运用“小结与反思”提高章节复习的有效性

【摘要】新浙教版教科书“小结与反思”中的“知识梳理”与“回顾与反思”是由原教科书的填空与填表改编成的.许多教师没有领会新教材编写的意图，还是“新歌老唱”.以“有理数”章复习为例，谈谈“小结与反思”的使用与开发：利用“回顾与反思”给出知识回顾的线索；利用“知识梳理”构建与优化知识结构图；利用“目标与评定”检测学习的达成.

【关键词】小结与反思；有理数；章复习

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的颁布，初中数学各种版本教科书根据“新课标”理念进行了修订与编写，编写者通过两年的努力，新一轮教科书于2024年秋季投入试用.“新课标”提出课程“设计体现结构化特征的课程内容”“课程内容的组织重点是对内容进行结构化整合”[1].新浙教版教科书非常重视课程内容的“结构化”，例如，新浙教版教科书在“小结与反思”处进行重大的修订，把原浙教版教科书章中“小结”改编成“小结与反思”，章中“小结”内容由原来的填空和填表改编成“知识梳理”与“回顾与反思”.“知识梳理”是对本章的知识与蕴含的思想方法进行简明扼要的概括，概括之后给出本章知识结构图；“回顾与反思”却是以问题驱动的方式再次反思本章所学的内容.在实际教学调研中，发现许多教师还没有意识到新浙教版教科书章“小结与反思”的变化，有的教师还是用填空与表格的形式进行知识的回顾与提取，没有领会新教材编写的意图，更没有体会“新课标”所倡导的知识“结构化”理念.那么如何利用新教科书中的“小结与反思”这一资源有效地促进复习课教学呢？本文以浙教版七年级上册第一章“有理数”为例，谈新浙教版教科书“小结与反思”的使用与开发，供同行们参考.

1利用“回顾与反思”给出知识回顾的线索

新浙教版教科书在“小结与反思”中都有“回顾与反思”的栏目，栏目的内容以问题的形式给出，这些问题覆盖了本章的大部分知识.例如在“有理数”一章中，给出了如下的问题：

（1）分类是一种重要的数学思想.有理数可以分成哪几类？有几种分类方法？本章还有哪些体现分类思想的例子？

（2）数轴是怎样的一条直线？怎样用数轴解释一个数的相反数和绝对值？数轴能把抽象的数用直线上的点直观地表示出来.利用数轴的直观性，能更好地理解相反数和绝对值.数轴还能帮助我们解决什么问题？

（3）比较两个有理数的大小，有哪些方法？

（4）在本章学习中，你还获得哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要提醒自己和同学注意的问题[2]？

首先，问题1是对分类方法的回顾，数学思想方法是一类默会性知识，需要在具体活动中进行体验与感悟；问题2与3主要是对“数轴、相反数、绝对值以及有理数大小的比较法则”的知识进行回顾，是对一类陈述性知识的再现与反思；问题4反思本章的学习过程，感悟其中的经验与方法，学会分享.经验与方法是一类策略性知识，它需要学生在反复做相同的事情中提炼与概括，需要结合具体的问题或者活动，才能领会其中的经验与方法.

教科书中给出了4个问题，但在实际的复习中，我们需要进行补充、调整与修改.例如上述4个问题没有涉及负数，为什么要引入负数，考虑到数学知识的逻辑性，本章“有理数”没有涉及有理数的运算，大部分教科书都是基于现实生活中具有相反意义的量而引入负数，事实上站在数学的发展角度，相反意义的量不是引入负数的本质原因.因此，在实际复习中要渗透数系扩充的一般观念，为后继从有理数到实数的扩充作好铺垫.

其次，由于数学思想方法是一类默会性知识，抽象的思想方法需要对具体的问题进行设问，因此问题1需要结合具体问题再提炼与概括；而问题4却是一类策略性知识，思维含量高，不宜在回顾中给出高难度的问题，应放在总结处.

综合上述的分析与思考，可补充如下几个问题：

（1）小慧这两天的微信收支情况如下：9月9日妈妈给的零用钱为45元；9月10日消费了50元.

①请用正负数填写上表.

②分析这两天微信结余多少元？

③为什么要引入负数？你有哪些思考？

④梳理已学的数，数的范围扩大了几次？每次扩大数的范围时，引入一类新数的原因是什么？

（2）下列各数：-3，-6/7，0，5.1，-1，3.你能对这些数进行分类吗？有理数可以分成哪几类，有几种分类方法？

（3）数轴是怎样的一条直线？-2和2在数轴上的位置有何特征，你能用数轴解释它们的特征吗？

（4）-3的绝对值在数轴上的含义是什么？哪些数的绝对值等于它的相反数？

（5）比较-2/3与-5/7的大小.

2利用“知识梳理”构建与优化知识结构图

自从“新课标”倡导知识结构化以来，一线的教师们越来越意识到知识结构化的重要性，学生的认知结构是通过知识结构转化而来，有条理、有逻辑的知识结构可以把外在的知识内化为学生的认知结构.因此，在复习课中，老师们也开始指导学生对单元或者章节知识进行导图的构建，然而知识导图如何构建，为什么是这样构建？教师也不是很清楚，大部分教师也是直接参照章节复习课中的知识框架图，或者抄写各类教辅的知识导图等.总之，怎样让学生学会构建知识结构图也成为复习课中的一个难点.新浙教版教科书在这一方面提供了可操作的方法.

例如，七年级上册第一章“有理数”的知识与梳理如下：

本章在小学学过的自然数、分数（小数）的基础上，学习了负数，使数的范围从自然数、分数扩充到了有理数.数轴不仅能直观表示数，还能帮助我们认识相反数和绝对值，进行数的大小比较.借助绝对值，能将负数的大小比较转化为正数的大小比较.分类、数形结合、转化是本章学习中常用的思想方法.

通过上述知识与梳理，教材得到如图1所示的知识结构图.这样的知识结构图是如何得到的呢？

实际上，知识与梳理是对本章所学过的内容按照时间的先后进行回顾，在小学阶段，首先学习自然数，再学习分数（小数），这些数都是正数，到初中阶段引进负数，数系扩充到有理数，得到图1左边部分知识结构图.借助数轴把有理数序列化、直观化，先后学习相反数、绝对值与有理数的大小比较.值得一提的是这里的知识结构图不是知识间的所属关系，它体现了学习知识的一种先后关系.

知识与梳理除了对知识回顾外，还有对本章知识所蕴含的思想方法进行回顾，那么如何在知识结构图中体现数学思想方法呢？在图1的基础上，为了更好地体现数学思想方法，对图1的知识结构图进行位置调整，比如有理数与数轴蕴含了数形结合与对应的思想，数轴上关于原点对称是一对特殊位置关系的点，这是从形的视角看，如果从数的视角看，相反数也蕴含了数形结合思想.相反数与有理数的大小比较蕴含了转化的思想，借助绝对值把负数转化成正数，同时有理数的大小比较延续以前正数的大小比较，蕴含了类比推理的思想，这样就得到图2的知识结构图.

引入负数，数系扩充到有理数，类比小学中自然数的学习路径：自然数（符号表示0，1，2，3等）→序（大小比较）→运算与运算律.基于数系扩充内在的一致性看，对有理数一章的知识结构可以整理成如下：引入与定义（有理数）→表示（有理数符号表示、数轴）→性质（大小、相反数、绝对值）→运算与运算律.

上述知识结构图整理从最初的知识梳理得到图1的知识结构图，然后再基于数学思想方法，优化知识结构图，得到图2的知识结构图，然后再基于数系扩充的一致性再进行优化，从中可以发现知识结构图的整理实质是一个知识的优化与组合的过程，也是学生对有理数深度理解的过程.

3利用“目标与评定”检测学习的达成情况

在“小结与反思”之后的“目标与评定”是对本章内容目标的学习达成情况的自我评定.通过自测，了解自己在学习过程中，哪些方面还需进一步提高，在学习方法上还需作哪些改进.“目标与评定”分别分成目标A，B，C，其中目标A，B覆盖本章各知识点，目标C是综合本章的知识，解决一些简单的实际问题.在复习课选题时，教师可以根据本班的学情选择合适的问题，检测学生对本章学习目标的达成情况.例如，教师选择以下的内容进行检测与回顾.

目标与评定

1.（1）0的相反数是______，绝对值是______；-5.1的相反数是______，绝对值是______；|-5|+|-4|=______，|5|-|-4|=______.

2.哪些数的相反数与绝对值相等？

3.如图3，数轴的单位长度为1.

（1）如果点P，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少？

（2）如果点R，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是正数还是负数？图3中表示的五个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？

4.如图4，在生产图纸上通常用φ300^+0.2_-0.5来表示轴的加工要求，这里中φ300表示直径300 mm，+0.2和-0.5是指直径在（300-0.5）mm到（300+0.2）mm之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴，尺寸要求是φ45^+0.03_-0.04，请判断直径为44.97 mm和45.04 mm的两根轴是不是合格产品[2].

4对“小结与反思”复习的思考

平常的课时授课是基于知识的学习，知识以点状的形式存贮在学生的记忆中，复习课中就是要对知识点进行关联，达到知识的结构化，把零散的知识变成一个整体.

复习的另一个目的是为了减少遗忘，教师通过创设知识间回顾与构建活动，使学生展开对知识意义的建构，促进知识间多方位的联接.在复习时，重点不是一个个知识点的回顾，而是通过回顾知识，加强知识间的联系.例如，本章中以数轴为中心，加强数轴与有理数的联系，有理数可以在数轴上找到一个点，点可以用数表示，感悟它们之间的关联，体会知识蕴含的思想方法，其实这一个想法是不简单的，它是一个伟大的想法，历史上第一个把数用形去表示是数学家毕达哥拉斯，把头脑中建构出来的数与外部世界中的形找到一个有机的联系，实现数与形的同构.这样的想法是伟大的，它的伟大之处在于体现了数的有序化和直观化.运用数轴研究相反数与绝对值，能够更好地理解绝对值的几何意义；同时由于数轴与有理数的大小有关联，可以借助数轴比较有理数的大小.从中我们发现，可以以数轴为核心建立知识间的联系，以此达到知识间的意义建构，并在建构的过程中促进知识间的深度理解与记忆.

复习就是知识的优化与重组，通过复习可以进行知识的重组，让学生看到知识的本质.比如为什么要引入负数，教材中从相反意义的量引入负数，数学史表明引入负数的其中一个重大意义，就是形成了有理数在加减运算上的闭环，比如“5-3”与“3-5”的结果都在有理数集合内.同时，引入负数，使加减成为可逆、互逆运算.运算封闭和运算互逆，体现了数学家在代数领域的数学思考，学生应该学习并理解这种思考方式，才有利于消除困惑.那么本节课中我们可以让学生体会站在数学的高度去认识为什么要引入负数.

复习还要求我们学会应用，对知识的应用，体现数学来自哪里，又延伸到哪里.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学教育出版社，2022：2.

[2]范良火.义务教育教科书·数学七年级上册[M].杭州：浙江教育出版社，2024：26-28.

作者简介张安军（1975—），男，浙江台州人，中学正高级教师，浙江省特级教师，余杭区初中数学教研员；主要从事数学教育与初中数学命题研究;发表论文60余篇，其中人大报刊复印资料全文转载6篇.