方程场景，函数同构，不等式应用

摘要：同构思维与同构意识是破解数学问题中一种比较特殊的解题意识与技巧方法，特别对于解决一些指（数式）对（数式）混合问题.本文中结合一道含双变元的方程条件下的大小判断问题，借助代数式的恒等变形与同构意识的应用，利用指对同构法的应用来巧妙转化，实现双变元及含有双变元的代数式的大小关系比较与判定，剖析变形与转化技巧，以及同构意识的应用，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：方程；函数；不等式；同构；变式

涉及含有多变元（以双变元为主）的指（数式）对（数式）混合问题（包括方程、函数或不等式等），是近年高考数学试卷中比较常见的一类综合问题，问题设置变化多端，形式各种各样，场景创新新颖，对考生的数学“四基”与“四能”的全面考查起到非常重要的作用.

而解决此类问题的基本指导思想，就是对相应的方程、函数或不等式进行恒等变形与转化，合理分离变元，并进一步寻找等号或不等号两边所对应的代数式之间的结构特征，合理寻找共性或同型，巧妙构建函数或同构函数，借助新函数的构建与基本性质的应用等来分析与解决问题.

1 问题呈现

此题以含双变元的方程为问题场景，进而判断双变元及其含有双变元的代数式的大小关系，即对应的不等式成立问题.联系方程与不等式之间的桥梁就是对应的函数，合理地构建与同构函数，借助函数的基本性质（以单调性为主）来转化，是实现不等式判断的主要依据.而如何合理构建与同构函数，就成为解决问题的一个关键点.

2 问题破解

点评：对于该问题的突破，以上三种方法中，从方法1的分类讨论法，以及方法2与方法3的同构法，其基本思想方法都是依托题设条件中含双变元的方程的等价变形，合理分离变元，并结合方程两边的代数式的结构特征加以恒等变形，为进一步构建函数或同构函数指明方向.

以上三种不同方法中，各方法之间又有一定的差异，构建函数或同构函数的差异，给解题思维的推进与解题过程的书写提供不一样的情景.无论哪种方法，都对此类问题的解题思维与技巧策略提出非常高的要求，也对考生的逻辑推理与数学运算等方面的核心素养进行必要的考核.

3 变式拓展

3.1 同源变式

依托同类型场景，结合含双变元的方程这一问题场景，合理借助同构思维来分析与处理，进而判断双变元及其含有双变元的代数式的大小关系，得到对应的变式问题.

3.2 方法变式

依托同构函数思维来解决多变元场景下的大小比较问题，成为指（数式）对（数式）混合问题比较常见的一类基本问题，进而得到对应的变式问题.

4 教学启示

4.1 同构技巧，规律总结

4.2 思维拓展，能力提升

对于解决涉及含有多变元（以双变元为主）的指（数式）对（数式）混合问题（包括方程、函数或不等式等），基于参变分离或变元分离，依托指（数式）对（数式）之间的等价变形，合理寻找同型或共性，不同视角的等价变形或变形形式对应不同的同构函数形式，给同构函数创设丰富的形式，方式各异，殊途同归.依托函数的构建或同构，合理变形与转化，不断增强创新意识、同构意识与创新应用，融合知识交汇，形成数学能力，培养数学核心素养.