关于新旧教材分层随机抽样方差问题的对比研究

摘要：对比新旧教材，合理挖掘高中数学教材中的例（习）题，追根溯源，拓广探索，是新高考模式下数学教学与学习中必须高度重视的一个环节.结合高中数学教材中的例（习）题，抽象归纳总结分层随机抽样的样本平均数与方差公式，会熟练应用相应的公式加以数据计算与问题求解，探究公式的本质，归纳总结规律，有效指导数学教学与解题研究.

关键词：分层随机抽样；样本；平均数；方差；数据处理

分层随机抽样的样本平均数与方差，是高中数学新教材（2019年人教A版）的相关例题、习题中给出的具体问题应用或公式证明，这是第一次在教材中明确提及相应的公式，也是旧人教A版教材中所没有直接涉及的一个基本内容.新教材中增加了分层随机抽样的样本平均数与方差，为深入分析与研究分层随机抽样，以及抽样中的数据处理、数据分析与数学决策等提供更为简捷方便的公式应用.

1 新教材的新增内容

人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过的《数学》（必修第二册）第九章“统计”中，在“9.1随机抽样”与“9.2用样本估计总体”对分层随机抽样的样本平均数及方差作了

相关的介绍，结合例题与相关的习题加以叙述与应用.

在解决分层随机抽样下的方差及其计算问题时，可以直接回归样本方差的定义公式s2=1n∑ni=1（xi－x）2加以推理与计算，但若涉及各层中的个体数量与对应的平均数、方差等问题时，这样计算就比较繁杂，推理过程比较复杂.

1.1 层数为2层的分层随机抽样的方差公式

该公式源于人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过的《数学》（必修第二册）第九章“统计”中“9.2用样本估计总体”第212页例6的抽象归纳以及公式化处理.

1.2 层数为3层的分层随机抽样的方差公式

该公式源于同上的教材习题9.2第216页“拓广探索”栏目中的第11题的证明问题.

一般数学问题中涉及到分层随机抽样的层数为2层或3层，具体更高的层数问题，可以类比以上对应的公式加以拓展与应用.

2 新增内容的考查点

2.1 层数为2层的分层随机抽样的方差问题

例1 〔2022-2023学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷〕某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如表1：

则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为_____，方差为_______.

分析：根据题设条件，结合表格中的统计数据，先利用层数为2层的分层随机抽样的样本平均数公式来计算对应的平均数，再进一步利用分层随机抽样的样本方差公式来计算对应的方差即可.

点评：正确获取题目中图表的数据信息，是解决统计问题的基础所在.而根据分层随机抽样的层数，以及相应的分层随机抽样的样本平均数公式、样本方差公式等，对标题目所求来正确分析与巧妙计算，为数据分析与数据处理奠定基础.

2.2 层数为3层的分层随机抽样的方差问题

例2 〔2023年浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高考数学适应性试卷（6月份）〕某高中为调查学生每天学习的时间，采用样本比例分配的分层随机抽样来进行调查.若抽取高一学生的人数为400人，他们每天学习时间的平均值为8小时，方差为0.5；抽取高二学生的人数为600人，他们每天学习时间的平均值为9小时，方差为0.8；抽取高三学生的人数为1 000人，他们每天学习时间均值为10小时，方差为1.请根据以上数据信息，合理估计该校学生每天学习时间的方差为（ ）.

A.1.25 B.1.35 C.1.45 D.1.55

分析：根据题设条件，先确定抽取的总人数，并确定高一、高二、高三学生所抽取的人数的频率，进而利用层数为3层的分层随机抽样的样本平均值公式与样本方差公式分别计算求解对应的平均值与方差，进而作出正确判定.

点评：在解决一些复杂的分层随机抽样问题时，首先要正确确定分层随机抽样的层数，以及与之相关的基本概念（样本总数、各层的样本数或频率等），进而熟练利用分层随机抽样的样本平均值、样本方差公式加以推理与运算，并结合实际问题的应用场景与现实实际来合理判断与决策等.

2.3 综合场景下分层随机抽样的方差问题

例3 〔2022-2023学年山东省济宁市高一（下）质检数学试卷〕（多选题）某学校高一年级的男生有500人，女生有400人，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法来获得该校高一年级学生的身高信息.若抽取了一个容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（ ）.

A.男生样本容量为100

B.抽取的样本的均值为165.5

C.抽取的样本的均值为166

D.抽取的样本的方差为43

分析：根据题设条件，借助分层随机抽样来设置一个2层的抽样方法，根据相应的统计数据，分别结合分层随机抽样的概念来确定男生的样本容量，并利用分层随机抽样的样本平均值公式来计算对应的样本均值，在此基础上，进一步利用分层随机抽样的样本方差公式来计算对应的样本方差.

点评：该题以多选题的形式呈现，以实际应用问题为统计场景，巧妙利用分层随机抽样的场景设置以及对应的定义、公式的应用，特别是抓住分层随机抽样的样本平均值、样本方差及其对应的公式加以合理应用与巧妙运算，通过定义、公式的计算来作出正确判断，实现综合应用问题的解决.

其实，分层随机抽样的样本平均数与方差在新教材中加以具体介绍，而有关分层随机抽样的方差及其综合应用问题，是在样本平均数的基础上加以深入与分析，二者相伴同行.同时，在实际学习与解题过程中，要注意正确理解分层随机抽样的基本概念的内涵与实质，并能理解并掌握层数为2层或3层的分层随机抽样问题中的样本平均数与方差的公式，能熟练利用相应的公式加以解题与应用，并用来解决一些统计中相关的数据分析与决策判断等问题.