可以根据目标待定出来.

生：不妨设下界为λ，由f（m+1）-f（m）≥f（m）-f（m-1）+λ，知

f（m）-f（1）≥（m-1）·［（f（2）-f（1）］+（m-2）（m-1）2λ.

故f（m）≥（m-1）（m-2）2λ+（m-1）［f（2）-f（1）］+f（1），要使f（m）gt;18C24m+2=m2+18（6m+1），则λ≥2.

生：根据第（1）（2）问研究的结果，（1，4m+6），（2，4m+5）∈D，即|D|≥2，也就是λ≥2.

师：非常好，f（m）的下界具体是多少呢？

生：由第（1）问知f（1）=3，a1，a2，…，a10是（1，2）-，（1，6）-，（5，10）-，（9，10）-，（5，6）-，（1，10）-，（2，9）-可分的，故f（2）=7.所以f（2）-

f（1）=4.这样f（m）≥（m-1）（m-2）+4（m-1）+

3=m2+m+1.

所以f（m）gt;m2+18（6m+1）.

师：非常棒，至此我们完整解决了此题，请同学们将上述分析过程严谨书写出来.

设计意图 对于D下界的确定采用待定系数法，逐步引导学生解决问题.本方案借鉴学生在高考考场中的做法，站在学生的认知与能力角度，逐步深入体会解决数学问题的乐趣.

3 结束语

教师应

基于理解数学、理解学生的角度进行理解教学，特别强调立足于学生的“最近发展区”和考场生成能力，学会研究新问题的方法与思想，用学生的眼光对待数学教学，向学生有机渗透数学思想和方法.在教学中应教会学生思考这类问题的思考方式，教会学生在面临一道创新题时，要立足“新定义”去动手实践，用数学的眼光去观察、发现，从特殊的情形去体会，与学生的已有知识体系关联，在此基础上大胆猜测、小心求证，最终培养学生“实践—发现—证明”的数学思维.

参考文献：

［1］章建跃.中学数学课改的十大论题[J].中学数学教学参考（上旬）.2010（3）：2-5，11.

［责任编辑：李 璟］