厘清思路,跳出题海：突破不等式四大题型

不等式在高考试题中占有重要地位，是基础性题目和综合性题目常考查的内容之一.高考对不等式的考查不仅限于基础知识和基本技能，还常常涉及不等式性质的应用、推理及证明等方面，要求学生具备较强的综合运用能力.例如，利用不等式证明、解决最值问题和优化问题等.通过对不等式的考查，可以全面评估学生的数学思维能力、分析和解决问题的能力，以及逻辑推理能力和创新思维.

1 不等式性质的应用

（1）学生常见的错误

学生在解题时，经常会误用或漏用不等式的基本性质.例如，在处理不等式的加、减、乘、除运算时，忽略了符号变化的条件，导致解题错误；学生可能不清楚某些性质的适用范围.例如，对于不等式的可乘性，当乘数为负数时，不等号方向会发生变化，许多学生在处理负数乘除时未能正确转换不等号方向；在进行不等式的等价变形时，学生容易出错，如平方、开方、对数等操作不当，导致结果不正确.例如，将不等式两边同时平方，如果没有考虑不等号方向的改变，可能会得到错误的结论；在应用不等式性质解题时，学生容易忽视题目中给出的条件和限制，导致解题思路偏离正确方向.例如，在优化问题中，常常因忽略变量的取值范围，导致结果不符合实际情况.

（2）解题思路分析

①明确不等式的基本性质和适用范围.在解题前，首先明确需要使用的不等式基本性质，如加减性质、乘除性质、平方和开方性质等.可以通过回忆或写下这些性质，确保对每个性质的准确理解；仔细阅读题目，找出题目中涉及的变量及其取值范围.特别是在涉及负数和零的情况下，必须注意不等式符号可能发生的变化.②合理选择变形和化简的方法.根据题目的具体形式，选择合适的不等式变形方法.例如，对于分式不等式，可以通过去分母的方式转化为整式不等式；对于多项式不等式，可以考虑通过因式分解或平方的方法进行化简；将复杂的不等式逐步化简为简单的不等式，分步骤进行计算和解答.每一步操作后，检查变形的正确性，确保不等号方向的正确变化.③结合实际问题进行分析.在建立模型后，结合不等式的基本性质进行求解.注意解答过程中的逻辑性，确保每一步操作的合理性和准确性.解答完成后，结合实际问题背景，检验解的合理性，确保结果符合实际情况.

2 比较两个数（式）的大小

（1）学生常见的错误

学生在比较两个数或表达式的大小时，常常忽略了题目中给定的条件或范围.例如，若题目给定某变量的取值范围，学生容易忽视这一信息，从而导致错误的比较结果.特别是涉及不等式时，学生容易遗漏变量的限制条件，导致解题步骤不完整或结果错误；在比较两个复杂的表达式的大小时，学生容易在计算过程中出错，尤其是在处理带有多项式、根号或分数的表达式时.例如，简化表达式时符号错误或步骤遗漏会导致最终的比较结果出错.此外，计算器的使用不当也会导致错误的结论.

（2）解题方法赏析

①构造差式法.分析两个数或表达式的差值，通过确定这个差值的正负性来判断二者的大小关系.具体步骤：首先构造出一个差式，然后分析这个差式的符号，通常需要借助题目中的已知条件，判断这个差式在不同情况下的正负，从而确定比较对象的大小关系.作差法的具体步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论.②利用函数单调性.构造一个函数，并利用函数在某个区间上的单调性来比较两个数或表达式的大小.函数单调性表明在某个区间内，函数值随着变量的增大而增大或减小.因此，通过构造一个合适的函数，并利用其单调性，可以将两个数或表达式的比较转化为两个函数值的比较.这种方法依赖于对函数单调性的理解和应用.③应用已知不等式.利用数学中已知的不等式定理或性质，直接比较两个数或表达式的大小.已知的不等式定理，如均值不等式、柯西不等式等，提供了比较两个数或表达式大小的有效工具.通过识别可以应用的不等式，根据问题的具体条件，将比较问题转化为不等式的应用场景，从而得出结论.这种方法依赖于对不等式定理和性质的熟练掌握和应用.

3 利用待定系数法求代数式的取值范围

（1）适用条件分析

①待定系数法通常适用于代数式能够表示为多项式或通过变形转化为多项式的情况.这种方法依赖于将目标表达式与一个已知多项式进行比较，通过待定系数来确定多项式的系数，从而求出取值范围.②待定系数法需要利用代数式在特定点或特定范围内的已知值来确定系数.因此，必须有足够的已知点或范围内的值，以便建立方程组来解待定的系数.若没有这些已知条件，待定系数法将无法应用.③为了确定所有待定的系数，必须能够构造出与待定的系数数量相同的独立方程.这意味着问题的条件必须能够提供足够的信息，以便形成一个线性方程组，从而解出所有待定的系数.如果无法构造出足够数量的独立方程，则无法利用待定系数法求解.

（2）解题方法分析

4 不等式的综合问题

这些内容体现了高中数学不等式综合问题的广泛性和复杂性，要求学生具备扎实的基础知识和灵活的应用能力，同时能够在多种数学问题情境中进行综合分析和解决.