建构主义视域下小学数学核心素养的培养

摘 要：建构主义教学对激发学生主动学习和促进深层次认知发展具有重要作用.本文以“植树问题”为例，探讨建构主义视域下培养学生数学核心素养的教学策略，并基于皮亚杰认知发展理论设计教学活动，旨在提升学生理解数学知识和解决数学问题的能力，为小学数学教育实践提供理论和策略支持．

关键词：建构主义；数学核心素养；植树问题

1 问题提出

建构主义理论强调，知识是通过个体与环境的相互作用而建构的，而非被动接受的结果.在数学教育中，建构主义理论强调学生在学习过程中主动建构知识结构，通过同化和顺应达到认知平衡，从而促进深层次的理解和应用.［1］这一理论为数学教学提供了新的视角和方法论指导．

植树问题不仅是小学数学中的经典问题，还具有丰富的数学建模和问题解决的潜力.通过对植树问题的深入分析和教学设计，本文展示了该问题在培养学生数学思维、增强问题解决技巧和提升数学模型意识方面的重要性.植树问题涉及数列、间隔和边界等数学概念，通过解决这一问题，学生可以更好地理解这些抽象概念的实际应用.植树问题还鼓励学生进行数学建模，从实际情境中抽象出数学问题，并通过逻辑推理和计算找到解决方案.为验证建构主义教学方法的有效性，本文设计教学活动，学生通过互动和合作学习，在解决植树问题的过程中建构知识，激发兴趣，促进其对知识的深度理解和应用．

2 建构主义理论与数学核心素养

2.1 建构主义理论介绍

建构主义理论是现代教育心理学的重要组成部分，强调知识的建构过程而非简单的传递.该理论的核心概念包括图式、同化、顺应和平衡［2］，这些概念共同解释个体如何通过与环境的互动不断调整和完善其认知结构.图式是指个体在认知过程中形成的心理结构，用以组织和解释信息.图式是动态的，随着经验的积累不断发展和变化.同化是指个体将新信息纳入已有的图式中，使其与现有认知结构相一致.当新信息与现有图式不符时，个体会通过顺应来调整或重建图式，以适应新的信息.平衡是指个体在同化和顺应之间达到的一种动态平衡状态.皮亚杰认为，认知发展是一个不断寻求平衡的过程，通过解决认知冲突，个体的认知结构得以不断发展和完善．

反省抽象是建构主义理论中的另一个关键概念，指的是对心理属性的抽象，使得某些操作格式成为可能，并将这些操作格式整合到更复杂的格式中去.反省抽象包含两个不可分割的方面：投射和重组.［3］投射是指将低层次抽取的内容投射到更高层次上；重组则是在更高层次上对投射内容进行心理上的重新组织和建构.投射的内容决定了每次反省抽象的水平高低，在新的层面上对形式进行建构则需要反省的介入.

反省抽象的过程不仅在心理发展中起到关键作用，在教育和学习中具有重要意义.通过反省抽象，学生能够将具体的学习内容提升到更高的抽象层次，从而更好地理解和应用知识.此过程强调了学习的动态性和连续性，表明知识的建构是一个不断深化和扩展的过程.［4］教师应重视这一过程，通过设计适当的教学活动，促进学生的反省抽象能力的发展，使他们能够在更高层次上进行思考和学习．

2.2 建构主义视角下的数学核心素养培养

已有学者在建构主义视角下研究数学核心素养的培养，并取得重要成果.张涛等研究建构主义在小学数学教学中的应用，特别是皮亚杰的发生认识论对数学教育的启示，提出了反省抽象范畴的关系框架图及其在数学教学中的应用路径，强调了过程教育、经验抽象与反省抽象的结合，思维发展的阶段性和批判性思维能力的培养.宋亚敏和晏莉娟通过文献分析和教学实验，探讨建构主义在数学概念教学中的应用，得出建构主义理论能够提升学生对数学概念的理解，促进自主学习和创新能力的结论.结合小学数学的特点，应用皮亚杰的建构主义理论可以有效促进学生的数学核心素养发展.教师先通过创设真实情境，如在教学“植树问题”时带领学生进行模拟情境的植树活动，增强数感和应用意识；然后引导学生自主探究，鼓励学生通过小组讨论和自主实验，提出假设并进行验证，培养学生推理意识和创新能力；接着教师通过引导学生进行多样化的表达方式，如绘图和模型制作，增强其几何直观和符号意识；最后教师引导学生通过反思与总结，帮助学生深化对数学概念的理解，培养其逻辑思维和模型意识.通过这些策略，教师在建构主义的视域下，优化数学教学，促进学生数学核心素养的发展．

2.3 “植树问题”中的数学核心素养

关于“植树问题”的研究比较丰富.例如，黄万耿以“植树问题”教学为例，指出植树问题不仅有助于渗透数学思维和方法，还能积累学生的活动经验.张卫星通过生活化的例子和动手操作，帮助学生理解间隔数与植树棵数之间的关系，强调了化归思想和数形结合思想在教学中的应用.此外，还有研究探讨了“植树问题”的有效教学策略，认为其对于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力具有积极作用.这些研究共同表明，“植树问题”在小学数学教育中具有重要的教学价值和广阔的研究空间．

“植树问题”是小学数学中的经典应用题，涉及数感、符号意识、运算能力、几何直观、推理意识、模型意识和应用意识等多项数学核心素养（见表1）.由于其具有直观性和实际应用价值，学生可以通过实际操作和绘制示意图，直观地理解树木的排列和间隔，从而增强空间感知能力和逻辑思维能力.此外，“植树问题”与实际生活密切相关，能够激发学生的学习兴趣和探究精神，帮助他们体会数学在日常生活中的应用价值.因此，选择“植树问题”作为研究对象，不仅能够验证建构主义教学模式的有效性，还能为小学数学教育提供实证依据，促进学生数学核心素养的全面发展．

3 建构主义视域下“植树问题”教学活动案例

“植树问题”的教学设计遵循建构主义理论，通过五个阶段系统引导，促进学生对植树问题数学规律的深入理解，培养核心素养.通过展示生活中植树实例，激发学生兴趣，激活已有知识图式.在同化阶段，解决简单植树问题，尝试将新知识融入认知结构.在顺应阶段，逐渐增加问题的复杂性，促使学生在适应新情境的过程中，发展新的解题策略.在平衡阶段，将新、旧知识整合，达到认知上的平衡.反思阶段，学生回顾整个学习过程，进行反省抽象，思考和总结收获．

3.1 图式、同化、顺应和平衡在植树问题中的应用

3.1.1 图式激活 探索数学的起点

本活动意在通过谜语和直观的手势，激活学生已有的图式，为后续的数学概念学习打下基础.通过观察手指间的“间隔”，学生能够直观地理解数学中的“间隔”概念，从而建立与植树问题相关的认知联系．

活动流程概括如下.

（1）引入谜语.教师先提出一个谜语：“五个兄弟，住在一起，名字不同，长短不齐.”这个谜语意在激发学生的好奇心，引导学生初步思考．

（2）学生猜测.学生根据谜语的描述进行猜测，通常会得出“手指”这一答案.这一互动环节不仅活跃课堂气氛，也为引入数学概念做铺垫．

（3）观察手指.教师引导学生伸出右手，观察手指和手指之间的空隙.在这一环节，学生能够直观地看到“间隔”，并理解其在数学中的含义．

（4）引入概念.列举其他间隔的例子，生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗？教师明确指出这些空隙在数学中被称为“间隔”，并强调这一概念在解决植树问题中的重要性.通过直观的方式，学生能更容易地将数学概念与实际情境相联系．

【设计意图】在教师的引导下，学生激活了已有知识图式，初步理解“间隔”概念.直观体验有助于学生更好地理解和应用植树问题的数学规律，培养观察力和数学思维.学生能够理解“间隔”这一数学概念，并将其与实际情境相联系；在教师引导下，建立对植树问题的基本认识；在活动中积极参与，展现对数学学习的兴趣和热情．

3.1.2 同化体验 实践中的发现之旅

本活动意在通过动手实践，让学生将新知识同化到自己的知识体系中.通过模拟植树的过程，学生亲身体验和探索植树问题中的数学规律，加深对间隔数与树的棵数关系的理解.学生通过实际操作将新知识融入自己的知识体系中，实现知识的内化.本活动重点培养学生解决问题的能力、动手实践能力以及数学思维.通过实践活动，学生将数学知识与实际情境相结合，增强应用意识．

活动流程概括如下.

（1）布置任务.教师向学生介绍活动任务.现在，我们来模拟植树的过程.每组有20厘米长的线段和足够数量的小树模型.

（2）动手操作.学生根据教师的指导，尝试在20厘米长的线段上每隔5厘米种一棵树.这一过程要求学生动手操作，实际摆放小树模型．

（3）解决问题.学生在操作过程中尝试解决问题“看看需要多少棵树”.这一环节鼓励学生通过实践探索vMcoiOhjYSJd7cEhMDtGktG5FVTzLdSJiv734/6+WkE=，能考虑到不同植树场景下，有不同的答案，探索植树问题中的规律．

（4）记录结果.学生记录下发现和操作过程，为后续的讨论提供支撑．

【设计意图】通过动手实践，学生将抽象的数学概念具体化，直观感受数学知识在实际生活中的应用．

3.1.3 顺应交流 合作中的共识形成

本活动意在通过小组讨论和分享，促进学生之间的思想交流和知识共享.学生在交流中调整自己的观点，实现新、旧知识之间的顺应，促进知识的内化和应用.本活动重点培养学生的合作交流能力、批判性思维和问题解决能力.通过小组合作，学生能够在交流中提升认识，形成更全面的理解．

活动流程概括如下.

（1）小组讨论.教师引导学生进入小组讨论环节，即每组分享你们的发现，讨论一下你们是如何得出结论的.学生在小组内交流各自的发现和解题方法，互相倾听和理解．

（2）调整观点.在讨论过程中，学生可能会遇到不同的观点和方法.他们需要学会调整自己的思路，顺应团队的共识，找到解决问题的最佳途径．

（3）达成共识.通过小组内的互动和讨论，学生逐渐形成共识，明确植树问题中间隔数与树的棵数之间的关系．

【设计意图】通过交流，学生深化对数学规律的理解，在合作中学会倾听和尊重他人的观点，并在交流中形成共识.学生能在小组讨论中积极表达自己的观点，学会倾听和尊重他人；在讨论中调整自己的观点，找到解决问题的最佳方法．

3.1.4 平衡探究 规律发现的洞察时刻

本活动意在引导学生通过观察和分析数据，发现间隔数与树的棵数之间的关系，实现新、旧知识的平衡，深化对植树问题规律的理解，并培养数学思维和数据分析能力.本活动重点培养学生的数学思维、数据分析能力、批判性思维和问题解决能力．

活动流程概括如下.

（1）观察数据.教师带领学生展示自己的发现，并引导全班一起观察.学生展示他们在小组讨论中得出的数据和结论．

（2）探索规律.教师提问“有没有发现间隔数和树的棵数之间的关系”，学生观察数据，尝试总结规律，教师适时提供引导和支持．

（3）集体讨论.学生在教师引导下，进行集体讨论，共同探讨间隔数与树的棵数之间的关系.教师鼓励学生提出自己的见解，并在必要时提示．

（4）总结规律.学生在讨论的基础上，尝试总结规律，形成共识.教师帮助学生明确规律，并在黑板上或屏幕上展示规律的数学表达式（如图1）.

【设计意图】通过探究，学生发现数学规律，在教师的引导下，实现新旧知识之间的平衡.学生能够通过观察数据，发现间隔数与树的棵数之间的关系；在教师的帮助下，理解植树问题的数学规律．

3.1.5 反省抽象 知识内化的深度思考

本活动意在通过反思和讨论，促进学生将具体的数学操作抽象化，形成明确的数学规律.通过反思学习过程，学生实现从具体操作到抽象概念的转变，促进知识的内化和应用.本活动重点培养学生的元认知能力、创新意识和批判性思维．

活动流程概括如下.

（1）回顾学习过程.教师提问“现在我们来回顾一下我们今天的学习过程”.学生思考并准备描述他们在学习过程中的体验和发现．

（2）抽象数学规律.教师提问“你们是如何从具体的操作中抽象出数学规律的”.学生分享如何从植树活动中抽象出间隔数与树的棵数之间的关系．

（3）深入讨论.教师鼓励学生深入讨论“这个过程对你们有什么启发”.学生探讨在抽象过程中的思考方式，以及他们如何将具体操作与数学规律联系起来．

（4）总结与反思.教师帮助学生总结发现，并引导进行反思“你们认为这种从具体到抽象的思考方式对你们理解数学问题有什么帮助”.学生讨论这种思考方式如何帮助他们更好地理解和解决其他数学问题．

【设计意图】通过反省抽象，学生将具体的数学操作转化为抽象的数学规律，这对深入理解数学概念和解决复杂问题至关重要.学生能够清晰地描述如何从具体操作中抽象出数学规律，认识到抽象思维在数学学习中的重要性，并将这种思维方式应用到其他学习领域，学生在反思中提升元认知能力，形成更深层次的理解．

3.2 “平衡—去平衡—再平衡”下的问题探究

平衡既是一种状态，也是一种过程，在皮亚杰的理论中，更强调其过程性的含义.当有机体适应环境时，就达成某种暂时的平衡；当环境发生改变，有机体不再能够适应环境条件时，就会出现“去平衡化”.“去平衡化”会促使有机体做出必要的调整以恢复平衡.［5］“平衡—去平衡—再平衡”的过程最终指向个体对环境的“适应”.在这个“平衡—去平衡—再平衡”的过程中，环境和有机体的内部机制之间既有同化也有顺化.正因为如此，这个过程才是建构性的．

学生在学习植树问题初期，能够利用已有的知识和经验解决问题，这时他们处于一种暂时的平衡状态.当问题的复杂性增加，学生原有的认知结构不足以应对新的挑战时，就会出现“去平衡化”.这种“去平衡化”促使学生进行认知调整，尝试新的解题策略和方法，以恢复平衡.在这个过程中，学生不断地同化新知识，将其融入已有的认知结构，同时也在顺应新的情境，发展新的认知策略.通过小组讨论和教师引导，学生逐渐整合新、旧知识，达到新的认知平衡.在反思阶段，学生回顾整个学习过程，进行反省抽象，进一步巩固和深化所学知识.这种动态的平衡过程不仅促进了学生对植树问题数学规律的深入理解，还培养了他们的数学思维能力、问题解决能力和创新意识，体现了建构主义教学模式的有效性．

植树问题的数学模型通过数形结合和一一对应的方法来建立.

（1）根据总长度（L）和间隔长度（d），求间隔数（m），得到公式m＝Ld.

（2）抽象三种植树模型.

①两端都种树：在一条长度为（L）的直线上，每隔（d）米种一棵树，两端都种树.此时，树的棵数（n）与间隔数（m）的关系为

n＝m+1.

②只种一端：在一条长度为（L）的直线上，每隔（d）米种一棵树，只在一端种树.此时，树的棵数（n）与间隔数（m）的关系为

n＝m.

③两端都不种树：在一条长度为（L）的直线上，每隔（d）米种一棵树，两端都不种树.此时，树的棵数（n）与间隔数（m）的关系为

n＝m-1.

（3）学会常规题，会解变式题.

常规题通常直接涉及树的棵数与间隔数的基本关系，题目条件明确，计算步骤相对简单．

变式题在常规题的基础上进行一定的变化，可能涉及更多的条件或需要更复杂的推理和计算．

①已知条件改变.

例如，公园小路一侧有一排椅子，从起点到终点一共有50把椅子，每两把椅子之间相距8米.这条小路长多少米？

在常规问题中，已知总长度和间隔长度，求不同情境下的植树棵数，而在变式问题中，学生先要分析从起点到终点，对应植树问题中的两端都种树的情境，50把椅子对应50棵树，所以应先根据关系式“间隔数+1＝棵数”变形，求出间隔数，再根据“间隔数×间隔长度＝总长度”求出小路长度.这要求学生具备更灵活的思维以及对植树问题核心知识的深刻把握．

②间隔类型改变（见表2）.

【设计意图】学生从常规植树问题到变式问题的过程中，思维会进行具体到抽象、单一到多样、简单到复杂的转变.这些变化帮助学生培养逻辑推理和抽象思维能力，并理解数学在实际生活中的广泛应用．

4 建构主义理论对数学教学的启示

在数学教育中，教师的角色不仅是知识的传授者，更是学生认知发展的引导者.践行建构主义理论为数学教学带来的几点启示.

（1）情境创设可以被视为一种桥梁，将抽象的数学概念与现实生活紧密联系.情境创设的关键在于关联生活实际.教师应从学生的日常生活中寻找教学素材，将数学问题置于实际背景中，通过解决实际问题，使学生更深层次理解运算道理和计算方法.明确的目标、实践性学习、自主探究对于有效的学习至关重要.每一次教学活动都应有明确的目标，情境创设应紧密结合数学学习主题和核心知识内容；实践性的学习方式有助于加深对知识的理解，使抽象的数学概念变得更具体；自主探究鼓励学生提出问题、分析数据、验证假设，培养学生的批判性思维能力，使他们审视问题、评估证据，并形成独立的判断．［6］

（2）在数学教学中，教师应注重引导学生从具体的数学操作中抽象出数学规律，促进学生从直观理解向抽象思维的转变，加深对数学概念的深入理解.反省抽象的培养是数学教学的一个关键环节，它帮助学生形成更为系统和结构化的数学知识体系.［7］通过引导，学生能掌握数学知识，并培养他们批判性思维和解决问题的能力.教师在这一过程中应扮演重要角色，注重学生在反省抽象过程中的情感体验，帮助其建立自信心.通过不断的反思和总结，学生逐步形成自己的数学思维模式．

（3）教师应引导学生经历“平衡—去平衡—再平衡”的认知发展过程，这是学生认知发展的核心，也是培养创新思维的关键.通过动态平衡的实现，学生在面对新的学习挑战时，能够通过不断调整和完善自己的认知结构来适应变化，这有助于学生在学习过程中保持积极的心态和高效的学习状态.教师在此过程中应扮演引导者和支持者的角色，提供及时的反馈与教学支持，鼓励学生进行自我反思.此外，教师还应注重培养学生的元认知能力，使之自觉监控和调节自己的学习过程，帮助其在心理上获得成长，形成积极的学习态度和终身学习的能力．

参考文献

［1］张涛，代钦，李春兰.数学教学视域下理解与应用皮亚杰建构主义理论［J］.数学教育学报，2024（3）：96-102．

［2］丁锐，金轩竹，Ron Tzur，等.建构主义教学实验研究：演进性学习进阶的构建取向［J］.教育科学研究，2019（7）：54-60．

［3］李其维.评发生认识论的“反省抽象”范畴［J］.心理科学，2004（3）：514-518.

［4］樊改霞.建构主义教育理论在中国的发展及其影响［J］.西北师大学报（社会科学版），2022（3）：87-95.

［5］白倩，冯友梅，沈书生，等.重识与重估：皮亚杰发生建构论及其视野中的学习理论［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2020（3）：106-116．

［6］郑毓信，梁贯成.认知科学：建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究［M］.上海：上海教育出版社，1998．

［7］蔡金法，姚一玲.数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究［J］.数学教育学报，2019（4）：42-47．