依托函数与导数应用，巧借切线不等式放缩

基于函数与导数的综合应用，涉及函数或方程中的不等式恒成立以及相应的综合应用问题，特别是与之相关的指数切线不等式ex≥x+1或对数切线不等式ln x≤x－1等，是函数的基本性质与综合应用的升华，有助于问题的实质与内涵的理解与应用，成为解题中非常有用的一些相应的“二级结论”，对于问题的快捷切入、解题思路的优化、过程的简化等都非常有效果，成为解决与之相关的函数、方程以及不等式等问题中常用的一些基本结论与性质.

1 问题呈现

此题以复杂的分式函数为问题场景，借助指数式与对数式的混合加以巧妙创设，进而确定相应函数的最小值.函数解析式的复杂性，直接分析处理比较困难，而直接利用重要不等式来放缩也无从下手，给问题的解决创造一定的难度.

解决此类问题的基本依据就是结合函数与导数的综合应用，利用导数法来切入，通过函数的单调性判断及极值、最值的确定来达到目的；而基于函数与导数的综合应用，依托一些“二级结论”以及对应的性质，借助切线不等式来合理放缩，是在前者知识基础上的优化与提升，更是解决此类问题中的首选之一.

2 问题破解

2.1 函数与导数思维

点评：在解决一些复杂函数的最值问题时，借助函数与导数的综合应用，导数法是解决问题时最为常用的一种基本技巧方法，方法基本，思路常规，步骤固定.只是有时在处理此类问题时，由于函数解析式的复杂性导致求导运算量比较大，解题过程比较繁杂.而这里“隐零点”的确定是解决该问题的一个重点与难点，也是问题解决一个重要突破口.

2.2 切线不等式思维

点评：在解决涉及指数与对数混合求最值的问题时，经常可以考虑利用一些相应的“二级结论”以及对应的性质等，如这里借助切线不等式来合理放缩.而在具体操作时，可以根据具体情况，利用指数切线不等式ex≥x+1或对数切线不等式ln x≤x－1等加以巧妙放缩处理，从而优化解题过程，提升解题效益.

3 变式拓展

4 教学启示

其实，指数切线不等式ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立）或对数切线不等式ln x≤x－1（当且仅当x=1时等号成立）等相应的“二级结论”，是基于函数与导数的综合应用的产物，也是对知识与应用的提升与升华，进而在学习与解题过程中不断加以总结与巧妙应用的一些基本知识点.

依托这些常见的“二级结论”，对于优化一些小题（填空题或选择题）的解题思路与解题过程等都是非常有益的.特别是一些常见的“二级结论”，以及与之相关的性质、结论等，适当掌握一些此类结论，对于解题有一定的促进与提升作用，可以在一定程度上促进数学基础知识的理解与掌握，发散数学思维，优化数学习惯，培养良好的数学品质与数学核心素养等.