为什么“透明介质的折射率随光的频率增大而增大”

摘 要：２０２４年全国高考新课标卷物理第１７题以与２０２３年诺贝尔化学奖相关的不同尺寸量子点发光的颜色不同为情境，考查了学生对能量量子化、光的波粒二象性及光的折射和光的色散等知识的理解和推理论证能力。采用阻尼谐振子模型推导介质折射率随光的频率变化的定量关系，揭示试题背后的物理思维和图像，丰富试题本身的物理内涵。

关键词：高考物理试题；量子点发光；光的色散；阻尼谐振子

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）11-0060-3

２０２４年全国高考新课标卷物理第１７题依据中国高考评价体系，利用与２０２３年诺贝尔化学奖相关的不同尺寸量子点发光的颜色不同这一情境为载体，考查学生对能量量子化、光的波粒二象性及光的折射和光的色散等知识的理解和推理论证能力。试题情境新颖，设计巧妙，注重深化基础，既让基础扎实的学生容易“得分”，又让学有余力的学生有很大的拓展空间，真正体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，对中学物理教学有很好的引导作用。下面对该题进行深度剖析，试图揭示其背后的物理内涵。

１ 原题呈现与解析

原题 （２０２４年新课标卷物理第１７题）三位科学家由于在发现和合成量子点方面的突出贡献，荣获了２０２３年诺贝尔化学奖。不同尺寸的量子点会发出不同颜色的光。现有两种量子点分别发出蓝光和红光，下列说法正确的是（ ）

Ａ．蓝光光子的能量大于红光光子的能量

Ｂ．蓝光光子的动量小于红光光子的动量

Ｃ．在玻璃中传播时，蓝光的速度大于红光的速度

Ｄ．蓝光在玻璃中传播时的频率小于它在空气中传播时的频率

解析 试题解析如图1所示。

试题以与２０２３年诺贝尔化学奖相关的不同尺寸量子点发光的颜色不同为情境，考查学生对能量量子化、光的波粒二象性及光的折射和光的色散等知识的理解和推理论证能力。

试题设计的四个选项难度均不大，学生较容易得到正确答案为Ａ选项。但对于Ｃ选项中需用到的必备知识“玻璃砖对红光的折射率小于对蓝光的折射率”，学生对此的认知可能主要来源于教材中三棱镜对白光的色散实验或彩虹的形成，但不理解其原因，而很多教师可能也不知其物理内涵。

２ 现行各种版本教材对光的色散的描述

选取２０１９年人民教育出版社（以下简称“２０１９人教版”）、２０１９年教育科学出版社（以下简称“２０１９教科版”）、２０１９年山东科学技术出版社（以下简称“２０１９鲁科版”）、２０１９年广东教育出版社（以下简称“粤教版”）、２０１９年上海科技教育出版社（以下简称“２０１９沪科版”）及２０２０年上海科技教育出版社（以下简称“２０２０沪科版”）出版的高中物理教材，“光及其应用”相关内容位于选择性必修第一册，其中“光的色散”相关描述如表１所示。

从表1可以看出，２０１９人教版和２０２０沪科版均无光的色散的相关内容，２０１９粤教版以自主查阅资料的形式提及雨后彩虹，但未给出不同色光在同一种介质中的折射率的结论。从另外三版教材均可看出折射率与光的频率的关系，尤其是２０１９沪科版明确提出了“同一介质折射率随光的频率的增大而增大”，但未说明折射率随光的频率变化的原因，导致学生只知其然而不知其所以然。

３ 折射率随光子频率变化的深入分析

在经典电磁理论范围内，可以用阻尼谐振子作为原子内束缚电子的模型［１－３］，设振子的固有圆频率为ω0，阻尼系数为γ，则在入射光波电场=0 e-iωt作用下的振子运动方程为

+γ+ωx=e（1）

解bh6IzxtminlBkR+lWmyjDw==该方程可得谐振子在光波作用下的位移为

=e-iωt（2）

介质（非铁磁质）的宏观电磁性质由电极化强度决定，设介质中单位体积内的电子数为Ｎ，则介质的电极化强度为

=Ne=（3）

根据 = ε0（εr-1），得介质的相对介电常数εr为

εr=1+（4）

相对介电常数的实部ε1和虚部ε2分别为

ε1=1+（5）

ε2=（6）

它们随光子能量（E=hυ=？攸ω）的变化曲线如图2所示。实部ε1对？攸ω的依赖关系称为色散，虚部ε2是由于电磁波的吸收引起的。如图2所示，ε2在？攸ω=？攸ω0处有尖锐的极大值，表示一种共振状态，离？攸ω0较远处ε2≈0。

能量的变化关系（图中取=100，？攸ω0=4，γ=0.2）

介质的复折射率n+ik与相对介电常数ε的关系为n+ik=，可得

n=（7）

复折射率的实部ｎ就是通常测定的折射率，虚部ｋ称为消光系数。图3为介质的折射率ｎ随光子能量的变化关系。从图中可以看出，当介质在可见光（波长范围为７６０ nm～ ４００ ｎｍ［４］，对应的光子能量为１．６３ eV～３．１０ ｅＶ）区域内透明，即介质的固有频率ω0大于紫光的频率，且入射光子的频率ω小于介质的固有频率ω0时，介质对光的色散为正常色散，即介质的折射率随入射光的频率的增大而增大。此即２０１９沪科版提出的“折射率随光的频率的增大而增大”，其隐含的前提条件是该介质在可见光区域内透明。其物理内涵为：在可见光区域内，入射光子的频率越大，越接近介质的固有频率，越容易达到共振，因而谐振子的位移越大，由（3）式知在同种介质中谐振子引起的电极化强度越大，由（4）式知介电常数越大；在非共振区，ε2≈0，则由（7）式知n≈≈，因此入射光子频率越大，折射率越大。

从图3中还可以看出，当入射光子的频率大于介质的固有频率时，折射率ｎ随光子能量的增大而减小，即反常色散；当入射光子的能量继续增大，介质的折射率几乎为０，在此频域内，光不能在介质中传播；若继续增大入射光子的频率，折射率随频率的变化又转为正常色散。

４ 总 结

本文基于２０２４年新课标卷物理第１７题对不同尺寸量子点发出的不同颜色的光的折射率随光子频率变化进行深入分析，采用阻尼谐振子模型详细推导了介质的折射率随光子能量的变化关系，发现只有在正常色散频域内才满足“介质的折射率随光的频率的增大而增大”。本研究可以为学有余力的学生拓展视野，帮助其理解光的色散的物理本质，辅助一线教学。

参考文献：

［１］赵凯华．新概念物理教程 光学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６：３４８．

［２］郭硕鸿．电动力学（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８：２６９．

［３］方容川．固体光谱学［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２００１：１１．

［４］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书物理（选修３－４）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３：５６．

（栏目编辑 蒋小平）