对推理意识的一些思考

［摘 要］随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的推出，推理有了更为具象和具体的概念界定和表现要求。文章从数学分析维度阐述推理意识的本质，从认知分析维度确定师生的认知障碍，从教学分析维度提出培养推理意识的三大策略。

［关键词］推理意识；分层进阶；小学数学

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）32-0020-03

推理是数学的核心思想之一，也是数学思维的基本表现形式。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确了“推理”的层次划分，为推理提供了更清晰、精准的定义。在此基础上，“推理意识”成为小学阶段数学课程标准的关键概念。针对课程标准的具体要求，本文将从数学分析、认知分析和教学分析三个维度，探讨如何在小学阶段培养学生的推理意识。

一、数学分析

推理的基本形式包括演绎推理、归纳推理和类比推理，三者均遵循同一律、矛盾律、排中律的基本原则。下面将从概念、结构和属性三个维度对推理意识进行阐述。

（一）概念维度：推理意识的基本释义

《义务教育数学课程标准（2022年版）》与《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对推理的描述，展现了学习思维发展从小学推理意识到初中推理能力，再到高中逻辑推理的连贯性与阶段性。推理意识是对逻辑推理及其意义的初步感悟，是基于对特定事物或经历的感性认识，其作用是帮助学生理解推理在数学中的重要性，形成有条理的思维习惯。推理能力则指依据事实和命题，遵循一定规则推导出其他命题或结论的能力，有助于形成重视论据、逻辑严谨的思维习惯，以及实事求是的科学态度和理性精神。逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推导出其他命题。推理意识是推理能力的基础，推理能力又是逻辑推理能力的基础，三者呈现出逐步提升的态势。

（二）结构维度：推理意识的表现内容

推理意识主要体现在四个方面：一是根据现有情境或背景进行合理猜测或推理；二是通过科学归纳或类比进行合理猜测或推理；三是运用“一般”解决“特殊”，以验证结论的可行性；四是依据问题解决过程进行合理的说理辨析或解释。在不同知识领域，推理意识可分为计算推理意识、几何推理意识和统计推理意识。小学阶段推理意识的培养以局部推理为主，对严谨性和符号化要求较低，涉及推理的三种基本形式主要是在具体情境中借助直观操作和日常经验。

（三）属性维度：推理意识的功能特点

综合心理学、学科教育等领域的研究成果，得到推理意识在问题解决过程中具有五个属性特点：理解性、条理性、灵活性、合理性和创造性。

1.理解性：能正确理解事物、经验及其相关联系，利用具体情境进行说明，并能理解他人的表达。

2.条理性：能运用数学化语言进行解释，如使用反证、反例等论证方法，表达具有逻辑性。

3.灵活性：能运用符号、图形、图表等多种表征方式解释说明，具备方法关联和迁移能力。

4.合理性：能进行质疑和反思，通过分析判断，形成理性思考能力。

5.创造性：具备观察、概括能力，能发现事物间的共通之处，具有思维直觉性，对结果有直感和顿悟。

二、认知分析

学生是学习的主体，教师则扮演着引导者的角色。准确把握双方的认知情况，将大大提高推理意识培养的效率。王瑾、陆航、赵倩倩等专家通过问卷调查，对教师和学生在归纳推理和演绎推理方面的实际应用效果进行了研究。笔者基于这些调查结果，梳理出教师在发展学生推理意识的过程中，以及学生在发展推理意识的过程中的认知障碍。

（一）教师的认知障碍

有的教师对归纳推理的重要性认识不足，对演绎推理认知片面，认为演绎推理更多是初中阶段的事，小学阶段与演绎推理无关，教学往往以枚举归纳推理为主，常常只揭示了是什么，不解释为什么，造成学生“知其然，却不知其所以然”。

（二）学生的认知障碍

小学高年级学生在推理时尽管能够得出正确结论，却难以清晰表述和说明推理过程，其表达多依赖于片段化、不连贯、高度依赖情境的内部语言。学生在推理的灵活性方面也有所欠缺，很少能主动采用多样化的数学表征进行关联和迁移。在创造性和合理性方面，学生在问题解决过程中观察、比较、分析并发现共性的能力较弱，整体上未能形成完整的归纳或演绎推理模式，缺乏质疑和自我反思的能力。

三、教学分析

基于数学和认知两个方面的分析，笔者将从底色、中流、高位三个方面阐述对培养学生推理意识的思考。

（一）构建底色：着重交流表达中的理解和条理把握

理解性和条理性是推理意识的基本属性。理解性是将学生隐性的个体内部语言转化为外显的书面语言或口头语言的过程，条理性是指学生的表达是清晰的、层次分明的，具备逻辑顺序的。笔者为学生提供了表达推理的模式（如图1），以帮助学生更有条理、层次地表达，使语言更加清晰简洁，便于他人理解。

【教学案例】“三位数乘两位数”练习课

对于题目“□□□×□□=（ ）。A.998 B.6660 C.99901 D.100000”，笔者以“可能等于多少？你会选哪个选项，不选哪个选项？说明你的理由”为课堂关键问题，引导学生展开推理表达：“我不选A。因为最小的三位数乘最小的两位数（即100×10=1000）都比998大，A肯定不对。”“我不选D。因为999×99，全部估大了再计算，1000×100=100000，可见D不可能是正确答案。”……学生在表达过程中充分运用数学计算知识，寻找支持自己观点的例证，无论是正例还是反例，都说明了选择和不选择的理由。

（二）锻淬中流：侧重科学归纳下的灵活和合理培育

灵活性与合理性是衡量学生思维广度和深度的具体标准。灵活性指的是学生能够运用多元表征方式实现知识的关联与整合。在日常推理中，学生常采用枚举法进行不完全归纳，这是一种有效的方法，在推理过程中适当引入科学归纳法，在不完全归纳的基础上，引导学生体验完全归纳的过程，通过分析、质疑、反思和应用，能让学生的思维更加多样化，更加严谨（如图2）。

【教学案例1】稍复杂的组合问题

对于问题“每两个小朋友握一次手，4个小朋友一共要握（ ）次手。（写一写、画一画、算一算，说明你的想法）”，让学生选择自己喜欢的方式记录思考过程。学生通过对比和关联，自然地将方法2与方法4、方法3与方法5联系起来（如图3）。进一步观察对比后，学生发现这四种方法均与方法1相关，从而通过直观的图像表征和抽象的算式表征，深入理解组合问题的本质。

方法1： 方法2：

方法3：

方法4：3+2+1=6（种）

方法5：3×4÷2=6（种）

【教学案例2】“2、5的倍数的特征”

倍数是初等数论的基础，传统的学习更多借由百数表来发现2、5的倍数的特征，然后进行概括记忆。通过大量课前调研，笔者发现学生对2、5的倍数的特征有清晰的认识，但对于背后的原理，学生往往缺乏理解。于是笔者尝试运用多元表征（如圈一圈、枚举特例、举反例）的方式，基于科学归纳，让学生感悟整除的性质，并理解5的倍数的特征背后的原理。笔者还鼓励学生通过举一反三，迁移探索5的倍数的经验，分析、质疑、反思并对2的倍数的特征进行猜想，验证并说明理由。除了关注科学归纳，笔者还重视完全归纳，让学生在无法举出其他例子时，感受同余问题背后的合理性。

（三）追求高位：注重顺逆互通里的创造及演绎体验

推理的至高境界便是学生能够进行创造性的思考，具体表现为学生有一定的思维直觉，具备一定的思维顿悟能力。在充足的时间和空间条件下，学生能在正向与反向的情境中简洁而创新地展现问题解决的多样性，彰显思维的敏捷性。在验证数学猜想时，学生可以运用演绎推理，或证实猜想的正确性，或通过反例来否定、修正猜想（如图4）。只有经历大量的演绎实践，学生才能为推理和逻辑能力提升打下坚实的基础。

【教学案例1】鸽巢问题

对于问题“把（ ）支笔放入100个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支笔。把（ ）支笔放入（ ）个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支笔”，学生习惯于顺向思考，即给定笔和笔筒的数量，推断至少有多少支笔在同一个筒中。而逆向问题情境可以启发学生的思维。在课堂上，通过正向迁移解决鸽巢问题的经验，学生能够列举出100和101支笔的情况，并逐步推广到将200支笔放入100个笔筒的情况。通过分析201支笔的特殊情况，学生能够理解笔与笔筒之间的关系，并推导出将（a+1）～2a支笔放入a个笔筒时，至少有一个笔筒有2支笔的规律。这种从正向到逆向的迁移，不仅丰富了学生的认知，也拓宽了他们的思考范围。

【教学案例2】有趣的面积

对于问题“比较三个三角形BDF的面积大小（如图5）”，学生发现不能简单地使用常规方法计算三角形的面积。基于丰富的等积变形经验，一些学生开始尝试通过演绎推理来比较三个三角形的面积：三个三角形的底都是BD，且第三点F位于与BD平行的对角线CF上，三角形的高相等，因此面积也相等。通过等积变形的演绎推理，学生成功推理出三个三角形的面积相等。

学生推理意识的培养，不能“借位”更不能“越位”。未来的研究应关注教学内容的结构化，将散点式内容有机串联，通过分层次的教学进阶策略，满足不同学生的个性需求，让学生逐步提升推理意识，确保他们能在自己的学习路径上有序前进。

（责编 金 铃）