基于学生思维发展的初中数学实验教学策略探究

摘要：数学实验是学生学习数学的重要方式之一，对其数学思维参与下的数学理解与核心素养的发展具有重要作用。教师要通过设计数学实验，让学生参与到真实的数学问题解决过程中，发展数学思维。在“制作一个尽可能大的无盖长方体盒子”的教学中，教师需要发挥数学实验的直观演示作用，为学生提供数学思维发展的起点；引导学生动手实验，把握数学思维的概括性与间接性特点；引导学生在实验过程中解决真实问题，发挥数学思维的建构性作用。

关键词：数学实验；数学思维；核心素养

数学实验是通过动手、动脑“做数学”的一种学习活动，是学生运用相关工具，在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动。数学实验是学生学习数学的重要方式，对数学思维参与下学生的数学理解与核心素养的发展具有重要作用。究竟什么样的数学实验能够促进学生数学思维的形成与发展？笔者以北师大版初中数学教材七年级上册“综合与实践”中的“制作一个尽可能大的无盖长方体盒子”一课为例，谈谈如何借助数学实验，发展学生的数学思维。

一、设计数学实验的主题与目标

数学作为基础学科，其教育教学不仅涉及知识的传授，更应关注学生解决问题、数学思维以及核心素养的培养。《义务教育课程方案（2022年版）》中所倡导的“学中用、用中学、创中学”学习理念，也为数学实验教育价值的发挥提供了理念支撑，因为数学实验是实现这一理念的重要手段。数学实验作为一种动手实践、探究学习的活动形式，为传统数学教育提供了新的路径。

笔者充分考虑数学实验的理论价值，选择了“制作一个尽可能大的无盖长方体盒子”为主题并进行了课堂设计，本课也入选了2023年教育部“基础教育精品课”。在课堂中，笔者以“制作一个尽可能大的无盖长方体盒子”为驱动问题，以数学实验为课堂载体，让学生在“做”中思考，在“做”中发现，在“做”中感悟。学生从单一知识出发，在观察、猜测、实验、抽象、交流、推理中，将长方体的表面展开图、代数式、方程和函数等知识点综合运用到对方案设计的创新中去，在“做”中学习，落实了数学学科的综合与实践理念要求。

数学实验中的实践操作对于提升学生的数学思维品质具有促进意义，它能够将抽象的数学知识变得具体化、形象化，使学生更容易理解和掌握；也能够培养学生的观察能力、思考能力和创新能力，促进学生形成对问题的自我总结能力。数学实验的目标设计为：经过“实际问题—抽象出数学问题—建立数学模型—交流猜想并验证—得出结论”整个活动探究过程，使学生形成知识结构，习得设计探究活动的一般方法，积累数学活动经验；培养小组合作解决问题能力、合情推理能力和有条理表达能力；激发学生成功学习的自信，归纳、反思、升华、交流，获得成功的体验和克服困难的经历；增强学生应用数学的自信心，感受数学的实用性，初步养成应用数学知识解决实际问题的能力。

【学生准备】用一张正方形纸片制作一个尽可能大的无盖长方体盒子，要求剪掉的纸张不能再次使用。通过课前准备，让学生展示自己的制作方案并分享初步的研究成果。

【材料准备】边长为20 cm的正方形纸片、胶带、剪刀。

二、设计数学实验的课堂教学环节

（一）展示成果，导入新课

直观展示能够激发学生对数学的学习兴趣和探索欲望，也可以培养学生的观察能力、思考能力和创新能力。在课堂教学中，教师要引导学生利用各种直观教具和数学实验软件，将抽象的数学问题转化为具体、形象的展示，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

在这个环节中，学生可以展示课前制作的无盖长方体盒子，并分享制作经验。在学生讲解自己的制作过程时，教师根据学生的讲解给予适当评价，并通过网络画板展示无盖长方体盒子的展开与折叠动态图，让学生直观地感受图形折叠的过程。

【设计意图】教师先通过预先布置的任务激发学生对手工活动课程的兴趣。然后，通过学生之间的交流和汇报，促进他们学习并借鉴其他同学的简便方法，为下一步的小组合作节省时间。最后，通过教师分析展开的折叠动态图，引导学生直观感受制作方法，为下一环节做铺垫。

（二）动手实践，积累经验

在数学实验中，学生对观察到的数学现象，需要会用数学语言来进行描述。这就要求学生不仅要理解相关的数学概念，还要会讲出题目的解答思路、过程等，从而将数学概念与现实世界连接起来。

教师引导学生以小组为单位进行讨论，用已经准备好的边长为20 cm的正方形卡纸及剪刀、胶带等设计制作一个容积尽可能大的无盖长方体盒子。制作完成后，每个小组派出一个代表，带着作品进行装沙子比赛，比一比哪个小组装得更多。制作完成后，教师让一个学生主持这个活动，通过小组代表带着作品称量沙子质量的方式，选出冠军组，设计者分享制作经验和获奖感悟。

【设计意图】称沙子比赛为课堂增添了趣味和挑战，激发了学生的学习兴趣。部分学生在讨论容积最大的情况时发现，长方体盒子容积的大小实际情况与他们的预期不符，这一认知偏差使得其认知失衡，也激发了他们进一步学习的欲望，并促使他们在后续学习中更加认真、专注。通过讨论、探究和测量，学生由被动地接受知识转变为主动学习，同时通过小组合作学习，锻炼了他们的合作交流能力。

（三）建立模型，代数表达

数学实验的呈现为学生创造了数学表达的机会和环境，体现为教师鼓励学生大胆讲出自己对数学现象的认识及对数学实验背后蕴含的数学知识的认识与理解。由此可以得出，数学实验为建立数学模型提供了思路与方法。

教师可以引导学生在分析问题的基础上，以动手实践得到的经验去尝试建立数学模型，探究如何才能做成容积最大的盒子。学生建立的数学问题模型为：原正方形纸片的边长为20 cm，设剪掉的小正方形的边长为x cm，尝试用含x的式子表示盒子的容积（如图1）。

通过思考，学生得出了容积公式：V = （20- 2x）2·x。

最后，教师引导学生通过小组合作，自主探究x的取值范围（0 < x < 10）。

【设计意图】学生通过对正方形纸片折叠的空间想象，推导出了无盖长方体盒子的容积公式，并确定了自变量的取值范围。这一过程不仅培养了学生的符号意识，还加深了他们对于用关系式法表示变量之间关系的理解。

（四）合作探究，得出结论

数学实验具有实践操作的特征，在数学实验的实践操作中，学生需要亲自动手进行实验，观察实验现象，记录实验数据，分析实验结果。通过实际操作，学生可以亲身体验数学知识的趣味性和实用性，从而增强数学学习的积极性和主动性。

1.算一算，求出特值

如果剪去的小正方形的边长依次取1 cm至9 cm之间的整数值时，折成的无盖长方体的容积如何变化？

学生小组合作，借助计算器完成表格，并绘制统计图。教师抽选并分享学生得到的数据与制成的统计图。规范的表格（见表1）与统计图（如图2）如下。

2.议一议，初步猜想

教师提出议题：x = 3时容积最大吗？随着小正方形边长的增加，长方体的容积如何变化？在这组数据中，当小正方形的边长取什么值时，所得的无盖长方体盒子的容积最大？此时的容积是多少？要使长方体的容积变大，猜想下一步小正方形的边长应该在什么范围内？

3.寻找规律，验证猜想

教师继续追问：现在已经不能在整数范围内取值了，我们可以再取小数值做实验，取值间隔多少才合适呢？结论是什么？

分割逼近：计算当x = 2.9，3.0，3.1，3.2，3.3，3.4，3.5……时，盒子的容积大小是多少？容积变化趋势是什么？

教师引导学生按顺序取3附近的小数，先间隔0.1取值，一起通过Excel公式计算并得出结论（见下页表2）。从表格中学生可以得到结论，即x = 3.3时容积最大。这时，教师接着引导学生讨论：要使无盖长方体盒子的容积变大，下一步小正方形的边长又应该在什么范围内？学生回答后，教师继续输入要求：取3.3～3.4之间的小数，间隔0.01。师生用上面类似的方法，继续细化数据，直至探索到小正方形的边长x = 3.3333时结束。

4.图象直观，得出结论

由于容积的表达式V = （20 - 2x）2·x（0 < x < 10）是一个三次函数，而对于学生来说，三次函数已经超出了所学知识范畴。为此，学生可以通过上述数据的验证，得到函数值的变化情况。接下来，教师可以引导学生借助信息技术中的画板功能画出函数图象，并移动图象上的动点，计算其函数值，使数与形相结合（如图3），形象、直观地发现规律，并得到正确结论。

在接下来的数学实验中，学生用边长为20 cm的正方形纸片，在四个角上各剪去四个大小相等的小正方形。随着剪去小正方形的边长由1 cm逐步增加到9 cm，无盖长方体的容积先逐步增大，然后再逐步缩小，学生发现，当小正方形的边长为[103] cm时，得到的无盖长方体盒子的容积最大。

【设计意图】学生进行容积关系式中的变量代值计算，并利用填表和绘制统计图的方式分析数据，得出初步结论。这样的实践使学生更加清晰地感知变量之间的关系，并通过表格法、关系式法和图象法的综合运用，加深学生对知识之间联系的理解。学生通过讨论交流和数据分析，培养了合情推理的能力和解决问题的能力，同时了解了分割逼近的数学方法。同时，通过“猜想—验证—寻找规律—得出结论”的过程，学生熟悉了探究活动的整个流程。

三、总结数学实验的教学经验

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出，初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力。作为一节综合实践活动课，在这节课例中，通过数学实验，学生经历了一系列数学学习活动，包括观察、比较、分析、抽象、猜想、概括、推理和计算等过程。教师引导学生多方面参与，锻炼了学生的数学思维。本课立足学生数学思维发展的起点，突出数学思维的概括性、间接性与建构性特点。

（一）实物直观演示，提供数学思维发展的起点

儿童的数学思维特点是相信直观感觉，而其数学思维的发展往往由此出发。数学实验具有直观性特点，教师通过提供实物向学生进行直观演示的形式，使学生可以观察到数学规律的具体表现，这为学生理解数学知识和发展数学思维提供了较好的起点。教师还可以利用各种直观教具和数学实验软件，将抽象的数学问题转化为具体的形象展示。

本课例可以分为学生的直观演示和教师的直观演示两部分。学生展示自己制作的无盖的长方体盒子，分享制作经验并讲解制作过程。教师先根据学生的讲解给予适当评价。然后，教师通过信息技术中的画板功能展示无盖长方体盒子展开与折叠的动态图，让学生直观感受图形折叠的过程等。在这两种直观演示中，学生通过观察实验现象，可以发现问题、提出疑问，并尝试寻找解决问题的方法，实现了数学思维的全面参与，并预留了较大的思维发展空间。

（二）做数学实验，把握数学思维的概括性与间接性特征

数学思维是理性的认识活动，因其高度抽象的特点，使得数学思维较之其他思维更为间接，即数学思维具有高度的间接性与概括性特征。然而，学生数学思维的形成与发展并非是由直接获得这种间接性与概括性特征来实现的，而是需要在实践中逐步抽象和数学化的。数学实验中的数学学习旨在回归发现、论证、应用的本意，“做”是学生数学学习的支架，是让学生在“做数学”中享受完整的数学学习过程。做实验，意在引导学生手脑协同地展开实践操作，将抽象的结论寓于其中，使学生经历一个从具体到抽象的过程。

在本课的数学实验中，学生需要先亲自设计和制作一个容积尽可能大的无盖长方体盒子，通过装沙子，来发现容积和剪掉的小正方形的边长的关系，再建立数学模型来抽象出变量之间关系。然后，学生借助计算器、Excel公式和统计图，在“猜想—验证—寻找规律—得出结论”的过程中，逐步寻找最值，探索剪去的小正方形的边长和无盖长方体的容积的变化规律。这种做实验的过程对于提升学生的数学思维品质有重要的促进作用，它能够将抽象的数学知识变得具体化、形象化，使学生更容易理解和掌握；也能够让兼具概括性与间接性特征的数学思维在学生心中落地，为其创造性思维的发展奠定了基础。

（三）解决实际问题，发挥数学思维的建构性作用

数学思维是独特的、形式化的符号语言，儿童的数学思维需要通过对真实问题的发现、思考和解决得以建构。南京师范大学喻平教授曾指出，数学实验教学本质上是以数学问题为出发点，以获得数学结果为目标，充分展示探究过程的实践活动。这样的数学问题必定是具有启发性的真问题，具有撬动实验探究过程和导出数学结果的可能。因此，在数学实验中，学生的探究过程应是以真实的问题链为驱动，以实现数学思维的参与和进阶为最终目标。具体来说，在数学实验教学中，教师要引导学生解决现实情境中的真实问题，并以该问题作为数学实验的探究核心；对这一真实问题的解决，又形成一系列环环相扣的子问题，形成一条问题链；遵循着这条问题链，学生提出猜想、寻找方法、实践操作、发现规律、建立模型，最终得到结论并解决问题。

围绕“如何用一张正方形纸片制作一个尽可能大的无盖长方体盒子”这一探究核心，本实验逐步解决这样的系列问题：正方形纸片和要制作的尽可能大的无盖长方体盒子有什么关系？随着小正方形边长的增加，长方体的容积如何变化？下一步小正方形的边长应在什么范围去找？当不能取整数值时，可以再取小数值做实验，间隔多少才合适呢？从而发展学生的逻辑思维、抽象思维、形象思维等思维因素。学生逐步解决这一真问题的过程，也正是其建构数学思维的过程。

参考文献：

［1］董林伟.数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方式［J］.中国数学教育，2012（9）.

［2］张世钦.让数学实验自然融入常态教学：一则“等腰三角形的轴对称性”课例的思考［J］.福建基础教育研究，2020（2）.

［3］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学，2022.

［4］周东明.儿童的数学思维呈现怎样的严密性［J］.人民教育，2007（9）.

［5］马金凤，王学峰.21世纪大学生数学思维的建立与数学素质的培养［J］.高等理科教育，2001（1）.

（责任编辑：杨强）