高等数学课程中“极限”的教学探究

摘 要：对于高等院校中理科专业的大一新生而言，其仅是掌握中学所教的初等数学，在此基础上，要对高等院校所教的高等数学进行探究，具有一定难度。所以，高等数学的教学应注重从初等数学跨入高等数学的衔接性教学。在过渡期的教学中，应注重引导学生形成正确的思维。该文以高等数学中有关极限内容的教学为例，分析该阶段学生在学习“极限”的概念及求解时存在的问题，引导学生循序渐进地形成有关“极限”的思维，为学生今后的学习与科研打好基础。

关键词：高等数学；极限；大一新生；衔接性教学；教学措施

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2024）29-0124-04

Abstract： For freshmen majoring in science in colleges and universities， if they only master the elementary mathematics taught in middle school， it is difficult to explore the advanced mathematics taught in colleges and universities. Therefore， the teaching of Advanced Mathematics should pay attention to the bridging teaching from elementary mathematics to advanced mathematics. In the transition period， students should be guided to form correct thinking. This paper takes the teaching of limit content in Advanced Mathematics as an example to analyze the problems existing in students' learning of the concept of limit and solving it at this stage， and guides students to gradually form thinking about limits， so as to lay a good foundation for students' future learning and scientific research.

Keywords： Advanced Mathematics; limit; freshmen; bridging teaching; pedagogical measures

基金项目：广东省普通高校特色创新项目“高阶差分方程的动力学”（2020KTSCX351）；四川省高等教育人才培养质量和教学改革项目“‘五育并举’背景下的数学创新人才培养研究”（JG2021-1057）

第一作者简介：黎日松（1967-），男，汉族，广东廉江人，硕士，教授。研究方向为基础数学。

在高等院校的绝大多数专业中，高等数学是一门必修课程，而极限的概念及求解又是整个高等数学的基础，所以能否学好高等数学这门课，很大程度在于对极限的理解和运用是否透彻。由此可见，高等院校做好新生“极限”的教学非常重要。

一 新生在学“极限”时常见问题

大一新生在学“极限”时，常见问题有以下四个。

第一，目前，新生在学习“极限”概念时的主要困难，在于中学所学的初等数学与高等数学，有较大的区别。高等数学的逻辑性和严谨性明显加强，大大提高了对抽象逻辑思维的要求。而许多新生在接触“极限”概念时，感到很抽象，难以理解。如很多同学对于“无限”这一概念难以理解，因为他们在中学学的数列和函数都是有限的、具体的；极限的ε精确定义多达28种，面对这么多的字母表达的内容学生非常容易混淆[1]。这样会使一些学生刚入学就对高等数学失去信心，由此暴露出了我们的初等数学与高等数学之间的衔接性教学存在问题。

第二，中学阶段学习初等数学时，课堂上知识点多但难度小，往往会做大量的习题训练，以应付考试。学生通过做一个知识点对应的多种“换汤不换药”题目来提高考试成绩。这是中学阶段学生提高数学成绩的有效手段。且不论这种方式的对错，但如果学生进入高等院校后仍以应试思维来学习，那么伴随而来的是只懂做题套路，不懂其概念。这不符合高等院校培养创新型人才的教学目标，不利于发现适合科研的高等人才。进入高等院校后，学习“极限”概念时，重点是能够掌握正确的思维方式，目标在于利用“极限”作为工具探究连续、导数、定积分以及微分等问题。而且高等院校里面一门课，总是连着上两节以上，每节课相较于中学来说，内容丰富度大大提升，加上高等院校的教师不像中学阶段那般有诸多条规来管教学生，导致有些新生可能一下子适应不了这种节奏，无法对课堂上所有内容充分理解和运用，丧失学习高等数学的积极性，进而影响了后面的学习。

第三，学生从初中时的两天一小考，三天一大考，到高中的每天考一次试，习惯了用考试来检验自己是否掌握了知识点。但在高等院校里并没有像中学那样频繁地考试。更多的学校，一个学期只有一次期末考试，所以很多学生无法清楚地了解自己是否真正掌握了该知识点及其扩展，同时也很容易忘记概念的运用。

第四，在科技发展日新月异的今天，一些老师的教学手段老套，教学案例陈旧，教学课件单调，无法吸引学生眼球。极限对于学生而言，本来就是一个抽象的概念，且学生还在适应课堂的节奏，此时若仍使用大量板书来讲述各种定理的推导过程，便会显得枯燥无味、晦涩难懂。

二 “极限”的衔接性教学措施

针对大一新生在学极限时存在的问题，我们采取以下四个措施。

（一） 向学生描绘“极限”对高等数学的重要性

极限是高等数学中十分重要的内容之一，是探究连续、导数、定积分以及微分等内容的理论基础和研究工具，因此“极限”的思想在高等数学中的地位，就好比汪洋里的灯塔，虽然不是整道题的全部，但却是解决各种问题时的思考方向，是众多数学专业学子的必备知识。无论是高等数学哪个版本的课本，几乎都是先介绍“极限”概念和讲解如何求“极限”。由此可见，把握好对新生关于“极限”的教学，对今后高等数学其他内容的教学具有深远的影响，也与学生对连续、导数、不定积分、定积分以及微分等内容的学习，及数学专业课有关联的知识是否能正常理解与灵活掌握，息息相关。

我国古代就已经出现了极限的思想，例如“一尺之棰，日取其半，万事不竭”。大概意思是，将一尺的木棍取半，第二天又将半尺的大棍取半，则可以取到无穷无尽也取不完。这句话出自道家思想家庄周的著作《庄子·天下篇》，本是想对先秦其他学术进行批评式论述，但也向世间展示了极限的思想。公元前三世纪，希腊数学家阿基米德的穷竭法已具备极限理论的雏形，而毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现，以及在关于数与无限这两个概念的定义中就已经孕育了微积分学的关于“无穷”的思想方法[2]。

尽管“极限”的思想由来已久，然而，在随后的漫长岁月中却没有什么进展，到了十七世纪，有许多科学问题急需解决，这些问题对数学提出了更高的要求，由此产生了许多新的数学思想，其中最重要的发明之一就是牛顿和莱布尼兹创立的微积分[3]。

众多初等数学不能详细解释的问题，我们运用“极限”的思想便可以生动说明，如怎么求曲线弧长与曲体的体积等。这些通过后面的学习，学生可以知道，利用定积分可以求曲边梯形的面积，利用二重积分和三重积分可以求曲顶柱体的体积和质量，而定积分、二重积分、三重积分的基础便是极限。

最后，教学活动是教师的教和学生的学，这两者之间相互作用、相互依存、相互制约和相互影响。教学是一种双边活动，教学任务的完成，首先决定于教师，学生的学是在教师的引导下进行的，但教是为学而存在的，教师的主导作用是以“学”为落脚点，学是学生自己独立自主的活动，教师是无法包办代替的[4]。所以，无论学生在学习“极限”概念时遇到什么困难，最终都只能依靠自身的能力渡过难关，从而克服困难，老师的作用往往只能是引导。于此而言，向学生描绘“极限”对高等数学的重要性显得十分重要，因为这样可以让学生重视“极限”概念的学习，进而提高学生的自觉性，达到一个引导的效果。

（二） 将“极限”的概念具体化，让课堂生动化

高等数学中很多知识都是抽象化的，“极限”也不例外。因为抽象化有利于看清事物的本质，方便科学研究，但这也让学生与概念间产生了距离。因为学生无法从现实生活中找到该概念的应用，脑海中没有具体的形象，这样便会对“极限”这一概念产生陌生感。这也是高等院校所学的高等数学与中学所学的初等数学间的区别。

作为教师，想要做好衔接性教学，忌讳的就是一直讲概念，一直向学生推导定理的证明过程，照本宣科。更忌讳的是，学生表示疑惑时，继续按照课本的理论再讲一遍。这样不但加深学生的疑惑，而且也会降低学生在课堂上的效率。我们应该将“极限”的概念具体化。如使用类比法向学生们展示“极限”概念在他们所学过的知识中的运用。例如物理中求瞬时速度，高中数学求扇形弧长、扇形面积等问题。

又如向学生们讲述数学家遇见问题及解决问题的过程，这样可以更好地切入课堂，提高课堂的趣味性。例如介绍我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年（公元263年）注《九章算术》时，订正了圆周率（圆的周长与其直径之比）是“周三径一”之误的过程：刘徽在计算圆周率的过程中，首先遇到的难处是要计算圆的周长，再计算圆的周长与其直径之比，因为圆周是一条封闭曲线[5]。在面对直线时，我们可以利用工具将其长度测量出来，但我们如何测量出一条曲线的长度？在今天看来再简单不过的问题，却在当时是不亚于攀登珠穆朗玛峰的难题。而刘徽最后发明并使用了“割圆术”来计算弧长。此时我们可以介绍“割圆术”来调动课堂。首先，作圆的内接正六边形，其周长记为a1；然后平分每个边所对的弧，逐渐将边数递增，作圆的内接n边形。周长分别记为a1，a2，a3，……最后发现无论边长递增到多少，圆的内接正多边形都是直边形，面对直线时，古人已经有技术将其测量出来，所以便可间接将圆的周长求出。

通过这两个例子，向学生们讲述了我国古代数学家化曲为直的过程，让学生对极限有了初步的构思。通过这种方法，可以很大程度地避免了一味地向学生灌输概念，从而调动课堂的积极性，让学生参与其中。在学生有了初步构思后，便可以开始讲抽象概念。在讲完概念后，让学生们现场做例题，及时发现学生们对概念的认知错误，加以改正，从而使学生正确理解概念并能运用。如学生很多时候会忽略“极限”是趋于某个值，而不是等于它。当然，对于一些重难点，如两个重要极限、等价无穷小量等更应如此。

就好比有些学生在运用等价无穷小量代换来计算极限时，并没有注意所求极限因式间的符号是乘号还是加号，又或者用x0代替x，没有注意当x→0时，x0是否趋向于0。

示例：求极限x6 sin时，学生往往会犯如下的理解错误

=x6 sin=x6·==0。

在这个例子当中，学生应该想到的是“无穷小量乘有界函数的结果为0”这个性质，而不是利用等价无穷小量代换来计算极限。作为教师，应该及时纠正学生的错误理解，这样学生在以后求极限或运用极限去求其他内容的时候，才不会犯错。

同时可以改变教学方法，将多媒体带入课堂也是个很好的方法。苏霍姆林斯基说：“教育如果不想方设法使学生情绪高昂和智力振奋的内心状态，而只是不动感情脑力劳动，就会带来疲倦。[6]”在上述所说的化曲为直或者类比的方法时，若采用板书的形式，将会浪费较多时间，从而使课堂又回归到枯燥无味的状态，违背了讲这些内容的初衷。而且对教师的绘画能力有较高的要求，所以我们可以采用使用多媒体的方法，比如用几何画板制作出所讲内容的动态图形，或借助Matlab的作图功能，通过观察数列图形的变化，我们可以求出数列极限，理解数列极限概念的几何意义[7]。又或者用已做好的PPT来展示直观的图形，从而更好说明事理。在这里，我们必须对当代学生有一定的了解。当代学生生长在互联网极其发达的时代，他们时刻冲浪于互联网的前端，引领着时代的潮流。所以，教师使用PPT等工具展示课件时，要适当引入一些潮流事物，不宜以大量文字作为基底，可以链接一些生活中与极限有关的短视频及案例，减少学生对极限的陌生感。

其次，虽然说“极限”的概念对于学生十分抽象，需要老师大下功夫，但仍有一些学生可以事先很好地掌握了极限。若由此作为基础，则可以尝试翻转课堂。“翻转课堂”译自Flipped Classroom，是指在教学过程中将学习的主动权由教师转移到学生，教师不再占用大部分的课堂时间讲授知识，而是让学生重新调整课堂内外的学习时间和方式，在课后通过视频、播客、微信等载体完成自主学习。教师将课堂上更多的时间用在与学生的讨论和交流上，用讲授法和协作法来满足学生的个性化学习需要[8]。在翻转课堂内，已理解极限概念的学生，能以同龄人几乎同样的思维，向其他同学来描述“极限”的概念。他们能以同龄人都听得懂的新词，加深未懂学生的了解程度。例如笔者曾听学生说的有趣案例：求极限就像煮粥，当米趋于0时，就几乎是水，当米趋于∞时，就成爆米花了。这样的例子或许不太严谨，但总归会比老师讲得更生动有趣些，更能让其他同学透彻地理解，能更好提高课堂的趣味性，进而提高课堂的效率。

总而言之，作为老师，上课时应运用一切手段提高课堂的活跃度，调动学生，吸引学生，提高学生课堂学习的积极性。

（三） 课后工作要做足

许多高等院校想仅仅通过课堂上的例题就让学生掌握“极限”，但事实证明仅靠课堂上这一点例题是不够的，而且一些学生刚从中学升到高等院校，不适应高等院校自学的状态，缺乏自律性。可“极限”这一概念，无论是对高等数学以后的课程，或者是其他数学专业课程，都十分重要。学习数学若不及时复习巩固，不做一定量的练习，容易给下一步学习造成被动。长此以往，问题就会更加严重，所以教师在大一新生初学“极限”这一概念时，一定要做好课后工作，如布置课后作业。布置课后作业时需注意挑选一些学生容易犯错误的题目，以及一些比较困难的题目，如利用迫敛性求出极限。借此来巩固学生所学的知识点，进而确保学生初期的学习工作顺利展开。同时让学生们有不懂的问题时，可以在企业微信上提问。教师看到问题后，现场作答或收集完成后放到课堂上一起解决。将疑问化解在学生心存求学之时，更能激发学生对高等数学的向往。在讲完极限这一章节后，还要引导学生们梳理出极限的有关知识点，教会学生们做思维导图，及时进行总结归纳，这个步骤在极限的教学中不可忽视。因为许多大一学生没有养成复习的习惯，同时他们也并没有彻底掌握极限的思想。所以，教师引导学生对极限进行总结归纳，做思维导图，有利于学生梳理极限这一章节的教学过程，便于日后复习。而当代大学生大都十分擅长各种电子软件的操作，这对学生绘制思维导图提供了极大的便利。对不太精通的同学，教师可以重点关注，教会其使用电子软件来绘制思维导图。例如教师可在课堂的最后，利用一点剩余时间来演示在电脑中如何使用PPT、Xmind等软件快速地制作思维导图。

（四） 后续课堂上反复温习与扩展

在教学连续、积分等课堂上，可以抽一小部分时间来巩固和扩展极限的内容。这样做的好处有：一是可以作为一个很好的切入点进入后面的学习。高等数学的教学中，无论是积分还是连续抑或是多元积分等的计算都是基于极限的基础。例如在证明连续时，就要先证明极限存在并相等。所以，教师除了利用现实中的例子进行情境导入外，还可以考虑通过复习极限来进入课程。在此过程中，能帮助学生重温“极限”的概念、计算等知识点，这样也方便后续教学的流畅度。二是让学生了解自身对极限的掌握程度，从而弥补考试少，学生不能自知的缺点。绝大多数大一新生不能摆脱应试思维，考试考到哪就学到哪，不把时间放在课堂没有的内容上。但高等院校的学习，更强调自学，强调自我提升。由此一来，学生若不自行改变，老师也不加以纠正，那么高等院校的教学对最终培养出来的学生几乎无用。所以，教师通过课堂上对“极限”的温习与扩展，可令学生认清自身水平，进而激发学生自主实习的兴趣。三是加强学生的自信心。除了上述的学生外，肯定存在一些学习性强的学生。他们通过一些短视频、推文、经验帖等，已经掌握了适合自身的自学计划，明确了自我提升的目标，同时他们还可能拥有较强的寻找学习资料的能力。对于这部分已经掌握学习技巧，适应高等院校学习生活的学生来说，教师通过课堂上对“极限”的温习与扩展，可以增强学生的自我认同感。此过程在鼓励学生继续走适合自己的学习道路的同时，为培养更高质量的创新性人才埋下伏笔。

三 结束语

极限对数学众多专业课的重要程度不言而喻，只有将极限学好才有机会学好后面的课程，所以教师应该尤其注重大一新生“极限”概念的教学。第一，教师在了解到学生学习极限存在的问题之后，上课前应备课充分，准备多一些通俗易懂的例子；第二，结合课程思政，讲极限的思想方法和极限的数学故事，提高学生的积极性；第三，想办法改造课堂，吸引学生注意力，提高学生学习的自觉性；第四，注意课后的工作，以带动新生回归学习的正轨。

参考文献：

[1] 刘苏兵，李钰.高等数学极限概念教学难点分析及其突破[J].数码世界，2019（3）：232.

[2] 乌力吉.极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法[J].安徽冶金科技职业学院学报，2010，20（1）：54-57.

[3] 邢妍，赵若男.文化视角下的极限概念［J］.中国科技信息，2010（15）：169-170，183.

[4] 莫愿斌，谭福锦. 从加强学生对《数学分析》的整体认识中提高教学质量[J].广西民族大学学报（自然科学版），2009，15（3）：105-107.

[5] 熊喆风，姚春临，万波.数学概念教与学的实践——对数学分析中极限定义的教学设计思考[J].江汉大学学报（自然科学版），2006（4）：27-29.

[6] 吴大勇.《高等数学》第一学期教学探讨[J].现代计算机，2016（19）：24-26.

[7] 邓宇龙.基于Matlab的数学分析极限概念教学实践[J].大学数学，2014，30（1）：117-120.

[8] 石少广，张蕾，马萌.基于翻转课堂理念的《数学分析》课程教学模式研究——以数列极限为例[J].创新教育研究，2016，4（3）：69-73.