生态课堂视角下的对数函数与反函数教学

生态课堂是指课堂教学要做到“两尊重、两个度”.所谓两尊重就是尊重知识的发生、发展规律，按照数学知识的内在规律进行教学，要展示知识的发生、发展过程，同时尊重学生的认知规律，根据学生的实际水平选择恰当的教学内容.所谓两个度就是课堂教学要有思想（哲学或数学）高度和文化高度.

1 从“两个尊重”角度看教学内容调整

现行人教A版教材必修第一册4.4节有3段内容，分别是第1段（4.4.1）对数函数、第2段（4.4.2）对数函数图象和性质和第3段（4.4.3）不同函数增长的差异，其中第1段与第3段内容较少，对于重点中学来说作为一节课内容不是很充实，而第2段内容较多，在讲完对数函数图象与性质之后，要在一节课再讲反函数时间不允许，同时在知识上衔接不紧密.由于第1段中出现了y=ax和x=logay这一对互为反函数的具体函数，因而只要在此基础上加以抽象（落实数学抽象素养），反函数的概念就呼之欲出.

教材中第1段中的例2本质是函数增长快慢问题，与第2段内容紧密相连，因此把第1段例2放在第3段，把第2段的反函数的概念提前到第1段讲授，既符合数学知识的发生、发展规律，也符合学生的认知规律.至于第1段的例2，可能有为第3段作铺垫之意，体现“螺旋式上升”.其实，对于高中学生，尤其是重点中学的学生而言，在这些知识的理解上不存在过不去的坎，无需铺垫.

2 从“思想高度”看反函数的引入

哲学思想对数学课堂教学的指导是隐形的，既不显山露水，又无处不在.从本课的教学环节可以看出一个特点是从特殊到一般：由教材中前一节具体问题引入对数函数，一般化得到y=a^x和x=log^ay，这两个等式从方程角度看是同解，但从函数角度看对应关系是相反的；把x=log_ay中x，y对调得到对数函数y=log_ax（如图1），这二者对应关系相同，只是自变量和因变量使用的字母不同而已，如果在同一直角坐标系中分别以y轴和x轴为自变量轴画出x=log_ay和y=log_ax的图象，会发现它们关于直线y=x对称，由此可知函数y=a^x和y=log_ax的图象关于直线y=x对称（如图2）.

3 课堂教学中的亮点

作对数函数的图象一般方法是列表描点，在本课中耿老师采用“不列表描点法”和翻折法画对数函数图象.所谓“不列表描点法”还是要描点，点从哪里来？从指数函数与对数函数的互反关系中来，这一过程既找到了对数函数图象上的点，又加深了对数函数与指数函数是互为反函数的理解，一举两得.然后又指导学生把学案（学案中有y=2^x的图象，学案纸质相对透明）翻到背面，问学生怎么由y=2^x的图象得到x=log₂y的图象，就有学生发现（部分学生需要指导才能发现）从原图的背面，把y轴正向向右水平放置，x轴正向向上竖直放置就得到x=log₂y的“图象”，进而发现只要沿直线y=x折叠就可得到y=log2x的图象，从而猜想（或发现）互为反函数的图象关于直线y=x对称.

这一过程可谓绝妙！学生在这样的发现过程中不仅学到了知识、培养了能力，更体会到了“换个角度看世界”的另一番景象，这是一种无痕的育人.当然描点画图作为基本方法还是必要的，不要顾此失彼.还有在学生回答y=x²没有反函数，但是限制在单调区间就有反函数后，耿老师说“对，没有条件就创造条件”，短短一句话，浓浓育人情！

反函数这个名称是怎么来的？就是这对函数的对应关系是互反的，先通过图1给出初步印象，在图3中给出明确说明，由此可知，数学名称还是“有一定道理”的，比说这是“规定”显得有文化.

本课教学中给学生留足时间让其思考、练习、作答，并对学生的练习和作答情况及时评价，体现“教学评”一体化思想.

小结中一首小诗不仅总结了这节课的知识、技能与方法，加深了学生对所学知识的本质理解，立素养之意！更能让学生感受到语言文字的力量，理性思维与感性思维碰撞，提升数学课堂文化氛围，享数学之乐！同时，结合图象的对称性，以及原函数与反函数和谐共生、辩证依存关系，悟数学之美！

4 改进建议

在引入阶段，为了说明x=logay是函数，引导学生复习函数的“三要素”，用时有点长.因为函数y=ax是单调函数，一个y对应唯一的x，学生理解起来没有困难.

小结还可以更全面一些.一节课的小结不仅要有知识、技能，还要有育人层面，比如原函数与反函数的对应关系是互逆的，把函数y=2^x图象“翻过来”可以得到x=log₂y的图象，这是从一个问题的对立面或侧面去看问题，启发我们在日常学习中不仅要正向思考，有时要逆向思考，看看有没有新的发现，类比到生活中就是不仅要从正面看问题，有时还要从反面或不同的角度看问题，往往会另辟蹊径，别有洞天.

在学生回答问题时，如果不需要板书的话，老师可以亲切地看着学生，学生会感受到来自老师的信任和期待，会更加自信.

男老师上课要有阳刚之气，声音洪亮，耿老师还要努力！作为985院校数学专业的高材生，专业功底好，从教3年多就能上这样好的课，值得点赞，未来可期！