从数到算、图式联通、理法互融、算法优化

【摘 要】两位数乘两位数的笔算实现了乘法竖式从“一层”到“两层”的跨越。通过对前后测结果的分析发现，要想实现突破，需要理解运算中乘的次数和积的位值，需要在多样的算法中理解算理。教师通过解读数学史，明确了要在学生的已有认知与标准竖式间引入其他竖式以拉长乘法竖式的建构过程。基于此，重新划分了教学内容、定位了教学目标，从数数开始，引入长竖式，在借助表征理解算理的同时，充分展示竖式形成、压缩与简化的过程，真正实现了竖式、算法和算理三者的融通，促进乘法竖式的自然进阶。

【关键词】从数到算；长竖式；算理与算法；竖式进阶

对于乘法竖式的理解，学生需要经历两个基本阶段：一是乘法竖式的引入，二是乘法竖式的分层书写。在人教版教材中，这两个阶段的内容被分别安排在三年级上册的“多位数乘一位数”单元与三年级下册的“两位数乘两位数”单元。

乘法竖式作为一种传统的笔算形式，其特定的书写形式和规则是在长期的数学实践中逐渐完善的。以“两位数乘两位数”为例，竖式书写的结构由单层扩展至两层。这一变化常使学生感到困惑，对计算的原理（算理）与书写方式（算法）感到不解。那么，乘法竖式分层书写背后的“理”究竟是什么？如何展开探究？对此，本文进行了深入探讨。

一、明晰学生认知，确定教学重点

（一）学生会怎么计算

竖式是对计算过程的合理呈现。为了解学生对两位数乘两位数的计算方法，笔者对杭州市某区212名三年级学生进行了前测。前测内容为：列竖式计算17×13。

前测结果显示，仅有约12.26%的学生能够正确计算，其中20名学生用三个竖式分步计算得到正确结果（如图1），只有6名学生采用如教材中的标准竖式计算。此结果表明三年级学生难以凭借已有的知识经验算出17×13的积，更无法用两层形式书写乘法竖式。

约有87.74%的学生在运算中未能得出正确结果。进一步分析错误的情况，发现其中86名学生得出运算结果为“121”（如图2），另有38名学生得出运算结果为“31”（如图3）。这些错误主要源于学生对整数加减法中的“相同数位上的数相加减”算法的过度依赖，即在乘法运算中错误地将相同数位上的数字直接相乘，然后将结果分别写在相应的数位上。这些错误体现了乘法运算受加法运算的负迁移影响，与两位数乘两位数的正确运算方法存在显著偏差。

因此，在教学中应强调从乘法运算的意义出发，引导学生理解“一个两位数的每一位都应与另一个两位数的每一位相乘”的重要性。同时，从图2的计算过程发现，虽然部分学生能理解乘数中两个十位上的“1”相乘会产生新的计数单位“百”，但仍有部分学生受加法运算“1个十加1个十得到2个十”的影响，错误地推断出“1个十乘1个十得到1个十”的结论。由此可见，在教学这一内容时，教师应引导学生正确认识理解“新计数单位的产生”。这是一个重要的教学任务。

（二）学生如理解乘法竖式的分层书写

理解算理是运算教学的重难点。为了解学生对整数乘法算理的认知情况，笔者对杭州市某区176名已学过“两位数乘两位数”的四年级学生进行了调查。调查主要聚焦于他们对乘法竖式结构的分析和解读（如图4），旨在判断学生“理解算理、掌握算法”的学习情况。

调查结果显示，约90%的学生认为“看得懂”图中的竖式，约51.14%的学生认为图4中的计算过程是错误的。他们给出的主要理由是：图4中的计算过程与他们所熟悉的两位数乘两位数的方法存在差异，他们坚持认为两位数乘两位数必须拆分第二个乘数，并从低位开始计算。进一步分析86名（约占调查总人数的48.86%）认为计算过程正确的学生的前测结果，其中：有38名学生能够从算理的角度出发，将“27×23”转化为“7个23与20个23的和”进行计算；有48名学生是先利用教材中的计算方法算出结果，再与图4的结果进行对比，发现运算结果相等，从而作出“计算过程正确”的判断。

由此可见，在参与此次调查的学生中，接近八成的学生已经将“两位数乘两位数”的计算方法视为一种固定程序，他们认为乘法竖式的格式是唯一的，难以从算理角度对算法进行深入理解。因此，为加深学生对乘法运算算理的理解，有必要引导他们接触多样化的算法，并在算法对比中深化对算理的认识。

二、研读数学史料，重构单元结构

实际上，图4中所示的计算方法是历史上的一种算法。数学史不仅为教学、学习和评价提供了丰富的资源，还为教学活动带来了深刻的启示。笔者通过研读几大文明古国与阿拉伯的数学经典著作中与乘法相关的数学史，分析乘法的发展历史、乘法笔算的演变过程以及乘法竖式的逐步成型过程，从而发现乘法运算的原理性知识，如位值原理、运算律、数的分解与组成、运算的意义等，这些原理在不同时期、不同地区均呈现出相似性。然而，运算的规则性知识，如计算的步骤、竖式的书写等，呈现出多样化的特点，并没有统一的形式。

竖式作为笔算的一种形式，其主要功能在于记录计算过程，以减轻学生的思维负担。它具有严格、固定的顺序和明确的运算法则，这些都是基于人的某种习惯或数学自身发展的需要而设定的“人为规定”。教材中呈现的“标准竖式”只是历史传承下来的众多“算法”之一，它是在人们追求步骤压缩和过程保留之间形成的平衡。但这种简捷而规范的竖式往往不是学生最易于理解的形式。因此，在教学中，教师有必要在学生的已有认知基础与标准竖式之间引入其他竖式形式，充分展示竖式形成、压缩与简化的过程，确保竖式算理和算法之间的融通。

现行人教版教材在“两位数乘两位数”的笔算部分编排了两个例题，例1创设“买书”的情境，计算14×12，例2创设“分酸奶”的情境，计算37×48，以乘法运算中的“不进位”与“进位”区分了计算的难度。然而，运算过程中的“是否进位”跟算理的理解、算法的建构以及竖式的分层书写并无本质的联系。

基于上述分析，本文对“两位数乘两位数”笔算的课时目标与教学内容进行了重新定位与划分。第1课时着重于算理的理解，通过数数引入，引导学生将两位数乘两位数的每个乘数按照计数单位进行拆分，并分别与另一个乘数拆分后的两个数相乘，理解每次相乘的实际意义。同时，利用长竖式呈现计算过程，了解竖式分层书写的原理，明确每个积的位值，并尝试将长竖式简化为短竖式。第2课时则侧重于教材竖式的讲解，引导学生逐步规范乘法竖式，感受情境意义、计算过程与竖式记录的关联，理解竖式中每一层计算步骤所表示的意义，形成算法，实现算理与算法的并重，以算理理解促进算法建构。下面以第1课时的教学实践为例进行探讨。

三、联结多元表征，融通算理算法

（一）算理的理解：基于运算的本质——数数

数的认识与数的运算在本质上具有一致性，都是基于“对计数单位的操作”。数，是数出来的，是对数量的抽象。数的表达方式具有一致性，都是用“数字+计数单位”的方式表示。小学阶段的运算的对象都是数（整数、小数和分数），都与数的计数单位相关，如整数、小数和分数的加法都是计数单位的累加。因此，在教学“两位数乘两位数”时，笔者将其回归到数学活动的起点——“数数”。

在教学中，教师创设“进行广播操表演的学生一共有多少人”的问题情境，借助直观的点子图，引导学生通过“数一数”“圈一圈”的方式，自主将点子图结构化，直观呈现几个百、几个十和几个一。整个“数数”过程中，学生基于计数单位拆解两位数乘两位数，理解“一个因数的每一位都要与另一个因数的每一位”相乘的原理，以及每次乘得的积所表示的意义，为后续理解竖式中每个数的数值奠定基础。

1.情境导入，明确任务

师：运动会中，同学们正在进行广播操表演，你们能数出一共有多少人吗？

生：可以先数出每一行有多少人，再数出有几行，最后使用乘法计算。

（数出每行有17人，共有13行，列出乘法算式：17×13）

2.尝试计算，了解起点

师：两位数乘两位数，你们会算吗？请尝试计算。

（反馈学生的不同答案，如31、68、121、510、81、221等）

3.借助数数，深入理解算理

师：这么多答案，其中肯定有错误的，你们觉得哪些答案一定是错的？

（学生发现，由于每行和行数都超过10，小于100的得数必然是错误的）

师：在判断时，你们想到了100这个数。能否在图上圈出100，并说一说你们是怎么想的？

生：每行有10人，这样的10行就是100人。10个十就是1个百（如图5）。

师：在数数时，我们先用“百”这个计数单位，接下来用“十”去数。你们能在纸上继续圈出几个十吗？

（师生合作发现：图5右上角一列有1个十，7列就有7个十；左下角一行有1个十，这样的3行就是3个十）

生：最后剩下的每行有7人，共有3行，即3个7，也就是21个一。

师：在数数过程中，我们先用大的计数单位“百”去数，数出1个百；接着用“十”去数，数出7个十和3个十；最后用最小的计数单位“一”去数，数出21个一。将这四部分人数相加，得到总人数为221。

（二）算法的建构：基于数数过程——长竖式

相较于“两位数加两位数”只需相同数位上的数相加，“两位数乘两位数”涉及的思考更为复杂。核心问题主要集中在以下两点：①求 17×13 的积需要进行几步乘法操作？②每步乘法操作所得到的结果表示什么意义？在本教学内容中，通过数数的方式得出了17×13的结果，并基于具体的情境和学生分步数数的思维模式，将数数的四个关键步骤记录在长竖式中。整个过程中，教师利用点子图直观地展示了思维的过程，凸显了长竖式记录计算过程的功能。

在理解算理、建构算法的过程中应注重各种表征（多元表征）之间的转换。直观的点子图可以被视为图像表征，对点子图圈画操作是操作表征，抽象的长竖式是符号表征，计算时的乘法口诀则是形式化表征。在竖式算理算法的教学中，教师设计了多层次的表征转换，旨在深化学生对算理的理解。具体包括：第一层次，探究了长竖式中四个乘积的具体意义，并在点子图和两个乘数中标记出来，实现了从符号表征到图像表征、操作表征和形式化表征的转换。第二层次，教师在两个乘数上标记出四次乘积，学生则根据这些标记说出乘法口诀，找到长竖式中的对应乘积，并在点子图中进行圈画，这是形式化表征向操作表征、图像表征、语言表征和符号表征的转换。第三层次，通过与加法运算进行对比，以及分析学生典型错误中乘积为“121”的图像表征，进一步深化对两位数乘两位数的算理与算法的理解。

1.将数数过程记录在长竖式中

师：我们通过数数知道了17×13的结果为221。如果我们将221直接记录在竖式上（如图6），你们能看出计算过程吗？

生：我觉得只能知道结果，不知道算的过程。

生：我认为要将四个部分的数数结果都记录在竖式上，并将这四个数相加得到221（如图7）。

2.深入理解数、图式与运算之间的联系

在师生共同探究中，学生明确了长竖式中的100、70、30、21分别是由哪两个数相乘得到的，并在点子图上找到对应的实际意义。

3.对比两位数加两位数与两位数乘两位数的算法差异

教师出示17＋13的竖式。

师：请大家思考一下，两位数乘两位数与两位数加两位数在算法上有什么不同？

生：两位数加两位数时，只需将相同数位上的数相加；而两位数乘两位数时，需要将一个两位数的每一位与另一个两位数的每一位“互乘”。

（三）竖式的确立：基于多元的简化——短竖式

将长竖式简化为标准竖式的过程，实际上是鼓励学生自主“再创造”竖式的过程。首先，教师应引导学生讨论“长竖式中哪些步骤可以省略？”即思考省略四个乘积中的“0”的位值意义。其次，教师指导学生将四个乘积按计算顺序，形成两个简化的乘积，并在点子图上寻找两个乘积间的内在联系。利用点子图将乘积的位值与乘法程序化过程可视化，从而实现算理与算法的完美融合，彰显竖式计算的“个性化”“多样化”和“规范化”。最后，展示历史上的多种算法，以学生的理解方式进行解读，实现古今算法的交融。

1.精简长竖式

师：数学计算过程的记录需清晰与简洁。如果要使长竖式更精简，你认为哪些部分可以省略？理由是什么？

生：我觉得可以省略“100”后面的两个“0”。

师：那么，省略两个“0”后，“1”表示什么？你知道它是竖式中哪两个数的乘积吗？

生：这个“1”是由两个乘数十位的“1”相乘得到的，10个十也就是1个百，要写在百位上。

（通过讨论，发现积中的“70”和“30”末尾的“0”同样可以省略，得到如图8所示的长竖式）

2.优化长竖式

生：我觉得这个长竖式还能再简单一点，把百位的“1”和十位的“7”合并，就是“17个十”。

师：你能把“17个十”记录在竖式上吗？点子图里的它是由哪两部分组成的？在竖式里又是由哪两个数相乘得到的？

（通过学生的讨论，得到如图9所示的简化竖式）

师：通过合并四个乘积，长竖式就变短了，除了这种合并方法，还有其他合并方法吗？

生：还可以把竖式里的百位“1”和十位“3”合并，就是“13个十”，把十位的“7”和个位的“21”合并，就是“91个一”（如图10）。

（引导学生比较两种算法的相同点，感受乘法运算就是将其中一个乘数拆分，分别去乘另一个乘数，再将乘得的积相加）

3.解读历史上不同乘法的计算过程

师：今天我们学习了什么？一开始你是怎么计算的？现在你知道怎么计算了吗？

师：短短40分钟，我们经历了人类历史上几千年的发展过程，看看图中两种历史上的计算方法，你能看懂吗？（出示图11）

整数乘法竖式的分层书写是基于乘法意义对乘数拆分后运算过程的记录。不同的乘数拆分方式对应不同的分层记录形式，这是整数乘法算法多样化的根本原因，同时也揭示了乘法竖式分层书写形式的本质。综上所述，本研究立足于计数单位，从数与运算的一致性出发，将学习内容放在纵贯古今中外多种算法脉络之中，综合考虑了知识的逻辑与历史顺序，以及学生的思维特点，旨在还原和重现教材中未曾涉及的不同历史时期竖式计算的多种方法。教师引导学生通过“数数”的方式进行乘法运算，进而将数数的过程记录下来，形成长竖式，并依据“既保留步骤又力求简洁”的原则来“再创造”竖式书写方式，从而实现算理与算法的融通，推动乘法竖式从“一层”到“两层”的自然进阶。

参考文献：

［1］巩子坤，史宁中，张丹. 义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］潘丽云.小学数学教师提升数学史素养的意义与路径：以“竖式乘法”教学为例［J］. 教学月刊·小学版（数学），2021（6）：14-18.

［3］何晴，刘莹.“竖式”的知识属性［J］. 教学月刊·小学版（数学），2021（1/2）：4-7.

（1.浙江省杭州市临平区文正小学

2.杭州师范大学经亨颐教育学院）