“概率与统计”在实际问题中的应用分析

摘要：“概率与统计”知识被广泛应用于解决日常生活中的各类实际问题之中，其知识内容和实际生活有着紧密的联系.文章通过分析典型的实际问题强化学生数学知识点的内化与迁移能力，使学生能够拥有利用数学知识解决生活实际问题的能力.

关键词：高中数学；概率与统计；实际问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）27-0050-03

正确理解与熟练运用“概率与统计”中的一些分析方法，能够有效帮助学生分析与处理一些日常生活中难以解决的实际问题.在利用“概率与统计”相关知识解决实际问题时，要先确定好事件性质，判断事件的运算，进而选择合适的数学公式进行问题求解.

1最大利润问题中应用数学期望

在“概率与统计”中，数学期望具有分析随机变量总体取值平均水平的能力，其最终所得结果是表示其平均水平的重要数字特征.数学期望的应用范围具有较强的宽泛性，其在实际生活中主要用于经济决策的相关问题中，经过缜密计算后所得的期望结果可以为决策者的各类决策提供可靠的理论依据，使其通过数字了解各项决策后潜在的风险和利润[1].

例如，某人存在投资需求，其投资金额为1 000万元整，由于个人原因，其投资期限仅为一年.各大投资机构所提出的投资方案有两种，分别是存入银行获取固定利息以及购买股票[2].通过对股票市场环境进行分析，可以得出1 000万元投入股市一年后存在三种结果：经济形势良好的情况下可以获利约400万元；经济形势不好的情况下约损失200万元；经济形势普通或宏观不变的前提下可以获利约100万元，且上述三种经济形势的出现概率依次是30％，20％以及50％.若将1 000万元存入银行，假设千万级别的年利率为7.6％，则可获利约76万元.请问，若投资人想获取最大利润，则应当选择哪种投资策略？

分析根据现有的已知条件，若想保证投资人获取最大利润，则理想状态下应当选择购买股票且股市经济形势处于良好趋势，但若股市的经济形势不好，则存入银行获取固定利息的方案可以为投资人带来最大利润.此外，若股市经济形势普通，则购买股票可以为投资人带来最大利润.由于购买股票的策略中存在三种不同且彼此独立的情况，无论是股市经济形势良好还是普通，购买股票策略均优于存入银行获取固定利息策略，反之则存入银行获取固定利息策略优于购买股票.但股市经济形势瞬息万变，仅能获知不同情况的出现概率，无法得知真实情况，因此需要比较两种投资方案的获利期望大小，从而判断两种方案的优先性.

2实际问题中应用中心极限定理

对于高中概率统计而言，其中的中心极限定理、大数定律等相关概念具有十分关键的地位与重要作用，是数理统计和概率论之间承上启下、承前启后的重要枢纽.随着社会经济的不断发展，各个行业均已开始应用中心极限定理、大数定律等相关概念的数学模型，并逐渐渗入至人们的日常生活中.

例如，已知在A保险企业内存在一万人参保寿命保险，续保条件为每人每年在寿命保险中投入12元保费.假设某年内单人死亡概率为0.6％，且该人员死亡后其家属可以通过寿命保险依据向保险公司领取1 000元.（1）在上述行业背景下，A保险企业出现负营收概率为多少；（2）在上述已知条件不变的前提下，若想保证A保险企业的年利润高于60 000元，则需要将赔偿金额设置在多少？

3路线选择问题中应用正态分布

正态分布无论是在数学研究领域还是实际生活中均有着较强的应用普适性和宽泛性，究其原因是在各个领域或行业所产生的实际问题中的大多数随机变量的分布概率均服从正态分布规律，诸如生产条件标准、规范的前提下，产品的长度与口径等指标；个人能力统计中，人员的实际操作能力、学习能力等；医学领域中，个体的血红蛋白数量、红细胞数量、白细胞数量等；物理领域中，测量相同物体时所产生的误差等.上述所存在的随机变量均相似地呈正态分布规律.

例如，已知人员A需要在上海某地乘车前往上海站乘坐高铁，综合考虑时间、是否堵车等相关因素，人员A在上海某地前往上海站的行程路线有两条，其一是乘坐上海市内公交车，该行程路线的优势在于行程短，劣势在于所需时间长且交通拥堵，服从正态分布N（50，102）；其二是乘坐上海市内某地铁，该行程路线的优势为交通通畅，不存在拥堵情况，劣势在于整体路线较长，服从正态分布N（60，42），问题中所涉及的时间均以min为单位.（1）若人员A需要在68 min内抵达上海站，应当选择哪种行程路线；（2）若人员A的可用时间从68 min缩减至62 min后，其应当选择哪种行程路线？

4实际问题中应用古典概率

对于古典概率而言，其本质上属于概率学中最为古老、简单的一种概率模型.由于古典概率模型的结构简单，因此其在各个行业中的应用局限性相对较弱，具有较强的普适性.在诸多问题中均可以使用古典概率进行解决.

例如，在某届某局的国际象棋比赛中，出战双方分别是国际选手A与国际选手B，通过对国际选手A与B的往届战绩、实际排名等相关数据进行分析、统计，可以发现国际选手A在每局国际象棋比赛中的胜率为0.45、国际选手B在每局国际象棋比赛中的胜率为0.55.假设本届国际象棋比赛中存在五局三胜制度和三局两胜制度两种比赛方式，则若想提高国际选手A的胜率，则应当选择哪种比赛方式？

5结束语

综上所述，“概率与统计”知识与实际生活紧密相关，教师要根据实际学情，选择合适的实际问题案例培养学生利用“概率与统计”知识解决问题的能力，进而通过典型问题案例引导学生自主完成知识的内化与迁移，提高教学的有效性.

参考文献：

［1］ 于珊珊，赵越，刘丹. 新冠疫情防控问题在教学中的应用探讨：以《概率论与数理统计》课程为例[J]. 高等数学研究，2023，26（4）：46-49.

[2] 李亚琼，潘禹辰，徐文彬，等. 高考概率与统计试题的统计与分析：以2021年全国课标卷为例[J]. 数学教育学报，2022，31（3）：20-25.

[3] 张丽静，赵鲁涛，李娜. 基于唯物辩证法的概率论与数理统计课程思政建设与实践[J].大学数学，2022，38（2）：51-65.

［责任编辑：李璟］