再议全等三角形

一、全等图形

几何学是数学的重要分支，主要研究图形的形状、大小和位置，每个图形都有自身的形状，如等边三角形、正方形、圆形等；又有固定的大小，如长度、角度、周长、面积等．如果两个图形G和G，不仅形状相同，而且大小相等，则称它们全等，记作C≌G'．

人们容易想到，“全等”与“重合”相关，如果两个图形全等，那么将它们置于同一位置时两者一定重合，例如，图1是循环再生标志，它由三个全等的弯曲箭头组成．将其中一个箭头剪下来，适当地放到另一个箭头上，两者一定重合，反之，两个图形保持形状、大小不变，适当改变位置后，如果两者能重合，则两个图形一定全等，因此，两个图形能否重合，是判断它们是否全等的实验方法．然而在许多情况下，图形无法移动或不易移动，而且重合实验也会出现误差，所以几何学必须研究如何用推理方法判断两个图形全等．

二、全等三角形

对于一个封闭的平面图形，一般总可以经过三角剖分转化为若干个三角形（或近似的三角形）．因此，研究全等三角形是研究全等多边形以及其他全等平面图形的基础．

在平面上取定不在同一直线上的三个点，以它们为顶点一定能画出三角形，并且只能画出一个三角形．这说明一个三角形的形状和大小可以由三个顶点的相对位置唯一确定．因此，要考虑两个三角形是否全等，只要考虑它们三个顶点之间的相对位置是否相同．

如图2，三角形顶点之间的相对位置，取决于顶点之间的距离（即三角形的边长a，b，c）和顶点连线之间方向的变化（即三角形内角的大小），这就启发人们借助三角形的基本元素（边和角）寻求三角形全等的判定条件，反过来，如果两个三角形的三条边对应相等，三个角对应相等，则这两个三角形一定可以重合，这就是说，具备这六个相等关系的三角形一定全等．

这六个相等关系其实是互相联系的，其中具有决定意义的相等关系有三组，它们是“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“边边边”（SSS）．这三组边角相等关系成为全等三角形的基本判定条件．

在教科书中，有引导同学们对全等三角形的基本判定条件进行实验性探究的内容．但那只是对它们的验证，而非严格的逻辑证明，在有严格逻辑体系的欧氏几何中，它们是经过证明后得出的判定定理，如果你想对此有所了解，可以阅读下面介绍的证明方法．

1．对“边角边”（SAS）的证明

这一证明方法最早见于欧几里得的名著《原本》第一卷，其中用到了“平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置”这一结论．

已知：如图3，在△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'．

求证：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要证两个三角形全等，会想到用非实验方法证明它们能够完全重合，三角形的形状、大小可以由它的三个顶点的相对位置确定，因此只要证明两个三角形的各对应顶点能够重合，问题就解决了．

证明：移动△A'B'C'到△ABC之上．因为∠A=∠A'，所以可将∠B'A'C，与∠BAC叠合，使点A'与点A重合，点B’落在射线AB上，点C'落在射线AC上，又因A'B'=AB，A'C'=AC，所以点B’落在点B上，点C，落在点C上，即点A'，B'，C'分别与点A，B，C重合．根据两点确定一条直线，知线段B'C'与BC重合，则△ABC与△A'B'C'重合，因此，△ABC≌△A'B'C'．

2．对“角边角”（ASA）的证明

这一证明方法也用到了“平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置”．

已知：如图4．在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'AB=A'B'，∠B=∠B'.

求证：△ABC≌△A'B'C'.

证明：移动△A'B'C，到△ABC之上，因为∠A=∠A'，所以可将∠B'A'C'与∠BAC叠合，使点A’与点A重合，点B'落在射线AB上，点C’落在射线AC上，又因A'B'=AB，所以点B'与点B重合．因为∠B=∠B‘，△A’B'C’中∠A'和∠B'位于线段A'B'的同侧，所以点C’落在射线BC上，因为两射线AC和BC仅有唯一交点C，而点C‘落在这两条e2f711a5d05496c79d06a33d598c61eb8ef21e5b910049dd07785f6c55768c48射线上，所以点C，与点C重合，因此，△ABC与△A'B'C'重合，即△ABC≌△A'B'C'．

3．对“边边边”（SSS）的证明

先证明“等腰三角形的两个底角相等”，为证明“边边边”判定方法做准备．

已知：如图5，在△ABC中，AB=AC．

求证：∠B=∠C．

证明：将△ABC水平翻转一下，得到△ACB，如图6．在△ABC与△ACB中，因为AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，所以△ABC≌△ACB（SAS）.又因∠B和∠C在△ABC与△ACB中是对应角，所以∠B=∠C.

下面证明“边边边”（SSS）．这一证明方法仍用到了“平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置”，并利用了“等腰三角形的两个底角相等”．

已知：如图7，在△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'.

求证：△ABC≌△A'B'C'．

证明：以下先讨论∠BAC和∠ABC均为锐角的情形．

如图8所示，移动△A'B'C'到△ABC之下，因为AB=A'B'，所以可将点A，与点A重合，点B，与点B重合，连接CC'，因∠BAC和∠ABC均为锐角，所以CC’与线段AB的交点O在点A，B之间，因为AC=A'C'，BC=B'C'，所以根据等腰三角形的两个底角相等推出∠ACC’=∠A'C'C，∠BCC'=∠B'C'C.进而得∠ACB=∠A'C'B'．因此，△ABC≌△A'B'C’（SAS）.

当∠BAC和∠ABC中有直角或钝角时，线段CC‘与线段AB的交点O是线段AB的端点或在线段AB的延长线上，对这些情形，可以作类似的证明．

以上介绍了三角形全等的三个基本判定条件的证明，一般初中数学教科书中对它们未作证明，是降低难度的简化处理方式，对同学们的基本要求是掌握这三个判定条件，会用它们判定三角形全等．更进一步的要求，是能以它们为基础，推导出三角形全等的另一些判定条件，如“角角边”（AAS）、“斜边、直角边”（HL）等．

关于全等三角形的问题各色各样，但万变不离其宗，下面给出一个构造全等三角形解决问题的例子．

例 如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点．AE⊥CD，垂足为点F，AE交BC于点E．问：∠ACD与∠BDE有何关系？

解：过点B作AB的垂线BG.作AE的延长线，它与BG相交于点C．因为∠BAC=90°，所以∠ACD与∠ADC互余．又AE⊥CD，所以∠ADC与∠BAC互余，因此，∠ACD=∠BAG．在△CAD和△ABG中，∠CAD=90°=∠ABG，∠ACD=∠BAG，AC=AB，所以△CAD≌△ABG （ASA） ，AD=BG.又AD=BD.所以BD=BC.在△BDE和△BGE中，因为∠DBE=45°（它是等腰Rt△ABC的一个锐角），所以∠DBE=∠GBE.又BD=BG，BE=BE，所以△BDE≌△BGE（SAS），∠BDE=∠G.因为∠BAC与∠G互余，所以∠BAG与∠BDE互余，又∠ACD=∠BAG．所以∠ACD与∠BDE互余．

回顾：上例的解法中构造了△ABG．由此产生了两组全等三角形，即△CAD≌△ABG，△BDE≌△BGE.这一解法看似有些难以想出，其实只要合理思考便会自然形成，题目中∠ACD与∠ADC互余是容易看出的关系，而∠ADC与∠BDE相等是符合图形的合理猜想，因此应设法证明这一猜想．构造全等三角形是证明两角相等的常用方法，结合本题的已知条件，便容易想到如何添加辅助线了．