阅读与思考：函数概念史话，融入数学文化

数学文化作为数学中的一个基本知识点，合理渗透到高中数学教材中去，往往以教材知识以及课后阅读材料等形式来展示，以“阅读与思考”“文献阅读与数学写作”等板块形式来介绍与体现.因而，教学中应合理挖掘高中数学教材中对应数学文化相关栏目的内涵与应用，充分引导学生深入去阅读、去理解、去体会，这样才能正确融合数学文化，提升数学文化内涵与数学综合应用，给数学学习创造更多的场景与应用.

江苏凤凰教育出版社2019年出版的《数学》（必修第一册）第5章“函数的概念与性质”第123页给出了“函数概念的形成与发展”的阅读材料.基于教材的这个阅读材料，函数概念的史话等，给函数概念与性质模块知识的学习提供了更加宽广的空间，也是全面考查函数的基本概念与基本性质、基本应用的“四基”与关键能力等最为重要的一个创新应用场景，备受各方关注.

1 数学文化史话

正如其他的数学概念一样，伴随着数学的发展，函数的概念也在不断地变化和改进中.而随着数学史的研究，相应数学概念的产生与发展等，对于数学的发展有着不可估量的作用，同时也对数学分支的开展与应用产生奠定性的作用.而函数的概念与应用就是其中一个非常重要的知识.

1.1 世界函数概念的演变

在数学家笛卡尔（René·Descartes，1596—1650）引入变量的概念后，变量与函数等相关概念日益渗透到数学研究以及其他科学技术的方方面面.特别地，当今社会中非常多的相关学科，都和函数的基本概念等息息相关，如宇宙中的天体运动、热导的传递与应用、电磁的传递秘密等，这些现实生活中的实践与实际应用，往往都离不开函数的基本概念及其应用.

德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm-Leibniz，1646－1716）最早提出了函数（Function）这一基本概念，他在1692年发表的一篇论文中提出的.基于莱布尼茨的函数基本概念，一般认为，函数作为幂的同义语是函数概念的解析起源，用函数表示几何量是这个概念的几何起源.

直到1718年，瑞士数学家、莱布尼茨的学生约翰·贝努利（Johann Bernoulli，1667－1748）把函数定义为：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量.”贝努利这里强调，函数往往要用相应的公式来表示与应用，即所有变量x和常量构成的式子都叫做关于变量x的函数.

表示函数的记号f（x）是瑞士数学家约翰·贝努利的学生欧拉（Euler，1707－1783）于1734年引进的.1748年，欧拉在《无穷分析引论》中，把变数和常量以及由它们的加、减、乘、除、开方、指数、对数等算法联系起来所构成的式子，均称为函数.

到1821年，法国数学家柯西（Cauchy·Augustin-Louis，1789-1857）在《分析教程》一书中，第一次通过自变量来引入函数的基本定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数.”

德国数学家狄利克雷（Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune，1805－1859）于1837年，黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826－1866）于1851年给出了函数的基本定义：“若对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这两个数学家都认为怎样去建立变量x与y之间的对应关系是无关紧要的，这个有关函数的基本定义曾被比较长期地使用着.

直到19世纪末，在德国数学康托尔（Cantor·Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845－1918）的集合论得以普及并被大众所接受后，现行高中数学教材中的函数基本概念，才通过集合对应关系来加以进一步定义.

1.2 中国函数概念的由来

中国函数概念，这一名字最早出现在清代数学家李善兰（1811－1882）1859年与英国学者伟烈亚力（Alexander Wylie，1815－1887）合译的《代数学》和《代微积拾级》中，把“Function”译成“函数”.

1.3 函数概念的发展

函数研究范围的不断扩展，带来了更广泛意义下的函数连续性、可微性、可积性等一些新问题.而对函数的深入发展与研究，有关函数的研究、发展、拓广等，将不断影响着数学学科以及其他相邻学科的发展与应用.

2 函数概念创设

2.1 概念判断

点评：根据函数的概念，确定对应的函数定义域、对应法则以及对应的函数值域，这往往是进行函数概念判断与应用中比较常见的基本形式.挖掘函数概念的“三要素”，就对应的定义域、对应法则以及值域等来剖析与应用.

2.2 概念辨析

点评：对于此类涉及函数的“三要素”的概念辨析问题，特别涉及存在性命题的判断时，通过举实例即可判断存在，往往从比较熟悉的基本初等函数中合理选取相应的特殊函数类型来判断其存在性问题.

2.3 概念拓广

点评：合理拓广函数的概念，结合狄利克雷函数的基本性质，抓住函数的值域、周期性以及奇偶性等方面来推理与应用，实现问题的判断与应用.这里的关键是抓住自变量为有理数与无理数这两种不同情况来分类讨论与分析.

[JP+1]依托高中数学教材中“阅读与思考”“文献阅读与数学写作”等板块，结合相应的阅读、理解、探究与应用，合理介绍相关数学历史与史话的来龙去脉，探究数学文化的内涵与实质，对于提升学生的学习内涵与深度学习等方面都是有帮助的.同时依托相关栏目的应用，给数学文化的融入与渗透提供更多的场景，对于提升数学思维品质与关键能力，养成良好的数学阅读习惯与培养数学核心素养等方面都是十分有益的.