多一点想和多一点算

武汉市数学调考题很多都是经典好题，凝聚了命题专家的心血和智慧，2023年四月调考第20题就是一道经典好题.下面用从“多一点想”和“多一点算”的角度，用四种方法来解决这道调考题.

1 题目呈现

2 题目解析

思路一：利用事件的关系来分析解决问题，转化为对立事件来解决.设甲正面朝上次数大于乙为事件A，则A-表示甲反面朝上次数大于乙.抓住“甲正面朝上次数大于乙”的概率和“甲反面朝上次数大于乙”的概率相等，求出P（A），这样算得少而想得多.

赏析：第（1）问很基础，考查独立重复事件;第（2）问是在第（1）问基础上继续探究，转化为先求出平局的情况，并用对称性求出甲获胜的情况，最后确定甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.对学生思维能力的要求较高，想得多而算得少.作为一道概率统计题，本题设有两问，层层递进，这样可以让不同的学生都可以有机会拿分，两问联系性较好，区分度良好.

思路三：类比第（1）问的计算方法，第（2）问也求出前n局平局的概率，然后用对称性求出甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.

赏析：用类比法由特殊到一般，由第（1）问的3局推广到n局，借助组合数公式求出n局平局的情况，当运算到甲（n+1）局时发现P[KG-1.5mm]n抵消掉了，回头才能发现可以不用计算P[KG-1.5mm]n，进而简化运算，体现出解法二“想”的优越性，而解法三能具体算出P，这样算得多一点，但是直观且具体的求出结果，便于理解.

思路四：如果不用题干的对称性，也可以利用组合数公式直接求出结果.第（1）问有6种情况，推广到第（2）问中罗列出全部情况来解决.

3 教学启示

本题的命制巧妙，让人耳目一新，其中蕴含了概率的巧妙的对称性求解思路.既可以转化为对立事件求解，也可以先求出平局情况，进而求出抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；前n局平局既可以通过组合式公式计算出来，也可以用设而不求，求出答案.可以算得多一点，也可以想得多一点，掌握各种解法的优化和对比，并将它们用到日常的教学中去，可以培养高中生的类比能力、转化能力、运算求解能力，从而促进学生数学思维的发展以及数学核心素养的达成.