齐次化方法在圆锥曲线中的应用举例

摘要：对于圆锥曲线中一类斜率之和（或积）及直线过定点、定值问题，本文中从齐次化的角度出发，给出另一种联立方式，再根据题型特点以实例说明齐次化方法在圆锥曲线中的灵活应用.

关键词：圆锥曲线；齐次化；斜率之和；斜率之积；定点；定值

圆锥曲线中的定点、定值问题是高中平面解析几何的重点和难点，也是高考考查的热点.涉及平面内一点与圆锥曲线上两动点连线的斜率之和（或积）的问题，用常规方法计算量大且复杂繁琐，很多学生算到中途便无法进行下去.笔者通过示例构建齐次化方法的模型，简化解题步骤，节省解题时间，为解决直线与圆锥曲线关系问题提供新的视角与思路.

1 圆锥曲线上一点与该曲线上两点连线的斜率之和（或积）

评注：齐次化实际上是联立圆锥曲线新方程与直线新方程，以关于x，y的二次形式呈现，其作用是获得直线OM′，ON′斜率之和（或积）与直线M′N′方程系数的关系，平移回去后，得到直线AM，AN斜率之和（或积）与直线MN方程系数的关系.

2 非圆锥曲线上的点（异于坐标原点）与该圆锥曲线上两点连线的斜率之和（或积）

3 两斜率之和与积的巧妙联用

评注：从本题的求解过程可以看到问题的转化途径.要求△APQ的面积，需求出直线PQ的方程，即P′Q′的方程，从而转化为求该方程的系数m，n.而韦达定理建立了两斜率之和与积关于m，n的两个方程，这是求解问题的关键所在，充分体现了齐次化方法的强大作用.

4 涉及两直线斜率之差

5 含多参的定值或定点问题

评注：对于含有多个参变量的定值或定点问题，常见思路是逐个消参，最后获得定值或定点．必要时可采取“以退为进”的策略，即引入新的参变量，建立新参变量与原有参变量的等量关系，最后消掉新旧参变量．