建构等量模型巧解浓度问题

浓度问题是百分数应用题中的典型问题。为了帮助学生提高解决百分数相关实际问题的能力，增强模型意识，发展数学思维，笔者精心设计浓度问题专项练习，以不变量为切入点，利用不断进阶的问题，引导学生抓住等量关系构建解决浓度问题的数学模型。

一、解决简单问题，关注不变量

课堂伊始，笔者出示题目“有浓度为16%的食盐水溶液1000克，现在要将其稀释成浓度为10%的食盐水溶液，需要加多少克水？”，并引导学生思考这里的食盐水溶液指什么。学生回答“食盐水溶液=食盐+水”。笔者点拨：溶液由溶质和溶剂混合形成，“溶液质量=溶质质量+溶剂质量”。笔者追问：16%的食盐水溶液表示什么意思？学生回答：表示食盐的质量占食盐水溶液质量的百分之十六，也就是“食盐水溶液质量[×]16%=食盐质量”。笔者继续追问：问题情境中，哪些量是变化的，哪些量是不变的？学生回答：食盐水溶液的浓度和质量是变化的，食盐的质量是不变的。笔者顺势强调：“不变量”指在问题情境中一直保持不变的量，如这个问题中食盐的质量，因为加水稀释的过程只增加了溶剂“水”的量，而没有增加溶质“食盐”的量。由此，学生抓住了解决这道题的关键——食盐的质量不变。

学生先计算原来食盐水溶液中食盐的质量，即1000×16%=160（克），而现在160克食盐在食盐水溶液中只占10%，所以学生用“160÷10%”计算出加水后食盐水溶液的质量为1600克，接着用“1600-1000”计算出加600克水。在学生抓住不变量并用算术方法解题后，为引导学生建立等式模型，笔者引导：如果16%浓度的食盐水溶液中食盐的质量用“1000×16%”表示，那么10%浓度的食盐水溶液中食盐的质量如何表示？你能根据不变量列方程解决问题吗？学生设需要加水的质量为[x]克，加水后新的食盐水溶液的质量是“1000+[x]”克，根据新的食盐水溶液中食盐的质量与起初食盐水溶液中食盐的质量相等，可以建立方程“（1000+[x]）×10%=1000×16%”，解方程得到[x]=600，即需要加600克水。随后，笔者追问：这道题的算术解法和方程解法有什么区别和联系呢？学生思考后回答：用算术方法解题时，我们由“总量×部分量占总量的百分比=部分量”倒推可知，要求总量，就要用“部分量÷部分量占总量的百分比”；而用方程解题时，我们设未知数，根据找到的不变量列等式求解。笔者点拨：算术方法是根据数量关系，通过已知量推导出未知量，体现的是逆向思维；而方程方法是把未知量视为已知量参与运算，体现的是顺向思维。

巩固练习环节，笔者出示下题：如果已经有10%的食盐水溶液2000克，要将其浓度增加到20%，需要蒸发掉多少克水？这道题和例1同源，学生很快发现“食盐的质量不变”这个关键点，先表示出10%浓度食盐水溶液中食盐的质量“2000×10%”，接着设定需要蒸发掉的水为[x]克，用“2000-[x]”表示水蒸发后浓度为20%的食盐水溶液的质量，然后用“（2000-[x]）×20%”表示20%浓度的食盐水溶液中食盐的质量，最后建立方程“（2000-[x]）×20%=2000×10%”，求出[x]=1000，即要蒸发掉1000克水。

二、探析变式问题，增强模型意识

在接下来的教学中，笔者提出了一个新的挑战：如果有含盐量为10%的食盐水溶液40千克，需要加多少千克食盐才能将其制成含盐量为28%的食盐水溶液？学生发现这个问题中的不变量不再是溶质“食盐”的质量，而是溶剂“水”的质量。学生抓住水的质量不变的关键点解答：先用“40×（1-10%）”表示含盐量为10%的食盐水溶液中水的质量，然后设需要加食盐的质量为[x]千克，则加食盐后含盐量为28%的食盐水溶液的质量为“40+[x]”千克，此时溶剂“水”的含量为“1-28%”、质量为“（40+[x]）×（1-28%）”，最后建立方程“40×（1-10%）=（40+[x]）×（1-28%）”，解得[x]=10，即需要加10千克食盐才能将其制成含盐量为28%的盐食水溶液。此外，有部分学生用算术方法作答，先用“40×（1-10%）”求出含水36千克，再倒推出加食盐后食盐水溶液的质量用“36÷（1-28%）”计算，结果是50千克，最后用“50-40”求出加入的食盐质量为10千克。这个过程不仅加深了学生对浓度问题中不变量的理解，使他们认识到不变量可以是溶质，也可以是溶剂，还帮助他们巩固了运用不变量解决问题的技巧。

随后，笔者拿出一个表面有褶皱的苹果并引导：“老师一周前买了一个质量为200克的苹果，假设这个苹果含有90%的水分，一个星期后苹果里的水分蒸发了一部分，水分含量变成了80%。你能计算出现在这个苹果的质量吗？”问题呈现后，笔者没有马上让学生作答，而是引导：在水分蒸发的过程中哪些量发生了变化？哪些量没有变化？此时，学生遇到了障碍：研究对象从溶液变成了苹果，无法直接找到溶剂和溶质。笔者继续引导：如果我们把苹果想象成水分和果质（苹果中水分以外的部分）分离的两个部分，你们能找出对应的“溶剂、溶质、溶液”吗？学生回答：水分对应“溶剂”，果质对应“溶质”，苹果对应“溶液”，并且苹果水分含量和苹果质量发生了变化，而果质没有变化。在此基础上，学生先用“200×（1-90%）”即初始的苹果质量乘果质所占的百分比表示果质的质量，抓住这个问题中的不变量，然后设现在苹果的质量为[x]克，而现在的果质占比是“1-80%”，所以果质质量为“[x]×（1-80%）”，最后列方程“[x]×（1-80%）=200×（1-90%）”，解得[x]=100。这样练习后，学生建立了解决此类问题的一般模型“抓不变量—设变量[x]—利用不变量列方程”，认识到了抓不变量在解题中的重要性，巩固了利用不变量建立等量模型的能力，发展了抽象思维能力。

三、设置进阶问题，优化解题方法

在浓度问题的教学中，笔者通过下题引导学生深度学习：一个容器内有浓度为25%的糖水，若加入20千克水后，糖水的浓度变为15%，这个容器内的糖水含糖多少千克？学生发现尽管糖水的浓度和质量发生了变化，但无论加入多少水，糖的质量不变。这个发现激发了他们设立未知数的思考，他们习惯于设要求的未知数为[x]，但通过实际分析发现，设糖的质量为[x]无法构建等量关系。为了突破这一困境，学生展开讨论，认识到只有明确原来糖水的质量，才能表达出糖的质量这一不变量。因此，学生设原来糖水的质量为[x]千克，那么原来糖水中糖的质量可用“[x]×25%”表示，即0.25[x]千克，加入20千克水后，糖水的质量变为“[x]+20”千克。基于这些信息，根据加水后糖水的浓度为15%，学生建立方程“（[x]+20）×15%=0.25[x]”，解得[x]=30，即原来糖水的质量是30千克。接着，学生用“30×25%”计算出原来糖水中糖的质量为7.5千克。

通过前述例题学生发现，锁定不变量之后可以直接求得不变量（部分量），也可以根据之前学习的部分量（不变量）与总量的百分比关系，借助反向推理，用算术方法解决问题，但遇到较复杂的问题时，方程等量模型的直观性优势更明显。

（作者单位：宜昌市伍家岗区杨岔路小学）