纠错觅源 去伪存真

判定两个三角形全等的依据主要有五种：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.有些同学在应用时会出现混淆条件的情况，从而导致解题错误，下面针对同学们在证明全等三角形时容易出现的错误进行剖析，希望大家引以为戒．

一、错把“AAA”作为判定三角形全等的条件

例1 如图1，AB，CD相交于点O，O为AB的中点，AC∥BD.求证：AC=BD.

错解：∵AC∥BD，

∴∠A=∠B，∠C=∠D.

又∠AOC=∠BOD，

∴△AOC≌△BOD（AAA）.

∴AC=BD．

剖析：三个角对应相等的两个三角形不一定全等，因此“AAA”不能作为判定三角形全等的依据．

正解：∵AC∥BD，

∴∠A=∠B，∠C=∠D.

又AO=BO，

∴△AOC≌△BOD（AAS）．

∴AC=BO．

二、错把“SSA”作为判定三角形全等的条件

例2 在△ABC和△A'B'C，中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A，C，=4.已知∠C=n°，则∠C'=（ ）．

A. 30° B．n°

C．n°或180°-n° D．30°或150°

错解：在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4，

∴△ABC≌△A'B'C'（SSA）.

∴∠C'=∠C=n°，选B．

剖析：两边与其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，因此“SSA”不能作为判定两个三角形全等的依据．

正解：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4．

（1）当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'（SSS）．

∴∠C＇=∠C=n°.

（2）当BC≠B'C'时，不失一般性，假设BC＜B'C'，如图2．在B'C'上截取B'C＂=BC．

在△ABC和△A＇B＇C＇中．

∠B=∠B' .

∴△ABC≌△A'B'C＂（SAS）.

∴∠C=∠A'C"B'=n°，AC=A＇C＂=4.

∴A＇C＇=A＇C＂=4．

∴∠C＇=∠A＇C＂C＇=180°-n°.

综上，∠C＇为n°或180°-n＇，选C．

三、错把“相等角”作为“对应角”

例3 如图3，OA =OC，OB=OD，∠AOD=∠COB.求证：AB=CD.

错解：在△AOB和△COD中．

OA =OC，

∠AOD=∠COB，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD（SAS）．

∴AB=CD．

剖析：在证明两个三角形全等时，所列的对应边和对应角必须是两个三角形中的元素，本题中OA与OB的夹角是∠AOB，OC与OD的夹角是∠COD，因此应先证明∠AOB=∠COD.

正解：∵∠AOD=∠COB，

∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD.

∴∠AOB=∠COD．

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

△AOB≌COD（SAS）.

∴AB=CD．

四、错用“角的平分线的性质”

例4 如图4，AB=AD，AC平分∠BAD．求证：∠B=∠D．

错解：∵AC平分∠BAD．

∴CB=CD.

在△ABC和△ADC中。

AB=AD，

AC=AC，

CB=CD，

∴△ABC≌△ADC（SSS）.

∴∠B=∠D．

剖析：错解中把线段CB，CD误认为是点C到∠BAD的两边AB与AD的距离，而得到CB=CD.

正解：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC．

在△ABC和△ADC中，

AB=AD，

∠BAC=∠DAC，

AC=AC，

∴△ABC≌△ADC（SAS）.

∴∠B=∠D．

试金石

1．在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，AC=18cm；在△DEF中，∠D=50°，∠E=60°，DE=18cm.△ABC与△DEF是否全等？

2．已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E的度数是____．

参考答案

1．不全等． 2. 37°或53°