课程思政背景下常微分方程课程教学研究

摘 要：常微分方程是理论联系实际最广泛的课程之一，而且它有丰富的思政元素。该文首先论述常微分方程课程思政的必要性，其次给出课程思政的实现途径，最后结合极限环知识点、数学建模竞赛和新冠感染疫情防控3个热点问题给出具体实施案例。该文通过对课程思政在常微分课程中的融入研究，期望能够为国家培养更多德才兼备之人。

关键词：课程思政；常微分方程；教学；极限环；数学建模

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2024）29-0181-04

Abstract： Ordinary Differential Equations is one of the most extensive courses in combining theory with practice， and it has rich ideological and political elements. This paper first discusses the necessity of ideological and political courses in Ordinary Differential Equations， and then givesrealization methods. Finally， the paper gives specific implementation cases based on three hot issues， such aslimit loop knowledge， mathematical contest in modeling and COVID-19 prevention and control. This paper has a certain reference for the implementation of the ideological and political course of Ordinary Differential Equations.

Keywords： curriculum ideology and politics; Ordinary Differential Equations; teaching; limit loop; mathematical modeling

基金项目：2022年度安徽省高等学校省级质量工程重点项目“基于课程思政背景下数学专业《常微分方程》教学改革研究与实践”阶段性成果（2022jyxm544）；2021年度安徽师范大学校级研究生课程思政教研项目“生物数学”阶段性成果（无编号）；2023年度安徽师范大学校级“课程思政”示范项目“常微分方程”阶段性成果（无编号）

第一作者简介：张道祥（1979-），男，汉族，安徽天长人，博士，教授，硕士研究生导师。研究方向为微分方程理论及其应用。

2016年12月，习近平总书记指出：“使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”同时，教育部提出：“要将各类课程与思想政治理论课相融合，将‘立德树人’作为教育的根本任务，既要育才也要育人。”在早期，高校在育人方面所做的工作大多是开设思政课程，即将思政课程设为高校必修课，并组织学生集中学习。而课程思政的提出，要求所有专业课程都要承担起立德树人的教育责任，在专业课中融入思政元素[1]，避免仅通过思政课程这一唯一途径来实现思想政治教育，从而提高高校教学质量。

课程思政不是在课堂上口号化机械化地输出思政内容，而是强调潜移默化。强行施加课程思政会破坏专业课程的完整性与严谨性，学生也难以将两者结合起来，这不利于专业课知识的吸收与价值观的塑造，反而事倍功半，所以要注意方式方法。由于不同专业有不同的人才培养目标，故需要结合专业特点与长处，深入挖掘课程所包含的精神内核与思想价值，从专业课的发展历程、主要用途等方面，增强课程的育人功能。

常微分方程作为数学专业的一门必修课程，是研究自然现象、物理工程等领域的强有力工具，有着广泛的实际应用。然而，在传统的常微分方程教学中，学生可能更加善于套用公式求解方程，而不清楚如何利用常微分方程来解决实际问题。现如今在课程思政的大背景下，高校需对专业课程教学模式进行改革，将思政教育与专业知识进行有机结合，做到知识传授与价值引领相结合[2]。常微分方程科学思维严密、逻辑性强、发展前景广阔，提升常微分方程的教学质量对于培养学生的探究精神、逻辑、创新思维与解决实际问题的能力都有着巨大作用，从而为国家储备更多的应用数学方面人才。

一 课程思政的实现途径

（一） 课程有广度——知识传授

1 优化知识体系

常微分方程的内容对于同学们来说具备一定的难度，为使同学们对该课程有一个整体把握，教师可对教学内容进行分类。例如，首先将常微分方程的求解方法归为一类。这是开设常微分方程最基础的知识性目标，即明确要求同学们会分辨并求解各类常微分方程，如一阶微分方程、高阶微分方程及线性微分方程组。在学习了不同种类型的常微分方程解法后，老师可带领同学们进行归纳总结，或让同学们于课后在笔记上自行整理。这蕴含着对症下药，具体问题具体分析的思想内涵。其次将相关理论知识分为一类，如解的存在唯一性定理，解的线性相关线性无关性。这部分内容可对不同层次的学生提出不同程度的要求，在讲解该部分内容时也要更加区分步骤详细讲解，照顾不同学生的感受。最后，将微分方程的应用归为另一类。该体系搭建既稳固又有广度，同时也符合学生的认知规律。

2 灵活教学手段

新冠感染疫情影响下，部分高校不得已以线上授课的模式展开教学。线上教学评价褒贬不一，而教师要做的就是不断利用线上优质教学资源与各授课平台的手段优化教学，如测试发布、自动批改、限时任务、录屏回放和小测结果统计等，教师可充分利用教学平台，帮助同学们掌握知识。而在传统的线下教学中，教师亦可借助线上资源与平台，如在每讲解完一类微分方程的特定解法时，可在学习通发布一个限时小练习，及时了解学生的掌握情况。这同时也是保留教学过程的一种途径，方便教师课后反思教学过程中存在的问题，不断优化教学设计。教师还可布置相关线上课程视频任务，要求同学们自行观看学习。在最终的成绩评定环节中，若教师在教学过程中贯穿了较多的网络教学方式，则网络后台学生的学习数据可作为平时成绩评定的参考标准，教师亦可增加平时成绩在总成绩中的比重，做到重过程轻结果[3]。

3 注重协作建设

课程思政是一项庞大的系统性工程，注重培养团结协作精神有助于将思政元素更好地融入到学科建设中。

例如，对于高校，若不同高校割裂开来，只专注自身，则授课老师工作量巨大。因此，高校之间可成立常微分方程课程思政教研小组，合力完成升级版本的常微分方程教学方案；也可选择常微分方程课程思政已经做到非常出色的高校，制作慕课发布在网络上，供大家学习参考；同时，还可将课程思政的出色程度作为衡量高校教学成果的评估内容，采取奖励机制，激发高校教师的备课欲望。而对于学生，若在教学过程中多组织集体教学活动，则有利于加强同学们相互之间的团结协作精神。因此，在常微分方程教学过程中，可成立互助帮扶小组，让同学们互相合作，取长补短；也可采用分组学习比赛的模式，将学生随机分组，通过问答或者汇报等比赛方式帮助同学们复习重要知识点，最终得分最高组胜出。这样一来，便更好地拉近了高校之间、学生之间的距离，增强了新时代的社会凝聚力。同时，学生在课堂中不仅学习了科学文化知识，还能体会到团结协作带来的精神力量。

（二） 课程有深度——能力培养

常微分方程作为理工科课程，具备思维严密、逻辑性强、应用性强等特点，若将传统文化或法律法规强加于教学，则显得格格不入，效果也不理想。所以，可从数学思维与实际应用的角度融入思政，培养学生的创新精神与科学思维能力，做到既育才也育人。

1 数学思维

教师培养学生正确的数学思维有助于其更好地掌握常微分方程中的相关知识。如在用常数变易法解线性常微分方程时，将常数变易为待定函数，这一巧妙的构思对学生非常有启发。教师可引导提问学生是否在其他学科中有过类似的处理方法，有何区别，有何联系。在解伯努利微分方程时，先要处理该方程，利用变量代换将其化为线性微分方程，再利用常数变易法求解，也可以直接通过通解公式得出结果[4]。随着课程的学习，同学们会发现常数变易法还可以求解高阶线性非齐次微分方程及线性微分方程组，其过程更为复杂[5]。通过常数变易法的教学，可以看出知识的传授需先易后难，学生对于知识的接受曲线也是一个螺旋式的上升过程，并非垂直到达。同学们在初次接触常数变易法时，可能对变易过程还难以理解，但在课后不断的练习巩固中，当到达某一高度再回看时，便会有“一览众山小”的感觉了[6]。

2 实际应用

常微分方程属于应用性强的知识，高校所用的常微分教材都不会仅仅介绍理论知识。

为了让同学们走出书本，最终让常微分方程作为解决实际问题的有效武器，高校可鼓励同学们积极参加各类数学建模比赛，利用微分方程建立的数学模型更好地对实际加以模拟，从而预测未来。在模型的建立过程中，同学们需要不断地修改模型与验证模型，从而补足知识上的空缺，这有助于同学们对于常微分方程的掌握程度产生质的飞跃。从会解到会列，再到实际应用，是科学思维的拔高也是应用意识的提升。与此同时，可由教师在课后布置相关热点问题，并适量结合时政热点，如病毒感染无症状患者与确诊患者是否可用同一传染病模型描述等，作为平时分的加分项目，激起同学们的探究欲望；也可自己拟题，培养探究精神与创新思维。

（三） 课程有温度——价值塑造

1 历史文化

微分方程理论诞生于经济迅速发展的17世纪，为顺应生产力的发展，社会对于数学水平的提升有着极高要求。微分方程最早出现在伽利略观察自由落体运动时，发现物体的加速度为常数的研究中；而牛顿是第一位着手解微分方程的数学家，莱布尼兹则最早利用常微分方程解决实际问题。此后，伯努利、欧拉、克莱罗和拉格朗日等数学家，均对常微分的发展起到了非常重大的作用[7]。

任何学科的发展都不是一帆风顺的。尽管课本上将常微分方程知识点由易到难划分得十分明确，但这是很多数学家耗尽无数日夜钻研所得的成果，是各位优秀的数学家不断研究试错、排除万难才得到的结论。经过该部分学科历史的介绍，同学们对于微分方程的发展史有了基本的了解，也体会到科学家们孜孜不倦的探究精神，而当下的我们直接享用着他们的研究成果，理应格外敬畏。同时，对于微分方程发展史的了解也激发了同学们对于当代常微分方程中仍存在的问题产生研究欲望。

2 爱国情怀

任何一门学科的最终目的都是服务于社会，数学自然也不例外。教师在教学过程中，要善于关注数学知识与实际问题的联系，并融入国情元素，扩大格局，进而培养学生的爱国情怀。例如，对于一阶线性齐次微分方程的学习，为了运用“马尔萨斯人口模型”的基本原理，可以设计案例“请用数学方法证明毛泽东‘星星之火，可以燎原’的论断”。研此题，首先学生会查阅资料了解当时的历史背景，理解“星星之火，可以燎原”的出处及其含义，再引发思考，深入题目本质，探究基本原理。做这个题目的过程中，不仅巩固了常微分方程的基本知识，还了解了中国共产党的一些发展史，培养了爱党爱国的精神。

二 常微分方程课程思政具体案例

（一） 结合极限环知识点

1900年，希尔伯特（D.Hilbert）在世界数学家大会上提出了23个重要的数学问题。在20世纪之初，他所提的这些数学问题，激起了全球数学家的一股研究热潮。其中的第16个问题，中国数学家将其做到了极致。该问题为：常微分方程=的极限环的最大数目H（n）及位置分布，其中Qn（x，y），Pn（x，y）是n次多项式。该问题引起不少数学家的关注，但研究进程缓慢。在1955年，一位苏联科学院院士提出H（2）=3，此后也有两位数学家发声肯定该结果。然而，中国数学家史松龄创造性地构造出了一个有4个极限环的系统，并加以证明，这表明，H（2）=3的结论是错误的。文章一经发表，便否定了当时数学界主流观点H（2）=3这一错误结论，引起轰动，中国数学家扬眉吐气。紧接着，同年，陈兰荪和王明淑也找到了一个有4个极限环的例子。这一世界数学难题，经过中国数学家不断试错与创新，思索与探究，终于有所突破。随后，1982年，李承治通过个系数，给出一个具体的条件，构造出一个系统，能判定也有4个极限环，且得出位置分布。中国数学家没有沉溺于之前的成就无所事事，而是选择更加深入地探索。时至如今，平面二次系统的极限环问题，H（2）=4这一结果仍领先世界，为最新结论，没有被突破或者推翻，也就是说世界上暂时还没人能够给出一个H（2）=5的例子。

在常微分极限环一节的课程教学中，教师可讲述这样一个数学难题的探究过程。中国数学家们在那个科研条件十分艰苦的条件下，勇于质疑，投身科研。数学家们投身科研的毅力与追求卓越的精神给了同学们动力，树立了榜样。

该常微分方程课程思政案例，在知识层面将常微分的难度与深度拔高到一个全新的层次，可以看出在常微分方程背后，依然有更广更深更细致的难题有待解决，而这些也是数学学者们共同的研究任务，同学们可结合兴趣加以深究；胸怀祖国的爱国精神，追求极致与严谨治学的科学精神，敢为人先与勇攀高峰的创新精神，迎难而上与攻坚克难的吃苦精神，这些同学们都需带着崇敬之心加以悉心学习。

（二） 结合数学建模竞赛

从1970年，中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”，搭载“长征一号”运载火箭发射成功，以及此后的“嫦娥”探月工程，“天宫”载人空间站、“天问”探测器等，一次次的成功书写着中国的航天神话。2023年，神州十六号发射成功，两位乘组航天员会师太空，一时间占满各种热搜词条。作为常微分方程的授课老师，需要挖掘其中的常微分知识，带领学生体会火箭发射问题的解决过程，而解决途径就是数学建模。故在常微分课程进行到大半的时候，教师可借用此热点问题，分析火箭发射问题，讲解利用微分方程进行数学建模的这一过程，使学生掌握建模的基本步骤与方法。例如，教师可引用以下问题的解决过程。

火箭发射的时候是垂直向上发射的，靠着火箭携带的燃料向下喷射产生的推力迅速上升，航天工程中常见的三级火箭接力助推，逐级地把火箭燃尽的结构一一丢弃，减轻火箭本身的质量，达到最大高度。此问题将讨论的是单级小型火箭的发射和上升过程，利用微分方程建立模型，讨论火箭上升高度的方法。

为简化模型，假设不考虑空气阻力，则火箭的发射、上升过程为：火箭垂直地面发射，燃料以一定的速率燃烧，火焰向下喷射对火箭产生向上的推力；在上升的过程中，火箭要克服地球引力，不考虑克服空气阻力，使得火箭加速向上飞行；当燃料燃尽，火箭仍然可以依靠已经获得的速度继续上升，一直到速度为零，火箭达到最高点。

该过程中依靠的一个基本的物理规律就是牛顿第二定律。分析受力，火箭运动过程中，受到燃料燃烧的阻力，这由燃料的特性决定，可视为恒定；还受到地球的引力，由于火箭上升高度相对于地球半径来说很小，可视为地球引力常数g。

设火箭初始质量为m0，燃料质量为m1，燃料燃烧速率为r，推力为F。t=0时，火箭从地面x=0垂直向上发射，x（t）为火箭高度，x′（t）为速度，x″（t）为加速度，m（t）为火箭质量，随着燃料的燃烧，m（t）=m0-rt，t1表示燃料燃尽的时间，则有t1=；t2时刻火箭达到最高点，此时x′（t）=0；则可以建立以下方程：

在燃料燃烧阶段，即0≤t≤t1时，有（m0-rt）x″（t）=F-（m0-rt）g ；

在燃料燃尽后，即t1≤t≤t2时，有（m0-m1）x″（t）=

-（m0-m1）g。

可对上述微分方程带入数值依次求解，求出火箭所能到达的最大高度。

讲解完此例后，一方面，教师可总结利用常微分方程进行数学建模的传统方法及一般步骤：如模拟近似法、微元分析法等。而在实际的建模过程中，由于问题复杂，需要学生对以上方法加以综合运用，这需要大量的练习与实践。常微分方程课程上难以对众多的问题展开讲解，但建模思想的启蒙为学生打开了新的大门。所以，教师需要鼓励学生多参加建模比赛，这对学生解决问题能力的训练与创新思维的提升有着巨大的推动作用。另一方面，教师可就中国的航天成就在精神层面对学生加以思政教育：“两弹一星”，神州载人，北斗指路，嫦娥奔月，天问探火......从无到有，从仿制到研制，从单个卫星到一个个太空系统，航天事业的飞快发展带动了通信、遥感等各领域的进步。这是航天工作者夜以继日奉献自我的成果，当代青年需肩负时代重任，紧随国家号召，甘于奉献，争当人才。

（三） 结合新冠感染疫情防控

一门课程首节课的质量高低，一定程度上影响着学生们对于该门课程的学习兴趣。在常微分方程整套课程的首节课，即第一章的1.1节“常微分方程模型”的教学中，就可以结合社会热点——疫情防控，教师可通过介绍传染病模型开展此门课程的教学。以下是具体的教学内容和思政元素。

在传染病SI模型中，假设考察地区人口数为N，未感染者与感染者在时间t时数量分别为S（t）与I（t），单位时间内感染者能够传染的人数与当时的未被感染人数成正比，即k为传染系数，则有

=k（N-I）I，

从假设中可以得出防疫隔离措施的重要性。检测、预测、预防疫情，任何人不得独善其身，战胜疫情是每位公民的职责。

结合疫情防控教学常微分方程模型可融入如下思政元素。

1 爱国意识

疫情形势关乎国家命运，我们应该主动配合国家政策，积极为国家防疫贡献出自己的一份力量。一方有难，八方支援，一方疫情严重，其余各省应尽全力支援人力及物力。

2 社会担当

国家兴亡，匹夫有责。当疫情形势严峻时，人人都身负重责。高校应鼓励学生经常锻炼以提升自身免疫力，降低感染风险。只有每一个小人物承担起属于自己的一份责任，才能够以小我成就大我，迎接祖国灿烂的明天。

3 奉献品格

白大褂下是医务人员的汗水；志愿者们为了守护大家的安危甘居防疫前线，置自身于危险之中；科研工作者们在黑暗中不断摸索道路。国家有难、人民有危险时，总有人挺身而出。而作为新时代新青年的我们，更应当用知识武装自己，不负国家，不负人民，奉献自己，回报社会。

三 结束语

常微分方程作为应用型课程，是理论联系实际的重要工具。常微分方程的教学方式也需要不断优化，紧随时代潮流。本文举出常微分方程课程思政的三个方向，并列举了一些教学过程中的具体方式。但是课程思政不是刻意为之，常微分方程本身就暗含了很多的课程思政元素，教学中融合课程思政也是自然而然的一个过程。希望课程思政在常微分课程中的融入，能够为国家培养更多德才兼备之人。

参考文献：

[1] 林泉伶.课程思政新时代高校思想政治教育新途径研究[D].南京：南京邮电大学，2019.

[2] 林媛，刘伟明.基于课程思政背景的常微分方程课程教学改革研究[J].湖北师范大学学报，2021，41（2）：108-112.

[3] 李姝敏，郭鹏云，徐国明.常微分方程课堂教学改革的探索与实践[J].赤峰学院学报（自然科学版），2023，39（3）：88-92.

[4] 谢振肖.可化为变量分离方程的常微分方程的启发式教学[J].南阳师范学院学报，2017，16（6）：57-58.

[5] 陈华平，毕迎鑫.浅析“常微分方程课程”教学中的思政教育[J].科教文汇，2020（34）：111-112.

[6] 窦霁虹.挖掘常微分方程课程的思政教育元素[J].高教学刊，2021，7（33）：109-112.

[7] 周迎春.数学文化在常微分方程教学中的渗透[J].实践·探索，2018（Z2）：78-79.