高考试题深度学习思考

摘 要：文章对2023—2024年高考数学试卷中的函数与导数试题进行研究，并解析部分有深度学习价值的问题，为函数与导数学习与教学探寻更好的突破口.

关键词：高考试题；函数与导数；深度学习；学科素养

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0072-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：尹池江（1984.9—），男，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究；

周迎（1984.9—），女，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究．

基金项目：江苏省教育科学规划课题“指向创新思维培养的高中数学深度教学模式研究”（项目编号：B/2023/03/104）；徐州市中小学教学研究第十五期课题“深度学习背景下教材和课程资源开发研究”（项目编号：KT15081）．

2023年新高考Ⅰ卷第19题是导数解答题，难度有所下降，函数思想在第22题解析几何问题中有所体现；2024年新课标Ⅰ卷，单选题第8题，解答题第18题，新课标Ⅱ卷第8题，分别在压轴题部分考查了函数与导数内容，这反映了函数与导数作为高中数学的一个重要知识模块，始终是高考考查的重点和难点.但试题难度的变化，题型位置的不固定，将是高考改革的趋势.应对这种变化，学生必须做到深度学习，培养数学学科核心素养，提升关键能力.

1 试题分类评析

1.1 强化“四基”考查，注重教考衔接

例1 （2023年全国乙卷理第16题）已知a∈（0，1），函数f（x）=ax+（a+1）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．

解析 严谨推理，满足题意需f ′（x）=axlna+（a+1）xln（a+1）≥0在（0，+∞）上恒成立，只需（1+aa）x≥-lnaln（1+a）在（0，+∞）上恒成立，所以（1+aa）0=1≥-lnaln（1+a）.

即［5-12，1）.

也可以求二阶导数，f ″（x）=ax（lna）2+ax+1［ln（a+1）］2gt;0，得到f ′（x）在（0，+∞）上单调递增.

所以f ′（0）=lna+ln（a+1）≥0，即［5-12，1）.

深度思考可以看出，函数f（x）=ax+（a+1）x可由y=ax和y=（a+1）x叠加得到，借助函数图象（如图1），利用所学指数函数图象变化特征，可大胆下结论a∈［5-12，1），触类旁通，深入理解，可将指数函数变成对数函数进一步研究.图1 函数叠加比较

变式 已知a∈（0，1），函数f（x）=logax+log（a+1）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是.

1.2 强化关键能力考查，培养学科核心素养

例2 （2023年全国新高考Ⅰ卷第11题）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）=y2f（x）+x2f（x），则（" ）.

A．f（0）=0""" B．f（1）=0

C．f（x）是偶函数D．x=0为f（x）的极小值点

解析 本题是常见的抽象函数问题，题目简洁.进行赋值，前三个选项即可解答.D选项看似很复杂，但取特殊函数f（x）=0，也能快速解答出来.那么，抽象函数的极值应该如何解决呢？对于本题，经过深度学习，可以提出下面问题：

问题 满足f（xy）=y2f（x）+x2f（y）的R上的连续函数，是否有具体的函数解析式呢？

根据题目中的抽象函数关系，得到下面抽象函数转化的思维导图（如图2）.

由上面的思维导图可以得到f（x）=

cx2ln|x|，x≠0，0，x=0，当xgt;0时，f（x）=cx2lnx，则f ′（x）=

2cxlnx+cx2·1x=cx（2lnx+1），分别画出cgt;0（图3）和clt;0（图4）的函数图象，当cgt;0时，x=0是极大值点，当clt;0时，x=0是极小值点，当c=0时，x=0不是极值点.

1.3 强化高阶思维能力考查，培养终生学习者

例3 （2023年全国新高考Ⅰ卷第19题）已知函数f（x）=a（ex+a）-x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当agt;0时，f（x）gt;2lna+32．

解析 （1）因为f（x）=a（ex+a）-x，定义域为R，所以f ′（x）=aex-1.

当a≤0时，由于exgt;0，则aex≤0，故f ′（x）=aex-1lt;0恒成立，所以f（x）在R上单调递减；

当agt;0时，令f ′（x）=aex-1=0，解得x=-lna，

当xlt;-lna时，f ′（x）lt;0，则f（x）在（-∞，-lna）上单调递减；

当xgt;-lna时，f ′（x）gt;0，则f（x）在（-lna，+∞）上单调递增.

综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当agt;0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，f（x）在（-lna，+∞）上单调递增.

（2）方法1 当agt;0时，由（1）知，f（x）min=f（-lna）=1+a2+lna≥2lna+32.

即证a2-12-lnagt;0.

思路1 构造函数g（a）=a2-12-lna求最小值.

思路2 对数型超越不等式放缩（先证后用）：lna≤a-1（agt;0）.

思路3 数形结合找方法，如图5，a2-12≥a-34或a2-12≥2a-1且lna≤a-1.

方法2 f（x）=a（ex+a）-x=aex+a2-x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x=1+a2+lna，

当且仅当x+lna=0，即x=-lna时，等号成立，下面同方法1.

例4 （2023年全国新高考Ⅱ卷第22题第（2）问）已知函数f（x）=cosax-ln（1-x2），若x=0是f（x）的极大值点，求a的取值范围．

解析 先回顾高中教材中判断极值的充分条件，为了表述方便，按照大学教材极值的第一充分条件叙述如下：

极值第一充分条件[1] 设f（x）在点x0连续，在某邻域U（x0;δ）内可导，则

（1）当x∈（x0-δ，x0）时，f ′（x）lt;0，当x∈（x0，x0+δ）时，f ′（x）gt;0，则f（x）在x0处取得极小值.

（2）当x∈（x0-δ，x0）时，f ′（x）gt;0，当x∈（x0，x0+δ）时，f ′（x）lt;0，则f（x）在x0处取得极大值.

解法1 因为f（-x）=f（x），

所以f（x）是偶函数.

因为f ′（x）=-asinax+2x1-x2，且f ′（0）=0，所以只需要考虑a≥0时，f（x）在0的某个右邻域内f ′（x）lt;0恒成立.

当a=0时，f ′（x）=2x1-x2gt;0对任意x∈（0，1）恒成立，所以不满足.

当agt;0时，取x0=min{1，1a}，当x∈（0，x0）时，ax∈（0，ax0）（0，1），

由（1）知ax-a2x2lt;sinaxlt;ax，所以

f ′（x）=-asinax+2x1-x2

lt;-a（ax-a2x2）+2x1-x2

=x（a3x-a2+21-x2）.

令p（x）=a3x-a2+21-x2，则p′（x）=a3+4x（1-x2）2gt;0对任意x∈（0，x0）恒成立.

所以p（x）在（0，x0）上单调递增.

①当p（0）=2-a2lt;0，即agt;2时，若p（x0）≤0时，取δ=x0，若p（x0）gt;0时，δ∈（0，x0），使p（δ）=0，

所以x∈（0，δ）时，p（x）lt;0.

即f ′（x）lt;xp（x）lt;0.

所以f（x）在（0，δ）上单调递减.

又因为f（x）是偶函数，

所以f（x）在（-δ，0）上单调递增.

所以0是f（x）的极大值点.

②当p（0）=2-a2≥0，即0lt;a≤2时，

f ′（x）=-asinax+2x1-x2

gt;-a2x+2x1-x2

=x（-a2+21-x2），

因为x∈（0，1），所以21-x2gt;2.

而-a2≥-2，所以f ′（x）gt;x（-a2+21-x2）gt;0.

所以f（x）在（0，x0）上单调递增，不满足要求.

又因为alt;0时，-agt;0，由f（x）=cosax-

ln（1-x2）=cos（-ax）-ln（1-x2），

可知alt;-2满足题意，-2≤alt;0不满足题意.

综上可知，a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）.

极值第二充分条件 设f（x）在点x0的某邻域U（x0，δ）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f ′（x0）=0，f″（x0）≠0.

（1）若f″（x0）gt;0，则f（x）在x0处取得极小值.

（2）若f″（x0）lt;0，则f（x）在x0处取得极大值.

解法2 f（x）=cosax-ln（1-x2），x∈（-1，1），

且f ′（x）=-asinax+2x1-x2，

满足f ′（0）=-asin0+0=0.

f ″（x）=-a2cosax+2+2x2（1-x2）2，f″（0）=-a2+2.

所以当a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，有

f ″（0）lt;0，得x=0是y=f（x）的极大值点；

当a∈（-2，2）时，f ″（0）gt;0，得x=0是y=f（x）的极小值点，不满足条件；

当a=±2时，f ″（0）=0，怎么办？

想法1 可将a=±2代入到函数中，运用解法1进行验证.

想法2 （极值的第三充分条件）设f（x）在点x0的某邻域U（x0，δ）内存在n-1阶导函数，在x=x0处n阶可导，且f （k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），f （k）（x0）≠0.

（1）当n为偶数时，f（x）在x0处取得极值，且当f （k）（x0）gt;0时取得极小值，当f （k）（x0）lt;0时取得极大值.

（2）当n为奇数时，f（x）在x0处不取极值.

因为f （x）=a3sinax+2（1-x）3-2（1+x）3，f （0）=0，

f （4）（x）=a4cosax+6（1-x）4+6（1+x）4，f （4）（0）=a4+12≠0，

又因为x∈（-1，1）时，f （4）（x）gt;0，所以0是f（x）的极小值点.

综上可知，a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）.

例5 （2024年新高考Ⅰ卷第18题）已知函数f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

（1）若b=0，且f ′（x）≥0，求a的最小值；

（2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；

（3）若f（x）gt;-2当且仅当1lt;xlt;2，求b的取值范围．

分析 （1）求出f ′（x）min=2+a，根据f ′（x）≥0可求a的最小值；

（2）要证明曲线y=f（x）是中心对称图形，

可以从下面几个方面思考.

思路1 根据函数的定义域是（0，2），可得曲线的对称中心横坐标是1，由于函数f（x）在（0，2）上是连续函数，于是猜想对称中心是（1，a）.

思路2 观察函数解析式，可以发现y=lnx2-x与y=b（x-1）3都关于点（1，0）对称，而y=ax不关于（1，0）对称，将f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）=ln1+x1-x+a（x+1）+bx3，则f（x+1）-a是奇函数，所以f（x）的图象关于（1，a）对称.

思路3 因为f ′（x）=1x+1x-2+a+3b（x-1）2关于x=1对称，猜想f（x）的图象关于（1，a）对称.

（3）根据题设可判断f（1）=-2，即a=-2.所以f（x）=lnx-ln（2-x）-2x+b（x-1）3，f ′（x）=1x+1x-2-2+3b（x-1）2=（x-1）2［2x（2-x）+3b］.令g（x）=2x（2-x）+3b，则g（x）在（1，2）单调递增，而g（1）=2+3b，对g（1）的符号进行讨论即可得出答案.

而在实际的考试中，学生想不到对f ′（x）提取公因式，思维就会受阻，如果站在更高阶思维上，由f（1）=-2，f ′（1）=0，对f ′（x）进行有限次求导，可得必要条件f （k）（x）≥0，然后再进行充分性证明即可.

2 结束语

《中国高考评价体系》在回答“考什么”时，明确指出考查必备知识、关键能力，这意味着高考数学将会更加全面、深入、灵活地考查基础知识.在函数知识的教学中，教师应致力于加强基础知识的复习，要讲清、讲透核心知识的内涵和外延，弄清不同知识之间的联系，适当与高数衔接，引导学生通过多角度思考来加深对知识、概念的本质理解，夯实学生的基础知识，做到真懂会用、灵活应用.

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

［责任编辑：李 璟］