巧构全等三角形 妙解格点作图题
2024-10-23肖学军
在正方形网格中,每个小方格的顶点称为格点,所谓格点作图,就是用无刻度的直尺,借助正方形网格的属性作图.格点作图不仅能考查同学们对图形的观察力,还能考查同学们的创新意识和“用数学”的能力,解决格点作图问题时,常需要构造合适的全等三角形来帮忙,下面举例说明.
一、构造X型全等三角形作线段的中点
例1 如图1,在正方形网格中,A,B均为格点,求作AB的中点O.
解析:如图2,作线段BC=AD,且BC∥AD。连接CD交线段AB于点O.易证△BOC≌△AOD,则AO=BO,故点O即为所求.
点睛:此题也可在竖直方向上作等线段BC,AD,用同样的方法构造两个全等三角形.
二、构造全等的直角三角形作线段的平行线
例2 如图3,在正方形网格中,A,B,C均为格点,求作CD∥AB.
解析:如图4,作Rt△DCB,构造△DCB≌△ABC,则有∠DCB=∠ABC,从而CD∥AB,故CD即为所求.
点睛:由上述作法知BD=CA,∠DBC=∠ACB=90°,BC=CB,用“SAS”可以判定△DCB≌△ABC.
三、构造双垂直的全等三角形作垂线
例3 如图5,在正方形网格中,A,B均为格点,过点A求作AM⊥AB.
解析:如图6,作Rt△ABC,构造△AMD≌△ABC,则有∠CAB=∠DAM.因为∠CAB+∠BAD=90°,所以∠DAM+∠BAD=90°,即∠BAM=90°。故AM即为所求.
点睛:本题应用正方形网格的特征,易知AC=AD,CB=DM,∠ACB=∠ADM=90°,用“SAS”可以判定△AMD≌△ABC.
四、构造筝型全等三角形作角
例4 如图7,在正方形网格中,A,B,C均为格点,求作∠PAC=∠BAC.
解析:如图8,过点B作AC的垂线,垂足O在AC的延长线上,延长BO到点P,使BO=PO.连接PC,PA,∠PAC即为所求,
点睛:因为BO=PO,∠BOC=∠POC=90°,AO=AO,用“SAS”可以判定△ABO≌△APO,所以∠PAC=∠BAC.
试金石
1.如图9.在正方形网格中,A,B,C均为格点,求作CD∥AB.
2.如图10,在正方形网格中,A,B,P均为格点,过点P求作PM⊥AB.
3.如图11,在正方形网格中,已知A,B,C均为格点,求作∠ACB的平分线CP.