“数”“形”切入，多解思维

平面向量是“数”与“形”联系的典范模型，是二者的和谐统一体．在破解平面向量问题时，经常借助其“数”的性质，从代数的角度进行运算处理；或借助“形”的特征，从平面几何的角度进行直观分析．因而，在破解平面向量的相关问题时，应结合题目条件，从“数”的性质或从“形”的特征加以“两面性”思维与分析，巧妙处理，实现多角度思维，多方法处理，多层面拓展．

1 问题呈现

此题以两个确定的平面向量为问题背景，引入第三个平面向量，结合平面向量间关系的设置来确定平面向量的数量积的最值问题．具体破解时，可以从“数”的性质角度，通过坐标法来分析；或从“形”的特征角度，通过几何法来处理．

2 问题破解

点评：结合平面向量的“数”的性质，建立平面直角坐标系，同方法1构建向量c的轨迹方程，结合圆的标准方程的配方处理，通过数量积的坐标公式，借助柯西不等式来确定一次线性代数式的最值问题．

点评：结合平面向量的“形”的特征，将众多的数学知识点加以合理交汇与融合．利用投影法处理平面向量中的数量积问题，关键就是合理构图，数形结合，综合应用平面几何、三角函数、平面向量等相关知识．

3 变式拓展

点评：直接通过建立平面直角坐标系，结合坐标法来处理，通过点与圆的位置关系来确定相应的最值问题，比较简单直接．当然也可以借助几何法，数形结合来处理，具体可以参考以上问题的方法3．

点评：通过平面直角坐标系的建立与坐标法的应用，利用点的轨迹方程的确定，结合所求结论的几何意义，将问题转化为圆上的点到定点的距离最大值问题，结合两点间的距离来分析与处理，拓展思维，交汇知识．

4 教学启示

根据平面向量独特的性质——既有“数”的性质，又有“形”的特征，合理结合条件，挖掘平面向量的本质内涵，破解问题时可以从“数”的性质或“形”的特征进行“两面性”思维展开，全面拓展用“数”、解“数”思维，提高识“形（图）”、用“形（图）”能力，从而真正充分强化与实现函数与方程思想、数形结合思想等，以及代数运算、直观想象等核心素养在平面向量问题中的巧妙融合与创新应用．