数形结合突破高中物理解题困境

摘要：文章以“数形结合”思维模式为基础，结合几道典型例题，对数形结合思维的不同应用方法进行了相应探究，让学生掌握数形结合思想在物理解题中的运用方法，加强解题应用训练，提高数形结合思想在高中物理解题中的应用成效，从而促进学生物理解题能力的提升.

关键词：数形结合；高中物理；解题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）27-0071-03

通过具体习题课，向学生传授“数形结合”的思想，以提升学生解题的灵活性，提高问题的解决效率和准确率.

1“以形助数”对物理问题进行简化

在高中物理力学部分习题中，抽象性和复杂性是其典型特征.针对此类问题，通常有一部分学生对于题目中各个物理量之间的关系难以有效把握，因此在这类问题的求解中，需要将题目中隐藏的运动学特征和受力分析等以图形的方式表现出来，以发掘更多的解题条件，实现更为直观的分析[1-2].

例1如图1所示，两个物体的质量分别为m=1 kg，m=5 kg，两个物体放在与水平地面静止的长木板两端，且两个物体与长木板之间的动摩擦因数均为μ=0.5，同时长木板与地面之间的动摩擦因数为μ=0.1.假设在t=0时刻，两个物体均以v0=3 m/s的速度开始相向移动，且两个物体相遇时，物体q恰好和木板保持相对静止.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且g取10 m/s²，问：

（1）当物体p与木板相对静止时，木板的速度是多少？

（2）当物体p与物体q开始移动时，两个物体之间的距离是多少？

解析根据此例题不难看出，该题为典型的综合题，抽象性和复杂程度均较高，使得常规的受力分析等方法相对较为复杂而容易出错，因此要从运动学的角度应用“数形结合”思维画图求解.

首先结合题中已知条件，借助已学过的动力学知识，画出相关物体的速度-时间图像，具体如图2所示.

根据图2可知，当时间t=0.4 s时，物体p与木板将处于相对静止状态，此时木板的速度是1 m/s.

同时，基于该速度-时间图像的物理意义，即可求出物体q和地面之间的相对位移，其通过速度曲线与时间轴所围合的面积获得，即S-S=0.875 m；同理即可求得在物体p与木板处于相对静止状态瞬间（即时间t=0.4 s）时，物体p相对于地面的位移以S表示，其值为0.8 m.在t（0.3 s）时间内，物体p相对于地面的位移则以S梯形BDFG表示，其值为0.225 m，由此即可求得p、q两物体在开始运动时的距离的表达式为

s=s+s+s

基于图2获取上述数据，代入后解得s=1.9 m即为所求.

2基于“以数解形”的理念来剖析和解决问题

在一些高中物理习题中，通常涉及基于已有的图像来提取题目中的已知条件，但由于图像在直观信息提供方面的准确度通常存在不足，因此直接应用图像难以得到准确的物理规律.这就需要结合具体图像，进行必要的定量计算以发现其规律，由此，图形与物理量计算的结合当然不可或缺[3].

例2在光电效应实验中，一名同学使用同一件光电管，并使用甲、乙、丙三种不同类型的光线照射该光电管，得到三种不同条件下的电流-电压关系曲线如图3所示.

根据图3判断，下列说法正确的是（）.

A.光线甲的频率大于光线乙的频率

B.光线乙的波长大于光线丙的波长

C.光线乙对应的截止频率大于光线丙对应的截止频率

D.光线甲对应的光电子最大初动能大于光线丙对应的光电子最大初动能

解析根据该题不难看出，其以课本上的光电效应概念知识为基础，进行了较明显的拓展，导致难度大为提升，仅凭题目中的已知条件无法进行常规求解，这就需要对图像进一步分析.结合图像可知，在图3描述的光电效应过程中，涉及光电子在电场中的加速运动和减速运动，其对应着光电管加正向电压和反向电压两种情况.

首先分析光电管加正向电压情况.此时，随着正向电压的增加，参与导电的光电子数增加，当正向电压增加到某一临界值后，所有逸出的光电子都将参与导电，光电流也在此时达到最大值，此时继续加大正向电压则无法对光电流再产生影响.

其次分析光电管加反向电压情况.当增大反向电压时，参与导电的光电子数将减少，但当反向电压增加到某一临界值后，所有逸出的光电子都不再参与导电，此时的光电流恰好为零.这时光电管两端施加的反向电压值即为“截止电压”，对应的光的频率为截止频率，如继续增加反向电压则光电流始终为零不再改变，由此，结合动能定理，可列出方程为

eU=1/2mv²=hγ-W

根据该方程不难看出，入射光的频率越高，则对应的截止电压U也就越大，据此结合图3分析可知，光线丙对应的截止电压为最大，所以光线丙的频率最高（波长也最短），其对应的光电子最大初动能也最大，因此该题选择B项.

3基于“数形结合”思维提升物理解题思维能力在当前的高中物理习题中，部分习题对于学生思维能力有较高要求，此类问题中的一部分属于典型的“易错题”，任何细节上的细微差错都可能导致整体解题发生错误，进而造成大面积的失分.对于此类问题，其关键则在于应用“数形结合”的思维提升物理解题思维能力，灵活应用物理知识和方法解决问题[4].

例3某同学使用如图4所示的电路，探究太阳能电池输出功率、光照强度与外电路电阻的关系，其中P为电阻箱，R0为定值电阻，其阻值为37.9 kΩ，E为太阳能电池，μA为电流表（此电流表量程为0～100 μA，内阻为2.10 kΩ）.

在连接好电路后，首先在某光照强度上测试出太阳能电池的输出电压U与电阻箱P的电阻R之间的关系如图5中的曲线1所示，而后将光照强度调整至某个更高的值进行测试，得到U-R关系如图5中的曲线②所示，不考虑电流表和电阻R0消耗的功率，与曲线①相比，在电阻R相同的情况下，曲线②中太阳能电池的输出功率（选填“较小”或“较大”）.同时，根据图像估算曲线②中太阳能电池的最大输出功率约为W（结果保留3位有效数字）.

解析该习题为2021年重庆高考真题，从实际的评卷结果来看，本次展示的习题部分，有相当一部分学生都在功率求解上失分，其典型错误思路及解法如下：结合曲线②估算出此时R=r≈29.4 Ω，因此太阳能电池的最大输出电功率P=E2/4r，代入数据解得约为66.7 mW.初步分析，造成此类错误的主要原因在于，学生未考虑太阳能电池的内阻r是一个动态变化的值.

基于此，考虑到该题目中太阳能电池的内阻r存在动态变化的特征，不能直接应用已给出的图像进行求解，因此在已有图像的基础上进一步应用数形结合思维则较为重要.应用导数法进行求解则相对较为可行，因此基于电池输出功率的表达式P=U2/R，对该函数式进行求导，并结合已有曲线知，当电池输出功率最大时，其处于极大值点，导数等于零，因此令导数式为零，得到数量关系为dU/dR=1/2·U/R.

基于该数量关系，进一步引入图像进行理解，显然，该函数式的导数值可以理解为已有曲线的切线斜率，且当U-R图像上某点的切线斜率等于该点与原点O割线斜率的一半时，太阳能电池输出功率存在最大值，就此，过图5曲线②上的N点，做切线和割线ON，切线交U轴于E点，过N点的水平线交U轴于F点.当E点为OF线段的中点时，斜率k=1/2·kON，此时太阳能电池输出功率达到最大值，约为108 mW.

4结束语

当前高中物理考查内容的灵活性仍在不断提升，对于学生的能力水平有着更高的要求，常规的“死记硬背”和“套用公式”等方法已经不再有效.这就需要用好“数形结合”这一有效工具，以此加强学生对物理原理的理解，引导学生从“解题”向“解决问题”转变，由此提高学生的解题素养.

参考文献：

［1］ 刘会.高中物理解题中运用数形结合方法的实践探究 [J].数理天地（高中版），2023（24）：10-11.

[2] 邓敏.图像法在高中物理解题中的应用 [J].数理化解题研究，2023（31）：106-108.

[3] 董亮.数形结合思维在高中物理解题中的应用 [J].数理天地（高中版），2023（12）：15-17.

[4] 李成丰，王军.活用数形结合 巧解估值问题：以2021年重庆新高考物理电学实验题为例[J].中学物理教学参考，2022，51（36）：54-56.

［责任编辑：李璟］