思维与技巧比翼，几何与代数融合

立体几何中的位置、距离、角度等要素的最值（或取值范围）问题，一直是高考中的基本考点与热点问题之一.此类问题中，往往离不开动点的变化与应用，借助动点的变化情况来确定对应的位置、距离、角度等要素，为解决相应立体几何中的最值（或取值范围）问题提供条件.

此类立体几何中的最值（或取值范围）问题，可以交汇并融合众多的知识点，具有较强的综合性和技巧性，很好考查学生的数学基础知识与基本能力，有较好的选拔性与区分度，成为考试中的一个重点与难点，备受各方关注.

1 问题呈现

此题以三棱锥为载体，已知一组对棱的长度和位置关系来创设场景，通过两个不同平面内对应动点的变化情况，引起二面角的变化，进而确定对应二面角的余弦值的最小值.

借助立体几何问题，巧妙融入平面几何、平面解析几何、三角函数、平面向量以及不等式等相关知识，实现不同知识点之间的交汇与融合，是一道集综合性、创新性、应用性与交汇性的模拟题，值得好好品味与深入探究.

2 问题破解

点评：在该解法中，借助空间向量之间的关系与转化，合理构建对应边长之间的关系是解决问题的关键，也为问题的进一步解决提供条件.立体几何的应用场景，综合等面积法、余弦定理以及基本不等式的应用等，实现对应二面角余弦值的最小值的求解.该解法融合几何思维与代数思维，综合逻辑推理与数学运算等素养，协力合作来巧妙完成最值问题的探求.

解法2：轨迹法1.

点评：在该解法中，利用题设条件确定在各自己平面对应动点的轨迹问题，进而结合立体几何中二面角的概念确定对应的角，综合三角函数、余弦定理以及基本不等式的应用等，实现对应二面角余弦值的最小值的求解.巧妙引入角参，利用轨迹情况合理构建对应边长的关系式，为利用余弦定理构建关系式，并通过基本不等式的应用来确定最值提供条件.

点评：在该解法中，通过“裁剪”展开降维策略，基于立体几何中的空间角的构建，合理将空间几何体中不同平面内的点的性质的“三维”问题，通过展开转化，回归到平面解析几何的“二维”问题，利用平面解析几何中椭圆、双曲线的定义与方程，结合参数的引入与变形转化，综合基本不等式的应用，实现立体几何问题的突破.由“三维”问题，从不同视角转化为“二维”问题，实现问题的降维处理.

3 教学启示

涉及立体几何中的位置、距离、角度等要素的最值（或取值范围）问题，基于动点的变化情况，正确剖析题目条件，把握问题的内涵与实质，借助“动”来合理转化，巧妙化“动”为“静”，引入参数或相关的变量，通过“静”态思维，结合相关的函数或方程、三角函数、不等式、几何直观等来分析与应用，实现问题的巧妙解决.