培养学生逻辑推理能力的课堂活动设计

摘要：以“任意角”的教学为例，分析教师在教学中如何培养学生的逻辑推理能力，从而有效地促进学生核心素养的提升.

关键词：任意角；课堂活动；逻辑推理

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）27-0053-03

逻辑推理作为数学的思维方式之一， 可以培养学生的观察能力和思维能力，是提高学生学习能力的关键.而培养数学能力的主阵地是课堂，所以本文将给出具体的课堂活动来培养学生的逻辑推理能力.

1学情分析

喻平教授曾指出几乎所有的数学课会体现出两种核心素养，分别是数学运算和逻辑推理.由此可见，教师在教学中需要加强对学生逻辑推理能力的培养.高中生已经有了自己的主观意识，在课堂学习过程中也会寻找自己合适的方法[1].这时教师就要发挥自己在课堂中的主导作用，针对学生设计课堂活动，使学生适应高中的学习节奏，找到自己的学习方式，在这样的学习过程中，学生的逻辑推理能力能得到很快的提升.

2教材分析

“任意角”是苏教版高中数学必修一第七章第一节的内容，学生已经学习了函数的概念和性质以及指数函数、对数函数和幂函数.本节内容不仅是对初中所学角的进一步研究，同时还能引出函数的周期性，为今后三角函数的学习奠定了基础.在角的概念推广过程中，让学生经历由具体到抽象，由特殊到一般，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养.下面笔者选取教学中的具体片段来阐述如何设计活动.

3教学过程

3.1情境引入

问题1（教师准备一个时钟）现在是下午两点半，而时钟上还是一点，我们该怎样把时间校准好？

学生：将时针顺时针旋转一周半.

设计意图选取时钟是为了便于学生进入上课状态，而校准时间的问题则是埋下了两个伏笔.“一周半”可以打破学生对角不超过360°的认知，“顺时针”是给之后角的正负引入奠定基础.

问题2这个一周半是多少度？初中有没有这样的角？如果没有，是否可以认为初中的角的概念是错的？下面请同学们小组讨论.

设计意图传统教学是直接将初中和高中角的定义进行对比，这其实忽略了培养学生探索发现的能力.通过问题1给学生带来了一个疑惑，促使学生会先回忆初中角的概念.大部分学生不会质疑知识的准确性，但是又清楚“一周半”其实是540°，因而会提出问题：角的大小可能不仅仅是在0°～360°之间，之前的有限角开始向无限角转化.

教师此时提示学生，刚刚的“一周半”是旋转而来的，再让学生结合初中的定义就会发现，初中角的形成是静态的，而现在角的形成是动态的.

3.2概念推广

通过刚才的讨论，使学生感受角化静为动这个过程，从而引出高中角的定义.教师要注意不仅要有文字语言，还要有相关的图形与符号语言.

如图1，（1）始边：射线的起始位置OA；（2）终边：射线的终止位置OB；（3）顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．然后再提出问题：为什么刚才校准时间要顺时针转540°？不能逆时针转吗？

学生：如果逆时针转540°，那么不会到两点半，而是变成十一点半.

教师：都是转的540°，为什么结果不一样？

学生：可能是转的方向不同，结果就不一样.

教师：那我们再想一想，之前有没有因为方向不同导致结果不同的例子？

此时再让学生小组讨论，发现数轴中实数的正负是和方向有关，以此来推导出角的正负是和旋转方向有关，讨论的结果见表1.

这里教师可以给出两道判断题加强学生对概念的理解.

（1）经过1小时，时针转过30°.（）

（2）终边与始边重合的角是零角.（）

设计意图直接告诉学生逆时针是正角，顺时针是负角，那学生就不会思考为什么要分正负.根据数轴上定义实数的正负作为类比对象，学生才意识到角的大小也是要注意方向的.

3.3自主探究

问题3画出下列角：

30°，135°，-45°，760°，-480°.

问题4如何直观地看出这五个角之间的区别与联系？

设计意图这两个问题旨在让学生认识到寻找“平台”是研究问题的常用方法[2]. 这时教师需要指出，为了研究，我们通常把角放入平面直角坐标系中，一般都是以x轴正半轴为始边.

问题5当我们把这五个角放入同一个坐标系中，它们有哪些区别？

学生：大小不一样.

教师：这是最直观的，那再想一想，其实本质上是哪个地方不同？

设计意图学生只有经历这个过程，才会认识到推理的重要性.学生会发现图中角的终边落的位置不一样，那么象限角就能顺势引出来.

教师：我们根据角的终边的旋转方向将角分成三类，事实上，同一个事物可能会有不同的分类方式.刚刚我们提到，角的不同本质上是终边不同，再回到我们画的图象上来，看看这些角的终边的位置有什么联系？

学生：落在四个不同的象限内.

教师：那我们可不可以再次对角进行分类？

引入象限角的定义：若将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角是第几象限角.

教师追问：根据定义，135°是第几象限角？90°是第几象限角？

学生第一个问题好回答，但第二个问题就会反应不过来，因为此时还没有给出轴线角的定义.教师可以换一个问题，如果点落在坐标轴上，那算不算在某一个象限内？这样学生就能明白这种终边落在坐标轴上的角不能称之为象限角，而是叫作轴线角.

设计意图从概念出发，通过引入矛盾来激发冲突，可以从正反两面深化学生对象限角和轴线角概念的本质理解.通过这样的教学，学生能更全面地掌握角的特性，提高解决问题的能力.

如果想让学生加深对象限角相关概念的辨析，教师可以给出下面两个判断题.

（1）第三象限角一定比第一象限角大.（ ）

（2）钝角一定是第二象限角.（ ）

问题6观察下列角你有什么发现？

-300°，-150°，-60°，60°，300°，420°.

继续让学生画图并小组讨论，这样很容易得出第一个发现：-300°，60°，420°这三个角终边重合，-60°，300°这两个角终边重合.

问题7刚才哪些角的终边相同？具有终边相同的角彼此之间有什么关系？你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？如何判断两个角的终边是否相同？

设计意图相比较上一题，本题的角度更加特殊，其目的是让学生思考问题7，当学生都会写出60°角终边相同的角的集合后，再让他们写与75°，120°，260°角终边相同的角的集合.由这些特例，最终让学生合情推理出与任意角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}.接着再提出问题：角的概念推广后角的范围有怎样的变化？终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？给学生以自主探索的时间和空间，把学生从传统的课堂学习中解放出来，使学生由被动接受学习到主动探究学习.

3.4反馈与小结

（1）在①160°；②480°；③-960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是（）.

A.①B.①②C.①②③ D.①②③④

（2）（多选题）下列说法不正确的是（）.

A.三角形的内角一定是第一或第二象限角

B.钝角不一定是第二象限角

C.相差180°整数倍的角为终边相同的角

D.钟表的时针旋转而成的角是负角

学生完成后可以小组自主校对和讨论，教师可以针对错得多的选项再次进行详解，最后和学生一起总结本堂课的重点：

（1） 在平面直角坐标系内讨论角时，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.

（2）任何一个与角α终边相同的角，都可以写成角α与整数个周角的和的形式.

设计意图习题的选取不需要太难，不能让学生因习题难度过高而丧失学习兴趣.教师应引导学生自主地总结本节课的学习内容，并通过自评互评的方式促进彼此的学习，这不仅有助于巩固课程内容，还能深化他们对新概念的记忆与理解.

4教学反思

学习过程中包含的数学思想对学生认知结构的完善提供了帮助.所以在课堂的活动设计中，教师应当发挥自己的主导作用引导学生从初中到高中，从已知到未知，从零散到综合.本文中情景导入的选择更加贴近生活，角的概念的推广不再是让学生找初高中定义的不同，学生做的相关例题不单单为了巩固知识，而更侧重于让他们去发现新的问题并进行猜想论证.小组交流以及后面的黑板展示，能够充分发挥学生的主观能动性.

5结束语

数学自身的发展需要逻辑推理，而讨论培养逻辑推理素养的策略，本质上离不开课堂教学.不少学生的逻辑推理素养非常有限，其原因在于教师对散落在各个模块中蕴含的推理知识点重视程度不够，对逻辑推理素养的内涵和培养认识还不够清晰.只有在教学实践中探索学生逻辑推理素养培养的有效策略，才能从根本上发展学生的思维品质，提升教育教学质量.

参考文献：

［1］ 吴建光.基于核心素养的高中数学逻辑推理能力强化分析[J].试题与研究，2023（23）：176-178.

［2］ 石鹏.活动导学，分层探究，自然生成：“任意角”的教学设计与教学反思[J].数学教学通讯，2018（12）：19-21.

［责任编辑：李璟］