知行合一视野下，初中生数学思维品质的培养途径

数学教育的核心目标在于培养学生的数学思考能力，这种能力深刻体现在学生的思维品质上。在数学教学中，教师要树立知行合一的理念，深刻理解不同类型的习题所蕴含的知识点，灵活选取数学思想与方法，寻找培养学生思维深刻性、严谨性、发散性、批判性、灵活性、创造性的方法与途径。良好的数学思维品质，为学生的终身发展奠定了基础。

陶行知先生认为：知是行之始，行是知之成。即懂道理是做事的基础，做事情、有所行动，是懂道理的结果。在新的课程理念下，数学教学改革和发展的总趋势就是培养学生的思维能力。中国科学院动物学家杨平发出质疑：“现在，我们一不缺钱，二不缺仪器设备，三不缺勤奋努力，为什么到头来原创性成果还比不过别人？”这个问题的根源是思维能力。而数学教育的核心追求是培养并提升学生的数学思维能力。

一、变式训练有利于思维深刻性的培养

思维的深刻性就是在解决问题时能够深入探究问题的核心所在，以及问题间错综复杂的联系。在学习中，部分学生往往对所学知识浅尝辄止，对练习题目缺乏深度理解，仅是机械模仿，未能触及问题的本质，导致教材中的例题和习题的条件或结论改编一下，就不会做了。为了打破这种思维的惰性，教师需要着力培养学生思维的深刻性，鼓励学生主动思考，学会从多角度、多层次去理解和分析问题。在教学实践中，教师可以通过变换题目的条件、结论或形式，让学生在解决这些问题的过程中，不断深化对知识点的理解，锻炼其思维的灵活性和深刻性。

浙教版八年级上册数学第9页作业题第3题：如图1，AD是△ABC的中线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足，已知AB=2AC，求DE与DF的长度之比。

解：∵AD是△ABC的中线

∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD

∴DE·AC＝DF·AB

又∵AB=2AC

∴DE=2DF

∴DE与DF的长度之比为2∶1

本习题是学了三角形中线概念后的一个练习题，而实质上是考查了小学里学过的“等底等高三角形面积相等”这个知识点。为了强化这个知识点的落实，我把此题改编为：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，求PF＋PE的值。

因为有了上述这个习题做铺垫，大部分学生会利用“等底等高三角形面积相等”这个知识点做出以下的解法，学生思维的深刻性得到了提高。

解：连结PA

∵S△ABC＝S△APB＋S△APC

∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE

又∵AB＝AC，

∴BD＝PF＋PE

∴PF＋PE＝8

因此，教师需要具备敏锐的洞察力，能够快速识别并聚焦于解决问题的关键要素，有效确定解题策略。同时，教师还应鼓励学生挖掘潜藏于每一道习题背后的普遍规律与解题方法，并将这些规律、方法提炼出来，推广应用于解决更广泛的一类问题。因此，变式训练有利于培养学生思维的深刻性。

二、分类讨论训练有利于思维严谨性的培养

思维的严谨性是数学最基本的特点，表现在要求学生解题时思考缜密，问题讨论全面，即对问题的讨论不重复、不遗漏，要求学生的解题过程做到一步一步、有根有据地进行推理，对数学结论的叙述既要精炼又要准确。

杭州市中考数学试卷第16题（如图3）：折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=（ ）。

因为将△ADE翻折后，点H可能落在点E下方，也可能落在点E上方。而试卷上的图就是图3，所以学生解题时很容易落下一个答案。而有的学生考虑得很全面，因为C点的对称点H在AB上，又因为EH=1，所以点H所落位置有两种。通过这样的分析，答案就不会有疏漏了。

有位学生解答：设AD=x，则AB=CD=x+2。

（1）当点H在点E的下方时，在Rt△ADH中，根据勾股定理知∵DH2=AD2+AH2

∴（x+2）2=x2（x+1）2

∴x=3

（2）当点H在点E的上方时，在Rt△ADH中，根据勾股定理知∵DH2=AD2+AH2

∴（x+2）2=x2+（x-1）2

∴x=3+2

综上所述：AD=3+2或3。

对初中生来说，其抽象思维正处于形成和发展时期，思维的严谨性往往不易做到，常常会出现顾此失彼、丢三落四的情况。而分类讨论的训练有利于学生养成对数学问题进行自主探索与研究的习惯。思维的严谨性是在犯错误的经历中获得的。因此，在教学中教师要适时地、有针对性地组织学生进行分类讨论训练，从而科学且有效地引导学生进行思维活动，也可以利用学生解题时出现的漏解进行剖析，有利于培养学生思维的严谨性。

三、一题多解的训练有利于思维发散性的培养

思维的发散性是一种善于从多个维度、多个层面、多条路径去探索问题并寻求答案的思维特质。在数学教育领域里，为了培育学生这种宝贵的思维品质，教师要强化基础知识的教学，帮助学生构建坚实且完整的认知框架。在解题实践中，教师鼓励学生敏锐捕捉题目中的关键信息，通过对比分析、联想拓展等策略，倡导一题多解的探索精神，同时，引入一题多变的训练模式，让学生在变化中寻求不变，在不变中洞察变化。

浙教版八年级上册数学第18页例3，求证：三角形的三个内角的和等于180°。

已知：如图4，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角。

求证：∠A+∠B+∠C=180°。

教学时，教师先让学生剪好一个任意的三角形，为了证明三个内角的和为180°，通过已有的知识，大家都知道平角为180°。然后引导学生将三角形的三个角撕下后拼在一起，使三个角的顶点和三条边重合，看看能否拼成一个平角？学生有了动手实践的经验，证明方法自然水到渠成。

学生A的证明：如图4所示，在△ABC中，过点A引l∥BC。

∵l∥BC

∴∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）

∵∠1+∠BAC+∠2=180°

∴∠A+∠B+∠C=180°

学生B的证明：

如图5所示，延长BC到M，过点C作CN//AB。

∵CN//AB

∴∠A=∠ACN（两直线平行，内错角相等）

∠B=∠NCM（两直线平行，同位角相等）

又∵∠ACN+∠NCM+∠ACB=180°（平角180°）

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）

即∠A+∠B+∠C=180°

只要将∠A，∠B，∠C这三个角拼在一起就可以了。在教学时，教师应注重引导学生探索还有哪些解法，通过比较，选择一种适合自己又便捷的解题方法。一题多解既能充分挖掘学生的潜能，又能培养学生思维的发散性。

四、辨析题的训练有利于思维批判性的培养

思维的批判性，其核心在于敏锐地察觉问题，勇于质疑，并具备明辨是非的能力。为了培养学生的这种思维品质，教师在教学过程中巧妙地设计一些容易引发混淆的概念，引导学生进行深入的分析与辨别，通过对比和讨论，帮助他们理清思路。教师还可以设置一些看似正确实则存在谬误的判断，以此激发学生的探究欲，促使他们主动思考、辨别真伪。值得注意的是，学生在独立思考的过程中，难免会出现认知上的偏差或表面化的理解。面对这些问题，教师应保持开放和包容的态度，及时给予鼓励、引导和启发。

杭州市中考数学试卷第17题：计算6÷（-），方方同学的计算过程：原式=6÷（-）+6÷e6a966784e04027a1100a96003c814c6= -12+18=6。请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程。

点评：本题主要检验了学生对有理数混合运算顺序的掌握情况。我们在解决这类问题时，首先遵循的是运算的优先级，即先处理括号内的表达式，随后，根据除法的运算法则来执行除法操作，学生正确的计算过程就水到渠成了。

原式=6÷（-）

=6÷（）

=6×（-6）

=-36

在教学中，教师要提倡让学生在实际问题中去发现问题、提出问题，要敢于对现有结论进行质疑。

五、数形结合习题的训练有利于思维灵活性的培养

思维的灵活性就是面对事物变化时能够迅速适应，并灵活运用已掌握的知识和经验，以探索出解决问题的新路径和新方法。这种品质在课堂教学中尤为重要。因为，教师过分拘泥于解题模式的讲授，往往会使学生陷入一种固定的思维模式，导致他们的思维变得僵化，缺乏变通。因此，在教学中，教师应当注重培养学生思维的灵活性，鼓励他们勇于跳出固定的框架，敢于尝试不同的方法和思路。

山东省济南市数学中考题：如图6，抛物线y＝－2x2＋8x－6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A．－2＜m＜ B．－3＜m＜－

C．－3＜m＜－2 D．－3＜m＜－

数形结合作为一种极具价值的数学思维方式，近年来在中考中占据了举足轻重的地位，频繁成为考查的焦点。解题时，要把问题的数量关系与空间形式结合起来，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，学生若用数形结合的思想，这个中考题就易解了。

如图7，A（1，0），B（3，0），D（5，0）。l2的解析式为y＝－2（x2－8x＋15）（3≤x≤5）。当直线l1与l2仅有一个公共点时，方程组y=-2（x2-8x+15）y=x+m仅有一组解。所以一元二次方程－2（x2－8x＋15）＝x＋m有两个相等的实数根，即方程2x2－15x＋30＋m＝0的判别式为0。由此求得m＝－。当直线l2经过点B时，将（3，0）代入y＝x＋m，求得m＝－3。所以－3＜m＜－，故选D。

因此，在教学中，教师往往会用到数形结合的思想，即化抽象为直观，化直观为精准，从而使问题得到解决，避免复杂的计算和推理，开放题的训练有利于思维灵活性的培养。

六、开放题的训练有利于思维创造性的培养

思维的创造性体现了一种勇于探索未知、敢于独辟蹊径的精神风貌，它促使学生积极主动地发掘新事物，提出独到的见解。这种思维品质在思考过程中勇于突破框架，不断追求最优的解决方案。

杭州市中考数学试卷第8题：如图8，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）

A.（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°

B.（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°

C.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°

D.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=180°

本题考查的知识点：三角形内角和定理和矩形的性质。这类题型广泛涵盖了多个知识点，不仅考验学生解题技巧的灵活性，更对他们分析复杂问题和运用所学知识解决实际问题的能力提出了高标准的要求。开放题的形式有三种，即条件开放、结论开放和解题过程开放。因此在教学中，教师要重视开放性的习题训练，使学生能进行由正及反、由此及彼、举一反三。这类问题的练习有助于学生创造性思维的培养。

数学思维中的多个关键品质是相互依存、相互促进的，它们共同构成了学生思维能力提升的基石。其中，严谨性和发散性作为思维训练的基础，而深刻性和批判性则是对这一过程的深化。在批判性思维的驱动下，思维的灵活性得以展现，它允许学生在面对复杂问题时灵活调整策略，寻找最佳路径。最终，思维的创造性作为这些品质融合与升华的结晶，代表了数学思维的高级阶段，引领学生在数学领域不断突破，追求卓越。

杨振宁先生曾深刻指出，一个学生的卓越之处，并非仅仅体现在其优异的学业成绩上，更为关键的是他们拥有非凡的思维方式。弗赖登塔尔则生动地比喻数学学习为一种实践活动，强调这种学习如同学习游泳或骑自行车，单凭书本知识、教师讲解或旁观他人操作是远远不够的，必须亲自参与其中，通过实践来掌握。现代数学教育理论普遍认同，数学能力是个体顺利完成各类数学活动不可或缺的基石，它是在数学活动过程中形成和发展起来的。数学能力有强弱之分，这种区分主要是通过数学思维品质来确定的。因此在数学教学中，教师应发扬教学民主，科学组织课堂教学，让学生通过形式多样化的数学活动，强化不同类型的习题训练，不断提高学生的思维品质。

（作者单位：杭州市余杭区仁和中学）

编辑：温雪莲