例析数形结合思想在高中数学中的应用

数形结合是指将研究对象中存在的数量关系、数学语言与直观的图象有机地结合在一起，通过以数辅形或以形助数等方式，将一些抽象、复杂的问题变得简洁、具体化，实现优化解题的目的［1］.数形结合思想的应用十分广泛，如在方程与不等式、集合、三角函数、数列、线性规划等问题中，使用频率均很高.为此，本文中以它的应用类型为起点，引用几个实例具体谈谈如何以形助数，优化解题.

1 数形结合的类型

1.1 以形助数

将抽象的数量问题转化为直观的图形，是解决问题的一种常用方法.在高中数学中，转化途径主要有平面几何、立体几何与解析几何三大类.以形助数遵循的一般规律为：首先分析问题的结构，将已知条件与待求目标进行分解，比较、分析条件与目标之间存在怎样的内在联系［2］.鉴于此，解题时首先要明确问题的条件与结论，并以二者作为观察的出发点，分析其的表达方式，找出“数”所对应的“形”，以构造出合适的图形，从而解决问题.

1.2 以数辅形

虽然图形具备直观形象的视觉优势，但其在定量方面远远不如数的计算来得准确.尤其是一些复杂的图形，在将它转化为数的过程中，要特别关注它所蕴含的隐含条件，只有找准图形的实质，才能进行精确的分析与计算.以数辅形的主要解题思路为：首先要明确问题的条件与结论，分析图形特征与所表达的意义，构造与之对应的代数关系式，从而获得结论.

1.3 数形互通

数形互通是指在一些问题中，不能单纯地依靠以形助数或以数辅形来解决问题，而需通过数与形的互相转化来解决问题.数形互通常从问题的条件和结论同时出发，找出“数”与“形”相互对应的关系，达到见形思数、见数获形的目的.数形互通的本质，即前两种类型的结合.

2 以形助数的应用

2.1 解决集合问题

集合是高中数学教学的基础与重点，不少数学概念都是建立在集合的基础上而形成，深度掌握集合知识对提高数学学习效率具有重要影响.尤其是遇到集合的定义、交并补等至关重要的知识，一般我们以平面直角坐标系、韦恩图与数轴等来表达其中的关系，让学生从图形中更直观地理解问题，达到事半功倍的解题效果.

本题考查利用venn图解决实际问题，也是数形结合的典型例题之一.利用图形来解决集合问题，可让结论变得更加直观.学生一旦掌握了用数形结合思想来解决集合问题，对后期更为深入的学习具有很大的帮助.集合作为高中阶段的开篇教学，对建立学生学习的信心，以及后期的学习都有深远的影响.为此，教师在本章节的教学，应尤其关注学生对数学思想和方法的掌握情况，让每个学生都能从课堂中掌握数形结合思想，为整个高中阶段的数学学习奠定坚实的基础.

2.2 解决函数问题

观察本题，不难发现数形结合思想在解决函数问题中具有简化问题难度的作用.若单纯用计算的方式来求a的取值范围，繁琐且容易出错，甚至有些学生会毫无头绪，而将问题用图形的方式来表达，则让人一目了然.学生通过对图象的观察，很快就能获得正确的结论.

因此，数形结合法在解决函数问题中，具有简化问题难度、迅速求解的功能.教学中，我们发现不少函数问题都是以图形的形式呈现，观察这些图形，不仅能发现丰富的代数知识，还能从直观的图形中一眼看出重要的信息，为解决问题提供帮助.

2.3 解决三角函数问题

遇到求解三角函数的定义域问题，需在确保函数式有意义的情况下，通过列不等式的方式，取得相应的交集.常见的解题方法有函数图象法与单位圆法.函数图象法是在函数图象中找到与条件相符的边界角，由此写出集合；而单位圆法则是在单位圆中画出相应的角，据此标示边界三角函数.

关于三角函数单调区间所涉及到的大小比较及最值等问题，一般都选择将函数转化为基本的三角函数模型，转化后借助图象或单位圆等来解决问题.此过程是一个典型的数形结合的过程，这种转化模式能让学生快速抓住问题的核心，从图形的表达中获得待求的结论.

三角函数是高中数学教学的一个难点，不少学生遇到比较函数值的大小或函数解析式的问题就感到畏惧.通过本题不难发现，若能灵活地将数形结合思想应用到此类问题中，则可将复杂的函数问题用简洁的图形表达出来，学生通过对图象的观察与分析，解题思路则豁然开朗.

2.4 解决解析几何问题

纵观近些年的高考试卷，会发现立体几何试题与解析几何试题出现的频次较高.由此我们也能看出它们的重要性.解决此类问题的基本思想即数形结合思想，就是要将图象的特征与相关定义有机地结合在一起，进行综合性的研究与分析.这就要求学生要深度了解各类图形，如椭圆、抛物线、双曲线、圆和一些空间图形的几何意义与相关性质，从而在知此知彼的状态下，达到灵活应用的地步.

由本题来看，代数与几何有着密不可分的联系，解析几何终究是研究几何问题.因此，我们在强调代数方法的同时也要注重几何图形本身的性质与内涵.

总之，数形结合法不仅具有分析问题的数量关系、表达图象性质与意义等作用，还具有启发思维、激发兴趣、拓展思路、化繁为简等重要作用[3].因此，我们在教学中应引导学生熟练掌握数形结合思想，在提高学生解题能力的同时，能有效地提升学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］钱建良，张菁.例说数形结合思想的应用[J].中学生数学，2014（9）：15-18.

[2]徐慈平.重视数形结合培养学生能力[J].初中数学教与学，2014（6）：21-23.

[3]波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.