二维切割视域下的高中数学建模设计

1 问题的提出

某顶楼住户计划购买种植箱利用楼顶种菜（图1）.楼顶平面ABCD为矩形，如图2所示，已知AB边长10 m，BC边长5.5 m.

种植箱内堆放营养土，供种植蔬菜使用.为方便播种、浇水、排水、施肥、除草、采摘等操作，每只种植箱的两长边侧至少有一侧要需预留行人通道（因承重力受限，不允许人站在种植箱上面），通道宽不低于0.3 m.

（1）请设计种植方案，使种植面积尽可能大.

（2）如果你是种植箱设计师，谈谈你的设想.

2 问题的分析

第一个问题是对种植方面进行设计，使得种植面积尽可能大.第二个问题是谈谈你设计的想法.针对这两个问题，首先通过观察可知，种植箱的高度均为0.3 m，故通过问题化简，可以将三维的种植问题转化成二维的平面分割问题.通过分析可知，AB的长度为10 m，BC的长度为5.5 m，则可以将该问题转化成在固定的面积上进行分割，问如何分割使得分割剩余面积最小的问题.因此，基于该问题，由于种植箱规模已经给定，故只需要进行排列布局即可.因此，通过分析之后，本文认为该问题是一个二维模板切割问题的变式，在这个基础上，提出了基于BL（最左最下）算法下的排列局部，并通过Matlab软件进行完整的求解.

3 模型（固定面积的切割问题）的建立与求解

3.1 模型的假设

（1）假设种植箱均为固定形状，不考虑种植箱的形状改变.

（2）假设种植箱可以随意摆放在任意的位置.

（3）假设各种种植箱数量均为无限供应，各种种植箱都能够进行摆放.

（4）假设种植箱的尺寸不会任意改变.

（5）假设是在不考虑约束条件“管线井位置及通道”情况下进行的固定面积切割.

3.2 符号说明

3.3 模型的建立与求解

（1）数据的预处理

在对数学实际问题进行分析和建模前，首先应该对数据进行预处理操作，以便于后续数学建模的准确性.对所有数据进行分析前，考虑到各种数据之间存在量纲不一致性，应该先对量纲进行归一化操作.

（2）模型的建立与求解

通过分析，可以将该问题转化成在固定的面积上进行分割，使得分割剩余面积最小的问题.由于种植箱规模已经给定，故只需要进行排列布局即可.通过分析，本文认为该问题是一个二维模板切割问题的变形，是基于BL（最左最下）算法下的排列局部，可以通过Matlab软件进行完整的求解，其核心思想如下：

第一步，将最高轮廓线设置为区域最底端.第二步，按照矩形器件的排列顺序进行读取，每进行一次矩形器件排放之后，就的最高轮廓线中选取出最低的那一段，作为基准线.若存在多段高度一致的线段，则选取最靠左的线段作为基准线.在进行判断时，会出现以下情况：①若基准线的长度大于或等于待放入的矩形器件长度，则将该器件放置于该基准线之上，同时更新最高轮廓线的水平；②若该基准线的长度小于待放入的矩形器件长度，则将最低水平线更新至与当前最低水平线相邻的最高轮廓线中高度较低的一段齐平.第三步，重复第二步，直至所有矩形器件均排列在板块上.

4 模型的检验与评价

4.1 种植面积手动布局

4.2 模型的评价

（1）模型的优点：①本文所构建的模型是基于遗传算法的最优种植面积分配模型，所得到的结果真实有效，使人信服；②本文在对模型进行求解前，进行了数据的预处理操作，使得后续的建模过程中不存在异常数据；③本文所构建的最优种植面积分配问题，不考虑各种异常状态的取值，因此真实有效.

（2）模型的缺点：本文进行了大量的模型假设，从而得到的结果可能和实际情况有一定差距.]

5 针对第（2）问的解答

正方形在摆放的过程中，由于长、宽相等，所以均可以预留通道，能最大限度地利用好通道的面积，减少浪费.80 cm，40 cm，20 cm，10 cm，长度成2倍关系，两两组合，可以灵活拼凑出所需的长度.问题中管线井左侧1 m的宽度，由于需要预留0.3m的通道，采用原有的种植箱型号的话，只能使用宽度为0.4 m的型号，有0.3 m的宽度就浪费了.在布局最优种植面积的时候大量使用了80×80型号的种植箱，能使得种植面积容易取得最优.