例谈高中数学函数解析式的求解方法

摘 要：求函数解析式有配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法和借助函数性质等方法，这些方法均不是通用的，需要根据不同的问题情境选择恰当方法.文章就明确问题情境，确定答题方法例谈求函数解析式问题.

关键词：高中数学；函数；解析式；问题情境

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0076-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：陈淑杰（1987.6—），男，安徽省临泉人，中小学一级教师，从事高中数学教学研究.

函数解析式是函数最基本的表示，解决任何函数问题，都不能离开函数解析式，特别是具体函数问题，甚至有时候抽象函数问题都可以构造出具体函数解析式来解决问题.笔者通过梳理总结发现，求函数解析式的方法是明确的，有配凑法、换元法、待定系数法、方程组法、借助函数奇偶性、借助函数的周期性和根据轴对称图象等方法，但是不同的问题应该选择不同的方法.接下来，文章将从问题情境角度去探究这几种方法的适用题型和解题策略.

1 配凑法

配凑法针对的问题情境是已知函数f（x）满足f［g（x）］=m（x），求函数y=f（x）的解析式.解题一般思路是先将函数m（x）通过配凑的方式变为函数g（x）的形式，然后将g（x）整体代换为x.

例1 已知函数y=f（x）满足f（x-1）=x2-2x+1x，求函数y=f（x）的解析式.

解析 因为函数f（x-1）=x2-2x+1x，

所以f（x-1）=x2-2x+1x=（x-1）2（x-1）+1.

令x-1=t，则f（t）=t2t+1.

所以函数f（x）=x2x+1（x≠-1）.

2 换元法

该方法针对的问题情境是已知函数f（x）满足f［g（x）］=m（x），求函数y=f（x）的解析式.解题一般思路是先设g（x）=t，再根据假设解出x=h（t），然后将g（x）=t和x=h（t）代入f［g（x）］=m（x）中，形成一个关于t的解析式，最后将t全部换成x即可.

例2 已知函数y=f（x）满足f（cosx-1）=cos2x-1，求函数y=f（x）的解析式.

解析 设cosx-1=t（-2≤t≤0），则cosx=t+1.

所以f（cosx-1）=cos2x-1=2cos2x-2.

将cosx-1=t和cosx=t+1代入，得

f（t）=2（t+1）2-2=2t2+4t，

再将t换成x，得f（x）=2x2+4x.

所以函数f（x）=2x2+4x（x∈［-2，0］）.

通过例1和例2发现：其实这两种方法适用的题型是一样的，即都是针对满足f［g（x）］=m（x）的函数求解析式，在配凑比较困难的时候，可以选择换元法，在解题时注意方法的选择.

3 待定系数法

待定系数法是针对已知函数解析式的形式（如一次函数、正弦函数等）的情境下，要求具体函数的解析式.解题一般思路是先设出函数的解析式，然后根据已知条件建立方程（一般情况下所设的函数解析式需要确定几个量，就需要建立几个方程），最后把方程联立将函数解析式的各项系数求出来即可[1].为了详细描述解题策略，根据处理路径，下面分为构建方程组待定系数法和嵌套式待定系数法进行探究.

3.1 构建方程组待定系数法

例3 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，求函数y=ln（x+a）的解析式.

解析 设切点为A（x0，x0+1）.对函数求导，得y′=1x+a.

因为直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则有

x0+1=ln（x0+a）.①

因为直线y=x+1的斜率为1，

则有1x0+a=1.

②

联立①②，解得x0=-1，a=2.

因为函数y=ln（x+2）的定义域为xgt;-2，

所以函数y=ln（x+2）（xgt;-2）.

3.2 嵌套式待定系数法

例4 已知f（x）是一元一次函数，且f［f（x）］=2x+3，求函数f（x）的解析式.

解析 设函数f（x）=ax+b（a≠0）.

因为函数f（x）满足f［f（x）］=2x+3，所以有f［f（x）］=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=2x+3.

则有a2=2，ab+b=3.

解得a=2，b=32-3或a=-2，b=3-32.

所以函数f（x）的解析式为f（x）=2x+32-3或f（x）=-2x-32+3.

4 方程组法

方程组法针对的是关于f（x）与f（-x）构成的方程和f（x）与f（1x）构成的方程，要求函数f（x）的解析式.解题思路是将x与-x（或x与1x）对换，再将两式联立解出f（x）即可.下面具体分开进行探究.

例5 （1）已知函数f（x）满足f（x）-2f（1x）=2x，求函数f（x）的解析式；

（2）已知函数f（x）满足f（x）+2f（-x）=x-1，求函数f（x）的解析式.

解析 （1）因为已知函数f（x）满足

f（x）-2f（1x）=2x，③将x换成1x，得f（1x）-2f（x）=2x.④

联立③④，解得f（x）=-2x3-43x.

所以函数f（x）=-2x3-43x（x≠0）.

（2）已知函数f（x）满足

f（x）+2f（-x）=x-1，

⑤

将x换成-x，得f（-x）+2f（x）=-x-1.⑥

联立⑤⑥，解得f（x）=-x-13.

所以函数f（x）=-x-13.

5 借助函数的奇偶性

这种方法主要是针对具有奇偶性的分段函数求解析式.一般情况下是已知函数的一部分区间的解析式，根据偶函数满足f（x）=f（-x），奇函数满足f（x）=-f（-x），求出剩余部分区间的解析式即可.

例6 已知函数f（x）是R上的奇函数，当xgt;0时，f（x）=x2+ex，求函数f（x）的解析式[2].

解析 因为函数f（x）是R上的奇函数，所以满足f（x）=-f（-x）.

当xlt;0时，-xgt;0，所以

f（x）=-f（-x）=-［（-x）2+e-x］=-x2-e-x.

又因为当xgt;0时，f（0）=02+e0=1；

当xlt;0时，f（0）=-02-e0=-1，

所以f（0）=0.

所以函数f（x）=x2+ex，xgt;00，x=0，-x2-e-x，xlt;0.

6 借助函数的周期性

这种方法针对的题型是已知函数为周期函数，并且已知一个小区间的解析式，要求函数另外一个小区间的解析式.一般思路是先确定函数周期和已知部分解析式，然后根据函数的周期性，将已知区间的解析式递推到要求解析式的区间内即可[3].

例7 已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当x∈［2，3］时，f（x）=x-1.求函数f（x）在区间［1，2］时的解析式.

解析 因为函数f（x）的周期为2，

所以f（x+2）=f（x）.

因为当x∈［2，3］时，f（x）=x-1，所以x∈［0，1］时，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1.

又函数f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x）.

则当x∈［-1，0］时，f（x）=-x+1.

则当x∈［1，2］时，f（x）=f（x-2）=-x+3.

7 根据轴对称图象求解析式

这种方法针对已知一个函数解析式，要求该函数图象关于一条直线对称后的函数解析式.一般思路为：将函数图象关于直线对称的问题转化为点关于直线对称问题进行处理[4].

例8 （2015年全国Ⅰ卷改编）设函数y=f（x）的图象与函数y=2x+2的图象关于y=-x对称.求函数f（x）的解析式.

解析 设函数y=2x+2的图象上任意一点

A（x0，y0），点A关于y=-x对称的对称点为B（x，y）.

所以过点A，B的直线与y=-x垂直，则y-y0x-x0=1.

并且A，B的中点在y=-x上，即y+y02=-x+x02.

则有y-y0x-x0=1，y+y02=-x+x02，解得x0=-y，y0=-x.

将x0=-y，y0=-x代入y=2x+2，得-x=2-y+2，即y=2-log2（-x）.

所以函数f（x）=2-log2（-x）（xlt;0）.

8 结束语

通过实例分析，在所有探究的方法中，只有配凑法和换元法可以在同一种题型使用，其余方法均是一种方法对应一种题型，文章一一进行了分析，并具体提出了相应方法和答题策略.在解答求函数解析式的问题中，还有一个极易错的地方是：不管在哪种问题情境下，也不管用哪种方法，在求出函数解析式后，一定要求出函数的定义域，并在求出的解析式后面附上函数的定义域.

参考文献：

［1］史延芹.求函数解析式的几种常用方法[J].学周刊（A版），2011（06）：185.

[2] 程煜生.奇偶函数分段解析式的求法[J].高中数学教与学，2002（06）：63-64.

[3] 李绕.根据奇偶性、对称性、周期性求函数的解析式[J].教育实践与研究，2012（24）：60.

[4] 宋稳尚.一类对称曲线的快捷求法[J].中学教学参考，2011（02）：31，35.

［责任编辑：李 璟］