不等式恒成立，双变量巧突破

涉及“双变量”或“双参”的不等式恒成立问题，是在近年的高考数学试题中经常出现的一类综合应用问题.此类综合问题往往涉及函数与方程、函数与导数、不等式等模块知识，而对于“双变量”或“双参”的任意变动，无规律可循，是数学教与学的难点之一.此类问题能力要求高、综合性强、难度较大，往往是一些压轴题的重要场景，备受各方关注.

1 问题呈现

此题以含双参不等式恒成立为问题背景，借助双变元的比值所对应的代数式的最值求解来合理创设，实现函数与方程、不等式等数学基础知识之间的交汇与融合，全面考查考生的“四基”与“四能”.

而具体解决问题时，可以依托含参不等式的条件，借助参数取值的分类讨论思维来切入与应用；也可以结合不等式中的指数式或恒等变形中的对数式，借助切线不等式的放缩与转化思维来变形与应用.这两种基本思维是解决本题的关键所在.

2 问题破解

2.1 分类讨论思维

点评：在涉及含参的不等式恒成立问题中，结合参数取值情况加以分类讨论，是解决问题中比较常用的一种基本思路.而合理构建函数，巧妙利用函数的单调性来深入分类讨论，是解决问题的关键与基础.对于代数式的最值的确定与求解问题，可以巧妙转化为相应函数的最值来达到目的，也是解决问题的基本思路.

2.2 转化思维

3 变式拓展

4 教学启示

涉及“双变量”或“双参”的不等式恒成立问题，往往问题比较繁杂，而借助恒成立不等式的等价变形与转化，给问题的切入与应用提供条件.在具体解题过程中，可合理消元或整体处理，也可合理构建函数加以处理，还可合理根据参数取值进行分类讨论处理等，这些都是破解此类问题的常见技巧方法与解题思路.

而涉及“双变量”或“双参”的综合问题，成为近年高考数学试卷中的热门与难点问题之一，形式多样，变化多端，同时交汇融合的数学基本知识点比较多，对数学思维与思想方法的要求比较高，具有较好的选拔性与区分度.同时，借助此类综合问题的考查与应用，可以很好考查学生思维的发散性、创新性与开拓性，养成良好的数学解题习惯，培养学生的数学核心素养.