挖掘“圆锥曲线”本质 培养高中生数学核心素养

摘要：课程改革背景下，培养核心素养是高中数学教学的最终目标.对于圆锥曲线问题，要根据问题求解需求，建立坐标系，按照几何图形特点运用转化思想，将几何问题转化为代数问题.文章简要介绍圆锥曲线中蕴含的思想及育人价值，并结合圆锥曲线教学实践，探讨核心素养的落实策略.

关键词：高中数学；圆锥曲线；核心素养；培养策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）27-0040-03

在高中数学教学过程中，基于直线和圆方程展开圆锥曲线内容学习，要求学生能够掌握坐标法解决几何问题的方法，感受平面解析几何蕴含的思想.通过教学活动设计，培养学生数学建模、运算、推理等方面的能力，最终提高他们的核心素养.

1圆锥曲线蕴含的价值分析

圆锥曲线也称“二次平面曲线”或者“圆锥截面”.在数学发展过程中，笛卡尔提出解析几何这一概念，自此，解决解析几何问题时，圆锥曲线成为重点学习内容，在高考中，圆锥曲线也是重要考点.随着科技的发展，社会需求也逐渐发生变化，数学家、天文学家在各自领域研究成果显著.开普勒通过对行星运行轨迹的研究，发现轨道为椭圆形；牛顿计算出天体运动轨道同样为椭圆形；伽利略得出抛掷物体会得到抛物线.圆锥曲线和以上内容联系紧密，通过圆锥曲线的研究，能够促进天文、物理等学科发展.笛卡尔统一了代数和几何知识，将解析几何体系创立起来，将几何问题进行转化变为代数问题求解.

数学学科素养要求下，圆锥曲线内容十分重要，其内容丰富，包括抛物线、双曲线以及椭圆等知识.在教学过程中，教师要重点培养学生运算、推理等方面能力，深入挖掘圆锥曲线这一章节当中的数学思想，强化学生的抽象思维.针对圆锥曲线的几何特征教学，教师可以利用数学实验、实际问题等作为载体，将圆锥曲线几何特征提取出来，通过实验组成要素，将其转化成数学现象.这一过程也是数学抽象过程，对于学生运算素养、推理能力、逻辑思维的培养十分有利[1].

根据圆锥曲线内容，结合本章节知识教学要求，从圆锥曲线的发展史、内涵等角度，将教学内容进行适当调整，授课过程中渗透数学问题解决应用思想及方法，深度思考所学内容.学生在思考期间自主生成知识，形成数学思维，达到核心素养要求.解析几何属于方法论的一种，典型的就是坐标法.应用此方法就是应用转化思想，将几何问题变成代数问题，建立坐标系作为转化思想应用的载体，利用坐标和方程解决问题，运用推理思维、代数运算，得出代数结果，反映几何性质，提高学生解决问题的能力[2].

2培养高中生数学核心素养的策略

解析几何教学过程中，教师要注重引导学生思维，引领学生研究和分析几何问题，按照问题组成几何要素分析其几何性质，运用代数方式表达几何问题，得出几何结论.以下选择苏教版高中数学教材“椭圆的标准方程”一课教学为例，探讨运用圆锥曲线培养学生核心素养的几点策略.在核心素养教学目标之下，教师要兼顾知识技能、数学思想、数学文化、数学方法等方面指导，促进学生核心素养生成.本节课教学目标设定如下：第一，知识技能目标，能熟练掌握椭圆概念，了解椭圆几何特点，利用推导方式，将标准方程推出，明确方程参数的几何意义，反过来，利用标准方程来判定其是否为椭圆，掌握焦点坐标；第二，过程和方法目标，学生能够根据椭圆的几何特点，推导出其定义，在探究交流阶段经历抽象的过程，明确椭圆的几何特点，即具有对称性，以此建立合适的直角坐标系，利用代数的方法推导标准方程，提高运算能力及素养，利用椭圆习题进一步巩固椭圆领域知识；第三，情感态度价值观目标，学生经历数学实验过程，直观观察椭圆图形特点，分析特征，总结几何概念，参与标准方程的推导过程，体会转化思想的应用过程，感受数学方法和思想学习的重要性[3].

2.1启发导入，设问引导

导入环节，教师可以引入古希腊的故事创设教学情境：“某小岛统治者开凿出一个岩洞监狱，形状为椭圆形，被关押犯人时常商讨出逃计划，可是计划很快被发现，犯人们之间相互猜忌，认为有同伴叛变，实际上内部人员并没有叛变，而是犯人商议事情的位置在椭圆焦点上，看守人员处于另一焦点，此时即使犯人声音较小，声音经过墙壁反射以后也会被看守人员听到”.根据以上故事，引入生活当中和椭圆相关的图片，根据图片提出问题“结合光反射路线，有怎样的结论？”“如果一个篮球被放在桌面上，受到一束平行光的照射，篮球投影轮廓可能有怎样的变化？影子轮廓上多点到地面切点和篮球之间距离的变化是怎样的？”选择生活当中学生熟悉的场景，启发其思考数学问题，学生利用生活经验，结合实际观察，可以总结出“光能聚焦，经过反射以后，产生椭圆的形状”.同时，通过观察得出结论，即椭圆一共有两个焦点，如果光线从椭圆其中一个交点射入，利用镜面聚焦之后，光线可以汇集在另一个焦点上，此时光线长度相同，也就是篮球受到正上方的光照以后，可以形成圆形的轮廓，球与地面相切的点即为圆心，所有轮廓上的点到切点的距离都是一个常数，所以，可以得出结论，光线倾斜地照射篮球的时候，产生的影子轮廓就是椭圆，此时椭圆上的点至切点的距离可跟随点位置不断变化.利用趣味故事和生活情境，配合问题引导，让学生对椭圆知识形成初步感知.

2.2问题探索，新知抽象

在课堂上，为了帮助学生抽象新知，教师可以设计探究学习任务，给出平行光照射球面的图形，创设教学情境，设置问题“若将平行光线视为圆柱面，其与球面相切，则椭圆和圆柱关系是怎样的？”引领学生思考，使其运用抽象思维进行观察，将篮球抽象为球形，对面抽象为与球面相切的面，这时平面与柱面的相交线就是椭圆.为体现课堂教学教师的引导性，教师继续设置探究任务“如图1所示，当球与平面相切于点F的时候，点P在椭圆上，且点P在母线上，球与椭圆相切，切点是Q.如果点P为动点，随着点P的移动，PF和PQ会有怎样的变化？如何移动才能得到图1？点P运动期间，图中的长度关系是怎样保持不变的？”

根据椭圆的对称性思考“图1中的椭圆可以通过怎样的方式得到？”“点P运动过程中，长度关系的不变性是怎样的？”根据图形对称性，引导学生利用拼接的方式在平面下方补充完整，或者将另一侧看作为相同大小的球体，和平面保持相切.假设切点是E，经过点E母线和球之间相交于点M，那么PE=PM，PF=PQ，PM+PQ=MQ，即定长，进而得出PE与PF之和为定长.此时，学生即可了解“椭圆上的点至两定点间距离为常数”.教师继续提问“若用不平行于底面的平面截取圆柱，可以得到怎样的图形？截面当中是否有两个定点距离为一个常数？”以探究问题启发学生思考椭圆特征，学生可以直观了解到椭圆截线的定义，即不与底面平行的截平截圆柱得到的图形即为椭圆，如果在截面的上方和下方画出同样大小的球，使其与截面保持相切的状态，得到的切点就是所求定点.教师可以利用技术手段去掉圆柱、球等，帮助学生抽象出椭圆图形及其特征，辅助学生掌握椭圆的定义.在任务驱动和提问启发的环境之下，师生共同对椭圆定义进行总结，就是“处于平面之内，到两个定点距离的和等于定长度的所有点的轨迹，其中定点即为焦点，两焦点距离就是椭圆的焦距”.为了让学生理解焦点名称，可以展示生活中的事例，如播放电影时，灯泡反射的镜面属于椭圆面，所有从定点发出的光线都可向另一定点聚焦.在教学过程，引入光学、声学等传播问题，帮助学生感受椭圆的几何特点，运用抽象思维思考球切线相关知识，形成抽象思维，提高逻辑推理能力和抽象素养，学会利用数学思维思考圆柱、球和截面三者之间的关系.

2.3扩展新知，类比探索

为培养学生的类比思维，在课堂上，教师可以带领学生回忆直线和圆等方程求解的一般步骤，调动其以往学习经验，学生思考以后，回答“先建立坐标系，将动点坐标设出，之后列出几何等式，将坐标代入，经整理和化简得出结果”.教师此时要做好引导工作，提出问题“通过学习，同学们已经掌握了椭圆的特点，那么直角坐标系的建立方式有哪些？选择哪种坐标系进行计算相对简单？”基于问题引领，学生深度思考，计算时可将坐标轴选在焦点所在直线，通过作焦点线段的中垂线，完成坐标系建立，不但坐标表达简单，而且符合图形对称特点，设出点坐标以后，根据椭圆定义化简方程.如果运用移项平方的方式化简，也可以得到椭圆的方程.椭圆方程当中存在三个量，即a，b，c都是正数，“是否能够从椭圆当中找到代表线段？”以问题为载体，指导学生探究不同量的几何含义.在类比思想的运用之下，学生顺利写出焦点在y轴上的标准方程，之后对比观察焦点、标准方程，分析二者之间的关系.经过仔细观察可知，标准方程中，哪个坐标轴所对应分母大，椭圆焦点就在此坐标轴上.将椭圆的标准方程引入，结构更简洁，学生可以体会到数学的对称美和简洁美，运用数形结合思想，形成直观想象能力，提高核心素养.

2.4及时总结，巩固提升

在总结阶段，教师可以通过问题引导及习题设计的方式辅助学生理解.问题为“椭圆定义当中有哪些注意事项？”“椭圆标准方程的推导，要依据怎样的方式建立联系？”“推导椭圆方程及方程化简过程你有哪些感想？”“根据方程判断几何图形是否为椭圆，若是，则将其转化为标准方程，当a，b，c的值能确定之后，求椭圆的焦点坐标”.教师设计作业任务，学生根据问题判断，在解决问题时经历从“数”到“形”的过渡，对标准方程形成深刻的认识.通过对比分母大小，确定焦点位置，将a，b，c值求出，求出焦点的坐标，深化学生对椭圆定义及焦点的理解.针对含有参数的方程，学生精准判断是否为椭圆的标准方程还有困难，因为参数取值不同，曲线形状的变化也各有不同，通过反复练习有助于学生内化分类讨论思想，提高其核心素养[4].

3结束语

综上分析，在高中数学圆锥曲线内容教学过程中，教师要深挖内容蕴含的思想和教育价值，引领学生学习，体会圆锥曲线在解决问题中的重要性，依托各类教学活动作为载体，引领学生参与知识探究，在学习过程中，感受其中蕴含的数形结合思想，最终提高数学核心素养.

参考文献：

［1］ 赵家早.问题引领，追求本质，让数学核心素养的培育落地：以“圆锥曲线的离心率问题”专题复习为例[J].中学数学月刊，2020（5）：22-24.

[2] 陈言.基于数学教学主题培养数学核心素养：以“再探圆锥曲线的离心率”教学为例[J].福建基础教育研究，2019（7）：57-58.

[3] 陈新荥.基于数学核心素养，培养高中数学阅读能力：“圆锥曲线的光学性质”教学设计[J].中小学数学（高中版），2018（3）：14-15.

[4] 耿晓红，郭守静.基于数学抽象核心素养，引导学生变式探究：以一类圆锥曲线定值问题探究为例[J].中学数学教学参考，2019（10）：4.

［责任编辑：李璟］