用基本模型构造高考压轴题

摘 要：２０２３年重庆高考物理压轴题延续之前压轴题的特点，综合性强，思维难度大。第15题的命题起点是高中物理中最基本的两个模型。尝试给出如何从最基本的模型构造出难度极大、选拔功能极强的高考压轴题，为高考备考和模拟题命制提供参考。

关键词：高考真题；压轴题；命题策略

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）9-0049-5

２０２３年重庆高考物理卷第 １５ 题，作为全卷的压轴题，综合性强，思维难度大，突出体现了对学生关键能力和综合素质的考查。据了解，完整解出此题的考生数量很少，不同能力水平考生的完成度差异明显，体现出良好的试题区分度。拆解题目后发现，本题的核心是两个高中物理最基本的模型，高三学生对这两个模型都很熟悉，为什么组合起来就难以完成了呢？本文以此为例尝试给出如何从最基本的模型构造出难度极大、选拔功能极强的高考压轴题，为高考备考和模拟题命制提供参考。

第一步 根据考点，选择基本模型。

本题计划构造一道带电粒子在电场和磁场中运动的综合试题，先在电场和磁场中各选择一个基本模型。

模型１：带电粒子（质量为ｍ、电荷量为ｑ，重力略去不计，下同）以垂直于电场的速度ｖ０进入匀强电场（场强记为Ｅ）后，做类平抛运动，如图１所示。

由牛顿第二定律，对带电粒子有

qE=ma（1）

可得带电粒子运动的加速度为

a=（2）

模型２：带电粒子以垂直于磁场的速度ｖ０进入匀强磁场后（磁感应强度记为Ｂ），做匀速圆周运动，如图２所示。

图2 带电粒子在均强磁场中运动

由牛顿第二定律，对带电粒子有

qv0B=m=mR（3）

可得带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径和周期分别为

R=，T= （4）

第二步 增加变数，提升模型难度。

增加变数的方式很多，比如构造电场和磁场的边界，改变带电粒子的质量（同位素）、电荷量（同种元素的不同离子）、初速度（加速条件偏差）等属性，引入其他受力等。本题主要从两个方面增加变数。

变数１：让带电粒子的初速度大小有不同取值。

变数２：给电场和磁场各确定一条直线边界。

如图３所示，带电粒子以不同大小的初速度同方向进入该匀强电场的直线边界，由类平抛运动的基本规律可知

β1=β2=β（5）

图3 不同速度大小的粒子进出电场边界

其中，β的值为

β=arctan（2tanα1）-α1（6）

与粒子的初速度大小无关。

同时，考虑到粒子在出电场时垂直于电场方向的分速度和进入电场时相等，沿电场方向的分速度大于进入电场时的分量，所以

β<α1（7）

如图４所示，带电粒子以不同大小的初速度进出该匀强磁场的直线边界，由圆的几何关系不难得到

β3=β4=α2（8）

图4 不同速度大小的粒子进出磁场边界

同样与粒子的初速度大小无关。

第三步 构造衔接，组合两个模型。

构造１：让粒子始终从同一点离开电场进入磁场。

两个模型都是进入磁场的点相同，出射点不同。为了让它们更好地组合起来，可以将电场里不同的轨迹进行平移，让这些轨迹具有相同的出射点，不同的入射点，如图５所示。如果粒子多次运动过程中，每次都是从同一点离开电场进入磁场，那么就可以将这两个基本模型衔接在一起了。

图5 带电粒子在电场中有共同出射点的轨迹图

但是，由前文对角度大小的讨论可知，若直接将两个边界重合，粒子经磁场偏转后再次进入电场时速度方向不再垂直于电场，让后续运动的复杂程度显著增加，运动过程无法形成周期性，如图６所示。

图6 电磁场边界重合的情形

构造２：在两个边界之间增加一个真空区域。

由图7可知，带电粒子出磁场前一定存在一个状态，其速度方向与电场线垂直，若磁场的边界正好就在此处，电场和磁场边界之间的区域为真空，那么粒子出磁场后经历一段匀速直线运动，即可再次以垂直于电场的方向进入电场做类平抛运动。由类平抛运动的规律可知，只要每次入射方向相同，在电场直线边界出射的方向就相同，经历磁场中偏转后又以同样的方向进入真空，一段位移后再次以垂直于电场的方向进入电场，具备实现运动的周期性的可能。

图7 电场、磁场边界不重合的情形

构造３：选择恰当的磁感应强度，以保证构造１成立。

若带电粒子以垂直于电场的初速度ｖ０进入电场，建立如图８所示的坐标系，则

x=v0t（9）

y=at2（10）

图8 粒子进出电场边界

出电场时，位移方向正好与电场边界方向重合，有

tanα= （11）

出电场时的速度和位移大小分别为

v1=（12）

s=（13）

联立以上各式可得

v1=v0（14）

s=（15）

粒子在磁场和真空中运动时速度大小均不变，所以粒子第二次进入电场时速度大小为ｖ０的ｋ倍，由（14）（15）式可知，在电场中第二次运动的位移为第一次的ｋ２倍，其中

k=（16）

为了保证粒子从同一点射出电场，需要选择恰当的磁感应强度，让粒子第二次入射点到第一次出射点的距离为第一次在电场中运动位移大小的k2倍。

不难发现，以后每一次粒子进入电场的速度都是上一次的ｋ倍，位移都是上一次的k2倍，这要求粒子每次在磁场中运动的轨迹半径为上一次的k2倍。考虑到粒子每次进入磁场的速度为上一次的k倍，由（4）式可知，粒子每次进入磁场时，需要将磁感应强度调整为上一次的倍。由此形成的周期性运动如图９所示（为凸显轨迹特点，图中电场和磁场均未画出，只画出其边界）。

图9 粒子周期性运动示意图

第四步 设计细节，形成优质试题。

设计１：隐去显性条件，增加思维难度。

有界电场的边界，通常作为带电粒子运动的前提条件，而此题告知粒子每次都从边界垂直于电场方向进入电场，每次都从同一点沿同一方向射出电场，由这些信息来反推电场的边界信息，从而增大试题的思维难度，更好地考查学生的物理直觉或灵活运用数学工具解决物理问题的能力。学生需要具有较强的分析综合能力，才能寻找到正确的解题路径。考题引导我们在平时教学和备考中要注重理解，发展学科核心素养，减少死记硬背和“机械刷题”。题目叙述中要说清楚电场区域是连续的，粒子每次进入电场到离开电场的整个过程中是一段完整的类平抛运动，不然无法通过分析得到电场的边界信息。

设计２：明确隐含条件，减少过失失误。

要完成所要求的周期性运动，磁场的强弱必须按一定的比值逐次减小，这是题目的一个重要隐含条件。题目不但指出磁感应强度大小可调，还明确说明磁感应强度每次都减小为原来的一半，提醒了题目的隐含条件，有助于学生分析出粒子运动的周期性，也为后续关于运动时间的计算减少了运算量。作为优质试题，不故意通过“陷阱”来为难学生，反而在关键信息上给出充分提示。

设计３：虚构理想条件，避免科学争议。

题目中的静电场有一条理想边界，按题目要求运动的粒子每次出电场的速度均为上一次出电场速度的k（k>1）倍，即粒子的动能增加了。对于相邻两次出电场的闭合路径，只有电场力做功，由动能定理可知电场力做功一定大于0，即q·d>0，考虑到其中 ｑ 为常数，意味着·d>0，这违背了静电场的环路定理。２０１５年重庆卷压轴题曾经出现过这个问题，引起了较多关于电场理想边界科学性的讨论。本题再次面临这种模型，第一句就先声明这是“某同学设计了一种粒子加速器的理想模型”，那么后续求解就只能按照题目约定的信息进行，至于违背环路定理那是这种设计的不合理之处，不影响在理想假设的前提下对带电粒子运动情况的讨论。这也给教学中处理类似问题提供了一种思路。

通过以上构造，形成最终试题，下面给出真题和最后结果，供大家参考使用，限于篇幅，解答过程从略。

题目 某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图10所示，在 ｘＯｙ 平面内 ｘ 轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场。ｘ 轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场，电场强度与 ｙ 轴负方向成 α 角，另一部分无电场。该边界与 ｙ 轴交于 Ｍ 点，与 ｘ 轴交于 Ｎ 点。与 ｘ 轴正方向成 α 角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从 Ｍ 点向电场内发射一个比荷为的带电粒子 Ａ，其速度大小为 ｖ０，方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间 Ｔ 后从 Ｎ 点进入磁场，且通过 Ｎ 点的速度大小为 ２ｖ０。忽略边界效应，不计粒子重力。

图10 题目示意图

（１）求 α 角的大小以及 Ｍ、Ｎ 两点的电势差 ＵＭＮ。

（２）在该边界上任意位置沿垂直于电场强度方向射入的带电粒子，只要速度大小合适就能通过 Ｎ 点进入磁场，求 Ｎ 点的横坐标及电场的边界方程。

（３）若粒子第一次进入磁场时磁感应强度为 Ｂ１，之后粒子每次经过 Ｎ 点磁感应强度变为原来的一半。则粒子 Ａ 从 Ｍ 点发射后，每次加速后均能通过Ｎ点，求 Ｂ１及粒子从 Ａ 发射到第 ｎ 次通过 Ｎ 点的时间ｔｎ。

参考答案：

（１）α=，U=

（２）x=，y=-x，（x≤）

（３）B=，

t=（2-1）（2+π）+2）T，（n=1，2，3…）

用同样的方法，笔者基于带电粒子在匀强电场和匀强磁场这两个基本模型，命制了一道高考模拟题，供大家批评指正。

（重庆一中２０２３年５月月考，物理，第１５题）如图11所示，在边长分别为Ｌ和２Ｌ的长方形区域ａｂｃｄ内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ。沿ａｂ边和ｃｄ边分别放置一块绝缘弹性板，带电粒子与弹性板碰撞前后电荷量不变，垂直于弹性板的分速度等大（下转第56页）（上接第52页）反向，平行于弹性板的分速度不变。弹性板的长度略小于Ｌ，ａｄ边和ｂｃ边没有任何遮挡，粒子可以从这两个边（包括端点处）自由通过。在ａ处有一粒子源沿ａｄ方向发出两个质量同为ｍ、电荷量也相同的带电粒子甲和乙。甲粒子的初速度为ｖ１，发出后不与弹性板发生碰撞，直接从ｃ处离开磁场区域。乙粒子与两弹性板各碰撞一次后也从ｃ处离开磁场区域。不计两粒子的重力以及它们之间的作用。

图11 题目示意图

（１）求粒子的带电量ｑ及电性；

（２）求乙粒子的初速度ｖ2和甲粒子初速度ｖ１的比值；

（３）若撤去磁场，在ａｂｃｄ区域内加上沿纸平面且与ａｂ边平行的匀强电场（图中未画出），其他条件均不变。发现两粒子从ｂｃ边上同一点Ｐ（图中未画出）离开电场区域，且甲粒子与弹性板之间有且仅有１次碰撞。求电场强度可能取值中的最大值Ｅ（用Ｂ、ｖ１表示），并分别计算所有可能情况下Ｐ点与ｂ点的距离Ｄ。

参考答案：

（１）q=，负电

（２）=

（３）E=Bv，D=L或L或L。

参考文献：

［１］程力，李勇．基于高考评价体系的物理科考试内容改革实施路径［Ｊ］．中国考试，２０１９（１２）：３８－４４．

［２］赵祎萌，任建英，孟秀兰．香港地区高考物理试题特点分析及对高考命题改革的启示［Ｊ］．物理教学，２０２２，４４（４）：６４－６９，３１．

［３］朱联星．构建物理模型 落实学科核心素养——以２０２１年福建高考物理压轴题为例［Ｊ］．物理教师，２０２２，４３（５）：８７－８９．

［４］李忠相，栾丽．２０２２年重庆高考物理压轴题的分析与启示［Ｊ］．物理教师，２０２２，４３（１１）：７９－８１．

（栏目编辑 陈 洁）