安培力做功的微观和宏观过程及能量转化探究

摘 要：由磁场驱动电梯的实际问题出发，从微观上探究了两个洛伦兹力做的功及总功为零的原因，揭示了能量转化的微观机制；在地面参考系中从宏观分析一对安培力和一对非静电力所做的功，找出了它们的大小关系及能量的转化过程，并对一些特殊情况进行了剖析。

关键词：安培力；洛伦兹力；微观；宏观；功；能量转化

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）11-0066-3

１ 问题的提出

本地某校高三的一次模考中出现了这样一道物理试题：

一种无绳电梯依靠电磁驱动原理运行，如图１所示，质量为ｍ、宽度为ｌ的电梯轿厢一端处于方向垂直轿厢平面向里、磁感应强度大小为Ｂ的匀强磁场中。某次向上启动电梯时，磁场以速度ｖ匀速向上移动，轿厢一端始终处于磁场区域内，整个轿厢的电阻为Ｒ，重力加速度为ｇ，阻力不计，则下列说法正确的是（ ）

Ａ．轿厢向上做匀加速直线运动

Ｂ．轿厢向上运动的速度可能为v-

Ｃ．安培力对轿厢做的功大于轿厢机械能的增量

Ｄ．安培力对轿厢做的功可能小于回路中产生的热量

考后，大家对Ａ、Ｂ选项都没有异议，认为Ａ选项错误，Ｂ选项正确，但是对Ｃ、Ｄ选项形成了不同的观点，在当地的中学物理教师之间以及师生之间，甚至波及到大学教师之间，进行了一场激烈的讨论。一种观点认为，从能量转化守恒的角度，轿厢受到向上的安培力做的功就应等于回路产生的电能和轿厢增加的机械能，然后产生的电能在回路中再全部生1Vs+y/DBomemdGjTp0B9kKa8m4eQdgp+Q/kpxvkc95U=成热能，因此应选Ｃ选项。但另一种观点认为，从对轿厢用功能原理知，安培力的功就是除重力、弹力之外的其他力的功，就应等于轿厢机械能的增量，因此不能选Ｃ选项，由于表达式不能确定数量的大小关系，因此应选Ｄ选项。

这是一种平常见得较少的磁场运动的发电机模型。随着讨论的深入，可以发现大家对安培力的微观、宏观产生过程以及能量的转化情况都或多或少存在过程不清或认识不全面等问题，下面进行详细探究。

２ 微观上洛伦兹力及其做功的分析

由于导体切割磁感线是相对于磁场而言的，或者洛伦兹力是带电粒子相对磁场的运动而产生的，因此，以速度v向上匀速运动的磁场为参考系分析。如图２所示，假设轿厢已被驱动，某时刻向上的速度设为v1，二者间的相对速度为v-v1。对轿厢上端处于磁场中的导体来说，为了分析方便，设其中的自由电荷为正电荷，电荷量为q，因为其相对于磁场向下以v-v1的速度运动，由左手定则知其受到向右的洛伦兹力f1=q（v-v1）B，其作为非静电力推动自由电荷在导体中做定向移动形成感应电流，产生电能。同时，自由电荷沿导体定向移动（设此时相对于磁场向右的速度为v2）在磁场中又将受洛伦兹力f2=qv2B，由左手定则知其方向竖直向上。

以向上运动的磁场为参考系，轿厢相对于磁场速度向下，大小为v-v1，该时刻两个洛伦兹力的功率分别为

P1=f1v2=q（v-v1）Bv2

P2=-f2（v-v1）=-qv2B（v-v1）

故P1+P2=0。可见，洛伦兹力始终不做功，但两个分力要做功。其中， f1做正功，是非静电力做功，使回路中产生电能； f2做负功，阻碍轿厢相对于磁场的运动，使轿厢相对磁场的机械能减小。由于总功为零，说明是两个洛伦兹力在微观上实现两种能量的等量转化，这里是将轿厢相对磁场的机械能转化成回路中的电能。

３ 宏观上各力做功及能量转化分析

从地面参考系来看，如图３所示，该时刻，上面两个洛伦兹力f1、f2在宏观上可分别记为F=∑q（v-v）B，F=∑qvB（可以证明∑qvB=nSLqv2B=BIL，其中Ｓ、Ｌ为上端导体的横截面积和长度，ｎ为单位体积的自由电荷数），磁场的反作用力分别为F'=∑q（v-v）B（水平向左），F'=∑qvB（竖直向下）。在该时刻各力的功率分别为：

P=Fv2=∑q（v-v）Bv2，表示回路中单位时间产生的电能；

P=Fv1=∑qvBv，表示轿厢在单位时间内增加的机械能。

P'=F'vcos90°=0

P'=-F'v=-∑qvBv，表示运动的磁场装置单位时间消耗的机械能。

由上可见，P+P=|P'|，或|P+P'|=P。

从地面参考系看，能量是由F'做负功将外界机械能转化为轿厢通过F做功增加的机械能和通过非静电力做功而产生的回路电能。也可以说是一对安培力的总功为负，阻碍磁场与轿厢之间的相对运动，其大小表示系统减少的机械能转化为回路中的电能，这与前面的两个洛伦兹力做功的微观机制相吻合。因此，前面题目中安培力对轿厢做的功只等于轿厢机械能的增量，其反作用力F'对磁场做的负功的大小才等于轿厢增加的机械能和回路增加的电能，所以Ｃ选项错误，由于P=∑q（v-v）Bv2与P=∑qvBv1的大小无法比较，故Ｄ选项正确。

４ 对其他情况的分析

该题中，如果安培力小于轿厢的重力，轿厢不动时，由于回路中自由电荷与磁场间有相对运动，仍将产生沿回路方向的洛伦兹力，并作为非静电力在回路中产生电能。在图３中，v1=0，F=F'=∑q（v-v）B=∑qvB，F=F'=∑qvB，在图示时刻P=Fv2=∑qvBv，P=0，P'=0，P'=-F'v=

-∑qvBv。可见，通过F'做负功，将外界机械能全部转化为通过非静电力做正功在回路中产生的电能，安培力即使对轿厢不做功，但这一对安培力的总功的大小仍等于回路中产生的电能。

平常我们见得最多的问题是磁场不动，即在上图中v=0。如图4所示，外界拉力使闭合回路的部分导体在磁场中相对磁场运动，设速度仍为v1，则回路中的自由电荷受到的洛伦兹力方向向左，大小为f1=qv1B，此力作为非静电力推动自由电荷在回路中做定向移动形成感应电流。设某一时刻自由电荷定向移动的速度（下转第71页）（上接第67页）为v2，这一相对磁场的运动又将产生一个方向竖直向下的洛伦兹力，其大小为f2=qv2B，这两个力的宏观力分别记为F=F'=∑qvB，F=F'=∑qvB，其中F'对磁场不做功，F'对磁场仍不做功，只有F和F两个力做功，在该时刻这两个力的功率分别为P=Fv2=∑qvBv2，P=-Fv1=-∑qvBv。可见，此时是通过F（而不是通过F'）做负功将运动导体的机械能转化为通过非静电力做正功在回路中产生的电能。

５ 结 语

综上所述，不管是磁场运动还是回路中部分导体运动或者是二者都运动，在没有外界供电的发电机模型中，只要磁场与导体间有相对运动，导体中的自由电荷一定会受到一个洛伦兹力来推动其沿导体定向移动形成感应电流，由于导体中自由电荷相对磁场的定向移动，又将受到另一个洛伦兹力去阻碍导体与磁场间的相对运动，两个洛伦兹力的总功一定为零，表示通过这两个力做功实现能量的等量转化。这两个洛伦兹力都是磁场作用在自由电荷上的，其反作用力作用在磁场上，在宏观上表现为磁场与导体间存在一对非静电力和一对安培力，由于磁场与导体间有相对运动，使一对非静电力的总功为正，其大小等于导体回路中产生的电能，一对安培力的总功为负，其大小等于因阻碍导体与磁场之间的相对运动而导致系统减少的机械能，从等量转化的微观机制可知，系统机械能的减少量一定等于回路产生的电能。

参考文献：

［１］闫来贵．正确认识动生电磁感应现象中的功能关系成立的参考系［Ｊ］．物理教师，２０２１，42（５）：５８－６０．

［２］鲍永新，苏明义．迁移研究方法 深化模型理解——以“霍尔效应、发电机模型、电动机模型”教学为例［Ｊ］．中学物理教学参考，２０２２，51（28）：２０－２２．

（栏目编辑 蒋小平）