“小数”概念建构的两个视角：“1”和“单位”

摘 要 概念建构是数学知识学习的重要组成部分。数学概念的抽象特征和小学生的具象认知特点是影响数学概念建构的重要因素。“小数”概念的抽象性决定了其概念建构是小学数学的教学难点。“小数”概念建构应该以十进制作为认识“小数”的基础，基于“1”和“单位”两个视角进行建构。

关键词 小学数学 小数 十进制 建构视角

“数与代数”是义务教育阶段学生数学学习的四个重要领域之一[1]16-17。基于不同的应用需求，数可分为整数、小数、分数等不同形式。在通常情况下，小数是与整数相对应的一种数的表达形式。小数最早是我国提出和使用的，公元3世纪，我国数学家刘徽提出把整数个位以下无法标出名称的部分称为“徽数”，公元13世纪，我国数学家朱世杰提出“小数”名称。在教学过程中，如何理解“小数的意义”呢？教师需要采取什么样的教学策略呢？

一、课标及教材分析

（一）课标分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出小学3 ～ 4年级要“了解十进制计数法”[1]20。“进制”是数进行划分的重要基础，而“十进制”是小数概念产生的基础。

（二）教材分析

本节课内容位于人教版《义务教育教科书·数学》（四年级·下册）“第4章 小数的意义与性质”第一课时[2]32-33。本节课教学内容是以三年级“小数的初步认识”为基础，同时为小数的性质、运算的学习等做铺垫。教材中主要是以测量1 m为例，分为能够测量1 m和不足1 m两种情况，本研究正是在此启发下，提出从“1”和“单位”两个视角促进“小数”概念本质理解。

基于课标和教材分析可以看出：（1）小数概念建构的基础：十进制；（2）小数概念建构的视角之一：1；（3）小数概念建构的视角之二：单位。

二、“小数”概念建构

（一）小数概念建构的基础：十进制

数的进制是认识数的基础。基于不同的现实需求，不同领域采取了不同的进制方式，如小时与分、分与秒之间是六十进制，年与月之间是十二进制，周与天之间是七进制等。

十进制是数的运算进制，即满十进一。例如，1 m等于10 dm，1 dm等于10 cm，1 cm等于10 mm。明确了数的运算进制，就明确了如何把最小整数“1”进行等分。

（二）基于视角“1”建构“小数”概念

“1”是最小的整数，不能再划分出整数。但是，“1”并不是最小的数，按照不同的进制，“1”仍然可以进行等分。考虑到小学生的认知发展特点，在实际教学过程中，小数概念建构应该是从具象到抽象的过程。

1.基于尺度“1”建构小数。尺度“1”是基于工具测量的单位长度，如1 m、1 dm、1 cm。首先，用格尺在纸上画出10 cm的线段，然后将线段10等分，每一份是1 cm。然后，把1 cm继续10等分。格尺上标的刻度是“厘米”，如果把1 cm线段10等分，无法用整数表示。那么，应该如何表示呢？以此引发学生的认知冲突。因此，1是问题的“节点”。如何解决这一问题呢？必须采用新的计数方式：小数。

2.基于单位“1”建构小数。单位“1”是把一个完整的物体的长或宽看作“1”。例如，把一张书桌的长度定义为“1”。把书桌的长度进行10等分，每一份怎么表示呢？1是学生认识的最小整数，因此在进行等分时也无法用整数来表示。以此拓展学生对“1”的认识。

尺度“1”和单位“1”有具体物体作为参照，学生很容易理解。如果脱离开具体物体，小数应该如何建构呢？

3.基于数字“1”建构小数。数字“1”是抽象的，但是有具象事物作为参照，也很容易理解。数字“1”作为最小的整数，如果按十进制把1分成十等份，每一份就是十分之一，把分数再转变成小数。

因此，对于“1”的不同理解，数的表示形式将发生变化。上面对“1”的理解和认识过程是按照由具象到抽象的顺序，这符合知识学习规律和学生的认知发展规律，有助于学生建构“小数”概念。

（三）基于“单位”视角建构“小数”概念

单位是数字表示方式转变的又一个重要因素。选择不同的单位决定了数字不同的表达形式，而单位的选择又需要结合实际需要。例如，测量教学楼的长度常用米作单位，测量书本的长度常用厘米作单位。以测量数学书的长度为例进行说明。

1.以毫米为单位表示测量结果。通过实际测量后，数学书的长度是258 mm。从数值可以看出，以毫米为单位表示数学书长度时，其结果是整数。

2.以厘米为单位表示测量结果。通过实际测量后，数学书的长度在25 cm与26 cm之间，无法准确表达数学书的实际长度。因此，在表示时就需要引入新的计数形式，即小数。格尺的规格能精确到毫米，毫米与厘米是十进制的关系，引入小数表达方式后，数学书的长度表示为25.8 cm。

3.以分米为单位表示测量结果。1 dm等于10 cm，因此数学书的长度将更难以表达，通过十进制关系转换后，数学书的长度表示为2.58 dm。

从上面分析可以看出，采用何种单位表示测量结果决定了数的表达形式。以毫米、厘米、分米为单位表示数学书的长度分别是整数、整数加一位小数、整数加两位小数的表达形式。如果以米为单位将出现整数加三位小数的表达形式，即0.258 m。

（四）基于“单位”认识小数的数位

数位表示数的精确程度。基于单位认识小数的数位划分，例如，以数学书长度的表示为例，用不同的单位表示数学书的长度分别为：258 mm、25.8 cm、2.58 dm、0.258 m。

1.以毫米为单位表示数学书的长度。没有对最小单位毫米进行再分，因此没有小数部分。

2.以厘米为单位表示数学书的长度。在25与26之间把1 cm均分为10份，因此出现了一位小数，称为“十分位”。

3.以分米为单位表示数学书的长度。在2 dm与3 dm之间均分为10份，每一份为0.1 dm，在2.5和2.6之间进行十等分，每一份为0.01 dm，出现了两位小数，分别称为“十分位”“百分位”。

4.同理，以米为单位表示数学书的长度，进行三次十等分，将会出现三位小数，分别称为“十分位”“百分位”“千分位”。

从上述分析可以看出，表达同一事物时，其数位与十等分的次数有关，等分的次数越多，小数的位数越多，依次分别称为“十分位”“百分位”“千分位”等。

三、教学启示

素养导向的数学课堂教学就是让学生在学习过程中体验知识的获得过程，在学习活动中建构知识、应用知识。通过创造良好的学习机会激发学生的学习欲望[3]，这是教师在进行教学设计时必须面对的课题。通过“小数”概念建构研究得到如下教学启示。

（一）理解概念建构的内在机制

内在机制是进行概念建构的核心。小数作为一种新的数值表示形式，需要以整数为基础进行建构学习，因此明确整数和小数之间的关联，即数的进制，是进行小数概念建构的核心。在进行数的运算时，整数与小数的内在关联机制是“十进制”，这是对“1”进行十等分的依据。

（二）抓住概念的关键特征

概念的关键特征是概念间最本质的区别。“小数”概念的特征在于“小数”与“整数”的区别，因此最小整数“1”是问题解决的关键。另外，用数值进行表达时，单位是影响数值表达形式的核心要素。只有抓住关键特征，才能把握知识的本质，本研究就抓住了“1”和“单位”两个关键特征进行“小数”概念建构。

（三）认识概念的基本构成

概念建构除了了解概念建构的内在机制和关键特征外，还要认识概念的基本构成。与整数一样，小数部分的位数也可以无限地排列下去。每一位小数是如何得来的呢？文中从“单位”视角进行了分析，通过十等分的形式建构出了小数的数位概念。

在数学教学过程中，由于数学概念的特点，概念建构需要综合考虑概念特征和学生认知等多方面因素，因此教师对概念建构策略的选择至关重要。学习路径是丰富多元的，需要教师在教学实践过程中积极开拓教学资源，采取适切的教学策略，让概念建构学习在课堂教学过程中真正发生。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]小学数学教材编委会.义务教育教科书·数学（四年级·下册）[M].北京：人民教育出版社，2022.

[3]赵映松.小学数学课堂教学创新学习实践探索：以“平行四边形面积的计算”教学为例[J].中小学教学研究，2023，24（2）：19-23.

（责任编辑：姜显光）