逆向思维在小学数学教学中的设计与应用研究

摘 要：在小学教与学的双边互动过程中，培养和训练学生的逆向思维，可以帮助学生突破正向思维的局限，提高数学解题效率，完善学生的知识结构.但是根据目前的教学现状来看，学生存在思维定式、思考方式单一等问题.为解决上述问题，本文对逆向思维分别在新授课、练习课、复习课的应用进行了研究，旨在提高学生逆向思维能力，养成逆向思考习惯.

关键词：小学数学；互逆性题组；逆向思维

逆向思维是创新思维中不可缺少的思维方式.互逆性题组的设计和实施是丰富逆向思维发展的一大创新.在数学教学过程中，教师应注重学生的思想方法培养，而并非局限于呈现书本上的知识点.在此背景下，本文以互逆性题组为抓手来培养学生的逆向思维，为研究如何提升学生的逆向思维提供新的思路.借助互逆性题组来进行数学课堂教学在一定程度上帮助教师和学生解决了难题，但其在使用过程中也有其不足之处，所以互逆性题组的应用还需不停探索，仍需教师不断地实践与探索，以达到培养学生逆向思维的最佳使用效果．

1 新授课中互逆性题组的设计建议

1.1 创设逆向情境，养成逆向思考习惯

数学逆向思维能更完整全面地帮助学生理解数学概念、定理、公式等，因此，在数学教学中，教师除了以互逆性题组引导学生逆向思考外，还要适时地提供逆向学习的氛围，创设逆向学习的活动，要在适宜的环境中带领学生养成逆向思考的习惯.［1］提倡在数学教育中对学生进行数学逆向思维的训练，并非否认传统思维的重要性.传统思维对于学生掌握数学的定义、定理、公式、性质等的认识依然起着主导作用，而且逆向思维与传统思维并存，离开传统的正向思维，逆向思维就失去了意义.另外，要想培养学生的数学逆向思维，还必须与教学内容和学生自身的条件相联系，不能一味地去追求逆向思维，也就是“为逆而逆”．

以上面提到的两点为基础，教师在进行教学设计时，应该将知识本身的逻辑结构和学生的真实状况作为重点.在引入、探究、练习、反思等教学环节中，教师对正与逆相结合的学习情境进行精心的设计，让学生能够从正、反两个方面，更加顺畅、自然地接收到数学知识.例如，在学习“认识长方形”这一内容时，教师可以设置一个猜一猜的环节：信封里装的是个四边形（如图1），猜一猜可能是什么形状.教师一步步地把图形展露在学生眼前，引导学生通过观察已经露出的图形特征猜测信封里是什么图形.在这个过程中，学生是通过逆向的思维推导图形，加强学生对图形特征的记忆.在这个情境中，有趣的活动会激起学生逆向思维的动力．

1.2 聚焦逆向提问，激发思维活跃性

在教学过程中，提问是必不可少的一个环节.有效的问题可以激起学生对问题的探索欲望.要培养正向思考，就要有正向问题的意识；要培养反向思维，必须反向发问.顺问就是从因到果的问题；反问就是从结果出发，寻找原因.在教学过程中，教师可以结合顺向和逆向提问，在正逆穿插中提升学生思考的多维度性，也能够促进学生灵活变化思路，提升学生解决问题的能力.例如，在教学“小数的初步认识”这一课时，为了引导学生理解“0.1”，教师可以借助米尺，并提出以下问题.

问题1 这是1分米的红纸带（贴在米尺下面）.如果用“米”作单位，1分米是几分之几米？用小数表示是多少米？

问题2 这是3分米的黄纸带（贴在米尺下面）.如果用“米”作单位，3分米是几分之几米？用小数表示是多少米？

问题3 这是1310米，也就是1.3米的蓝纸带，请大家想想：1.3米的纸带到底有多长？

以上三个提问分别从顺向和逆向两个角度对学生进行提问，其中第一和第二个问题主要从顺向提问，旨在让学生感悟十分之几与零点几之间的关系，让学生清楚十分之几就是一位小数的其他表达形式，通过复习分数帮助学生学习小数；第三个问题是逆向提问，目的是在学生学习了小数以后，反过来通过分数进一步理解其意义.在这样一反一正的教学中，教师通过正逆提问，帮助学生更加牢固地建立小数的意义这一知识点，促进学生对新概念的理解，建立正确又完善的观念.构建概念和理解概念正是数学概念课教学的关键所在．

再如，在“三角形的面积”这一内容的教学过程中，学生很容易从自己的观察中得到这样一个结论：等底等高的两个三角形，其面积相等.这个时候，教师就可以进行反向提问“两个相同面积的三角形，就一定可以达到相同的高度吗”，这种逆向思维的提问，可以让学生一直处于一个积极的思考状态，并可以从各个方面去分析问题，从而培养他们的逆向思维学习习惯.［2］

2 练习课中互逆性题组的设计建议

2.1 关注整体学生，创新分层性互逆题组

目前的数学课大多采用班级授课制，全班同学一起整理复习这一单元所有的知识点.在这个一起学习的过程中，学习成绩较为优异的同学也许在复习前就已完全掌握了所有的知识点，甚至已经私下做了完善的复习工作；成绩处于中下水平的一般学生，可能需要多次复习巩固才能掌握这一单元的知识点.由于互逆性题组在内容设计上缺乏差异，并没有设置多个难度层次的任务，导致练习时，成绩优异的学生较容易就完成题组，不能引发他们的深度思考与探索；后进生对题组复习的内容跟不上，难以单独完成较为复杂的题组，从而缺乏学习兴趣，长此以往，便看到题组就心生畏惧，造成两极分化问题．

不同层次的学生其认知水平和思维方式都是不同的.因此，教师在设计相应的互逆性题组时，要注重不同学生的认知水平.在制定互逆性题组的内容时，教师不仅要设计出一些简单的题目，让那些学习成绩不好的学生可以自己去思考、去完成；还要设计有一定难度的题目，来激发那些学习成绩优秀的学生去探索的欲望.从另一个角度来说，题目的展示要有一定的梯度，不能过于简单或过于复杂，要由易到难、由浅入深、层层递进，既要符合学生现有的水平，又要适当地超越学生的最近发展区.例如，教学“连加连减”的时候，教师在练习环节可以设计如下三组不同的互逆性题组.

基础题 正向题：30+40-20=□.

逆向题：□+40=□-50=50.

强化题 正向题：张军原来有30张卡片，后来又收集了20张，送给李明32张，张军现在有多少张卡片？

逆向题：张军原来有一些卡片，后来又收集了20张，送给李明32张后，还剩18张.张军原来有多少张卡片？

拓展题 正向题：一个抽屉里放着40个玻璃球，每次拿出其中的一半，这样重复操作3次，这时抽屉里还剩几个玻璃球？

逆向题： 一个抽屉里放着若干玻璃球，每次拿出其中的一半，这样重复操作3次，这时抽屉里还剩5个.抽屉里原有多少个玻璃球？

2.2 灵活运用题组，助力学生逆向编题

逆向编题可以引导学生自己去了解数据之间的逻辑关系，并对其进行科学地安排，然后根据现实生活中的例子，将其编成符合算式的应用题，从而达到引导学生从“被动解题”向“主动造题”的转变.这相对来说是一项更高难度和挑战性的任务.在小学阶段进行长时间、有计划、有系统地编制题目的练习，可以让学生在处理各类逆向思维能力、数据关系能力、书面语表达能力、与生活实际应用相结合的能力等方面都有很大的提升.在对学生进行的逆向教学中，教师更多的是以积极的态度来展现逆向题组，更多的是用解决问题来推动逆向思维的发展，缺乏一种以算式为主要内容的逆向编题的教学方法．

逆向编题可以作为互逆性题组教学后期的一个拓展训练，立足学生的逻辑起点，改变思维方向，让学生从给出的问题入手，逆向思考，并结合学习的知识点，自己组织语言，理顺逻辑，编造新的问题，然后与同学交换自己编的题.例如，给下面算式编题“2000÷（0.66×3.14×200）=？”，从给出的算式来看，一看见“3.14”便想到了π，猜测该题目涉及圆的知识点；从括号内看，没有出现平方，因此大概率是求圆周长的问题；由“×200”猜测是求200圈的周长；问题中用了“÷”，可以推断是物体长度之间的包含关系；从数理逻辑关系分析，可以看成行程问题中的有关求时间的问题.因此，这个算式编题可以为“小明骑自行车去上学，车轮直径66cm，每分钟踩200圈，他从家里到学校2000m，问大约需要多少分钟”.

编题教学，既可以帮助学生巩固知识，还可以加强学生的交流，让学生成功地完成认知迁移，并在自己编写题目的过程中，产生一种自豪感.这样的教学和学习的转换，可以将新知识和旧知识有机地连接起来，让知识的发生、发展和应用变得更加清晰，可以有效地提升学生的学习能力．

3 复习课中互逆性题组的设计建议

3.1 引导逆向反思，巩固方法总结

“授人以鱼，不如授人以渔.”在小学数学教学中，为了确保学生的逆向思维得到有效的培养，教师要注重培养学生对典型问题的反思习惯，这是因为在学习过程中及时地反思能够促进学生的问题解决能力的提升，完善其思维品质.［3］此外，引导学生学会自主地总结也是非常重要的.学生通过逆向总结加强各个知识点之间的关联，自主寻找提升逆向思维的方法.例如，在“多边形的面积”这节课上，教师在指导学生完成平行四边形的面积计算之后，可以指导学生在实践中总结出一些关于平行四边形的面积计算的具体做法.一个良好的反思习惯能够将问题转化为一个学习过程，这样不但能够加强学生对数学知识的掌握，还能够让学生在逆向总结的过程中，逐渐提升自己的逆向思维能力，从而提高他们分析解决问题的能力．

3.2 结合数学文化，增加逆向思维宽度

数学文化故事能够开阔学生的视野，带领学生感受前人的智慧、思维风格和顽强探索的精神.教师引导学生尝试解决数学文化里的小问题，可以培养学生开放性的头脑，让学生感受到多样思维方式的重要性，学着换角度去思考、看待问题，进而增强逆向思维的宽度.

数学史上一些重要的、极具创造性的思想和成果往往是与大众、与时代、与潮流所不符的.数学家罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky）的非欧几何，就是数学史上运用逆向思维所成就的一个富有创造性的伟大成果．

例如，教师可以以“李白买酒”这一小故事引入.学生在之前的学习经验中对李白有了一定的认知基础，这就很好地增加了学生的熟悉感.教师将李白买酒的故事以文言文的形式展示出来，符合故事原型和人物背景，烘托了一种浓浓的历史味道.“遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.试问壶中原有酒几斗.”如果利用顺向思维去解决这道题，对学生似乎很难，但换一个思路学生就能较轻松地解决问题了.教学时，教师可以先让学生将文言文变成白话文，再想一想可以用哪些数学符号表示买酒的过程，如“加一倍”用“×2”表示，“喝一斗”用“-8”表示.教师还可以提供场景图片，让学生通过摆一摆，并借助箭头画画等形式，画出买酒的流程图，梳理思维脉络.最后以“喝光壶中酒”就是“0”为突破口进行反向地推导与思考，进而高效地解决问题．

4 结语

创新教育对学生逆向思维能力发展，对提高教育实效、调动学生思维的发展具有重要意义.本文试图通过设计指向逆向思维培养的互逆性题组设计，为逆向思维发展带来了形式和内容上的创新．

参考文献

［1］陈兴强.刍议逆向思维在小学数学教学中的应用［J］.数学学习与研究，2023（27）：47-49．

［2］赵军周.逆向思维在小学数学教学中的应用［J］.求知导刊，2023（1）：80-82．

［3］周国文.逆向思维在小学数学教学中的应用［J］.读写算，2022（35）：64-66．