基于APOS理论与几何画板环境的数学概念教学设计

摘要：文章以导数概念教学为例，以APOS理论为依据，借助几何画板，分4个阶段对导数概念进行教学设计.通过实践，对比传统教学模式，该方法不仅能提高学生的原有认知水平，还能让他们对概念的理解达到一个更高的水平.

关键词：APOS理论；几何画板；导数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）27-0002-04

随着教育改革的深入，高中数学概念教学的有效性日益受到关注.传统的概念教学方式往往只注重机械化记忆，而忽视学生对概念认知的递进过程.APOS理论作为一种新型教学理论，强调学生在概念学习中的心理认知过程，为概念教学提供了新的视角.APOS理论主张学生在概念学习过程中，需经历四个阶段的心理认知过程，包括操作阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme）.这四个阶段层层递进，有助于学生深入理解和掌握概念.同时，信息技术的快速发展为数学概念教学提供了更多的可能性.几何画板作为一种信息化教学工具，具有直观、动态的特点，能够帮助学生更好地理解数学概念.因此，本研究旨在结合APOS理论和几何画板，探讨高中导数概念教学的有效方法，希望能在一定程度上提高教学效果以及激发学生对数学概念的学习兴趣.

1理论基础

APOS理论是美国数学家杜宾斯基在皮亚杰“自反抽象”理论的基础上提炼而成，该理论认为，学生不能直接学习到数学概念的本质，需要通过心智结构将所学的数学概念产生意义.杜宾斯基发现，以APOS理论为指导的教学方法还能有效地提高学生的发现能力和分析能力［1］.这一建构过程主要包括以下4个阶段.

1.1操作（Action）阶段

操作阶段是学生建构数学概念的起点，即通过“操作”从外界给予一种刺激，学生可以亲身体验和感悟数学概念的直观背景，这就要求教师能给学生提供一个符合现有认知水平的思维背景，使学生在获得严格的定义之前，先对新的数学概念能有初步的感性认识.以导数概念教学为例，我们可以借助几何画板软件生成数学对象的动态图象，根据课程内容进程的需要进行不同程度的图形变换，感悟“数”与“形”之间的密切联系，为下一阶段的教学奠定基础.

1.2过程（Process）阶段

在经历了前一阶段的连续操作和直观感知之后，学生便会在头脑中对活动进行心理操作，并将其压缩内化，抽象出新概念的本质特征.由于省去一些复杂的操作，学生才能快速地完成对过程的逆转和多种过程的组合，形成逻辑化的数学思维.在此阶段，教师需要提出一些新的问题，让学生进行更深入的数学思考.几何画板是解决这些问题的最佳辅助工具，利用其动态变化过程，反复改变约束条件，化抽象为具体，实现学生思维从量变到质变的转化，掌握概念的精髓.

1.3对象（Object）阶段

对象阶段是用自己的语言逻辑对抽象出的本质特征赋予形式化的定义和符号，使其成为一个完整的数学对象.随着学习的深入，学生在头脑中将会不断地丰富和完善数学概念，呈现出静态的结构关系，更容易从整体上把握概念的本质.此时，学生可以清楚地指出数学概念的各种性质，还可以借助几何画板灵活的动态性和强大的计算功能，实现数学对象的各项运算.

1.4图式（Scheme）阶段

图式阶段是一个不断深入学习的过程，需要学生将新学习的知识和原有知识联系起来，通过同化和顺应建立新的平衡，最后将知识融入自己已有的认知框架中，使知识之间产生新的、有意义的联系，从而借助新获得的概念解决一些相关的数学问题.在这种长期的建构过程中，可以进一步提高学生的思维和感知能力，并对新概念的加工和处理进入更高的层次.在几何画板环境下，上述四阶段关系如图1所示.

几何画板是由美国数学教育研究员Nicholas Jackiw设计而成的，它是一款允许用户通过点、线、面以及各种三维图形的操作来满足教师的教学需求，同时它还被广泛应用于平面几何、代数、统计学、物理等学科的动态课堂教学活动中.

APOS理论只是描述学生可能具有的思维能力，但学生头脑中“真正”产生了什么样的效果不是教师能主观决定的，APOS理论分析的主要目的就是指出可能的教学策略和方法，以供有需要的教师作为参考、借鉴.这里是以高中导数概念教学为例，基于APOS理论的指导，依托几何画板数学教学软件探讨概念教学的全过程.

2导数概念的教学设计

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对“导数及其应用”的定位，要求学生不仅要学习导数的概念、基本运算，更要体会导数的内涵和性质，感悟极限的思想.这样才能从宏观上把握导数的概念，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数内容设置的真正意义.

2.1创设情境，开展活动——操作阶段

引例（人民教育出版社高中B版教科书数学选修2-2，第一章第一节第6页）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h=-4.9t2+6.5t+10.试探究运动员在t=2 s时的瞬时速度.

这个阶段的高中生在学习导数概念之前，已经在物理学科中掌握了有关速度、加速度、平均速度以及通过平均速度计算瞬时速度的知识.教科书对于导数几何意义的解释，是通过计算割线斜率等于两点间的平均变化率.学生借助几何画板可以快速地制作出函数h（t）的变化图象，并准确地计算出平均速度和斜率的值，同时还可以比较两组数据的变化，观察割线的运动轨迹，从“数”和“形”两个角度去理解平均变化率与割线斜率之间的关系.

如图2、图3，点P是函数图象上的一动点，它表示运动员在跳水过程中任意时刻的位置；点Q表示运动员在第二秒时距离水平面高度3.4米的一个定点，直线m是过点P和点Q的一条割线.

在这一学习活动中，学生可以任意改变参数△t的值，使点P移动到点Q的上方或下方，随着△t的变化，点 P的坐标也随之改变.但经过多次操作发现，无论参数△t如何变化、点P怎么移动，只要动点P不与定点Q重合，几何画板计算的两个值（平均速度和割线斜率）始终相等.

依据APOS理论，在该阶段教师需要为学生创设一个真实的生活情境，并利用几何画板的绘图功能生成该函数的动态图象.通过改变参数△t的值，学生进一步研究点P的位置变化和坐标值，在多组参数△t的对比之下，进而去证明“平均速度和割线斜率是始终保持一致的”.这样重复的操作，不仅让学生对函数概念有一个直观的印象，还能为顺利进入APOS理论的过程阶段打下基础.

2.2自主探究，描述概念——过程阶段

根据APOS理论，学生需要在过程阶段对外显的数学活动做进一步的反思.在几何画板的环境中，学生已经开始熟悉利用参数△t的动态变化，对函数图象进行观察、操作、分析、总结等过程，让学生亲身体验从平均速度到瞬时速度的过渡，从而加深对导数概念本质的领悟和理解.

2.3辨析概念，明晰对象——对象阶段

在这个阶段，学生虽然在头脑中对导数概念有了一定的建构，但还没有形成透彻的理解.教师可以继续利用一些物理学或生活中的案例对学生进行跨学科指导，帮助学生从不同角度来理清物体的运动轨迹和数学割线，以及近似切线的动态变化过程，学生在体验不同类型的实例时，会对导数概念更加印象深刻.即归纳出导数的定义

借助几何画板，可以很容易地绘制出任意函数及其导函数的图象，并且还能以动态的方式呈现.图6是以对数函数u（x）=lnx和三角函数v（x）=sinx为例，绘制它们乘积导函数（uv）′的图象，只需在几何画板界面选中函数u（x）和v（x），操作“定义导函数”的指令，即可快速地显示其图象和解析式.此外，还可以利用几何画板的自定义工具继续验证函数的求导法则，通过操作几何画板工具栏中的绘制新函数的命令，进行呈现函数u（x）和v（x）的和、差、积、商的导函数及其图象，并让学生逐一观察，从而在视觉上进一步去理解导数的四则运算法则.

依据APOS理论，完成上述几何画板的复杂操作后，学生对不同函数图象进行了分析比较，并亲自验证了导数四则运算法则的全过程.在这个过程中，学生已经将导数看作一个 “实体”，即对象.

2.4强化应用，概念联结——图式阶段

在该阶段，学生需要构建一个关于导数概念的综合图式，从而去解决相关的现实问题.在几何画板环境下，可以直接对已知函数进行求导，并在绘图区呈现其函数图象，进而认识函数的一些其他性质.

APOS理论认为四个阶段是循序渐进的、不可逾越的，每个阶段都有其存在的必要性.从上述的活动过程中可以认为，几何画板能够让学生独立地发现数学概念与模块知识之间千丝万缕的联系，明白每一个知识都不是独立地存在，而是需要与其他知识相互支撑.实践证明，APOS理论与几何画板相结合，可以更好地化抽象为具体、化静为动，使高中生学习复杂的抽象概念时，不会形成 “恐惧”的心理反应，而是能够从直观中获得对概念的简单认知.这样不仅可以提高课堂效率，也能使学生在学习概念知识的过程中少走一些弯路.

3结束语

研究表明，APOS理论同样适用于初等阶段的数学内容，尤其是在几何画板等多种信息技术的辅助下，既能解决概念教学过程中的难点，又能提高学生的数学学习能力，达到传统教学无法企及的高度.

参考文献：

［1］ 濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解［J］.数学教育学报，2007（02）：48-50.

［责任编辑：李璟］