—道直线与圆综合试题的探究

直线与圆是初中平面几何中的两类基本平面图形，又是高中平面解析几何中的两类最简单的基本图形.特别是涉及直线与圆的位置关系问题，巧妙链接起初中与高中阶段的相关数学知识，同时涵盖了数形结合、函数与方程等数学思想方法，涉及直观想象、逻辑推理以及数学运算等核心素养，成为每年高考数学试卷中命题的基本点之一，备受各方关注.

特别在解决直线与圆的位置关系的综合问题时，可以从自身的代数属性或内涵的几何特征等不同思维视角切入，很好发散数学思维与拓展技巧策略，又巧妙吻合高考“在知识交汇点处”命题的基本指导精神，创新新颖，常考常新.

1 问题呈现

此题借助含参直线方程与已知圆的方程的创设，利用两线段之间的长度关系设置场景，进而确定对应的参数值问题.问题比较熟悉，难度也比较适中，充分考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识与基本能力.

在实际解答时，可以从不同思维视角切入，通过不同的技巧方法与思维策略来突破与分析实现问题的分析与处理.

2 问题破解

反思：在解决直线与圆的位置关系问题中，方程思维是解决问题时比较常用的一种技巧方法.借助点或直线的设置，与圆的方程联立，转化为对应的二次方程，结合韦达定理的应用，建立与交点坐标相关的关系式，为问题的突破与求解提供条件.利用方程法解题时，往往要注意方程有解的隐含条件.

反思：在解决平面解析几何中涉及线段的比例关系（或等分点等）问题中，向量法思维可以有效建立相应的关系式，为问题的突破与求解奠定基础.特别解决涉及线段的中点问题时，经常利用平面向量的中线定理来建立向量的线性关系式，给问题的解决拓展思维，成为向量法解决平面解析几何问题中的常态.

反思：抓住直线与圆的位置关系，结合圆的对称性，从逆向思维切入，并结合单选题的特征，实现问题的巧妙突破，解答起来更加简单快捷，甚至达到“秒杀”的效果.对称性法只是解决此类平面解析几何问题中直观想象与数形结合的一个基本思维，在实际应用中要合理构建.该对称性法只针对一些特殊场景下的问题应用，不具有推广性与普遍性.

总结：在以上解法中，解法1与解法2是借助平面解析几何思维来分析与处理，解法3是借助平面向量思维来分析与处理，解法4是借助平面几何思维来分析与处理，这几种方法都是解决平面解析几何问题中比较常见的“通性通法”；而解法5是借助特殊设置场景下的一种“巧技妙法”，具有一定的直观形象思维与数形结合思想.不同的技巧方法展示不同的数学思维与应用技巧，开拓一个更加发散的思维空间与应用场景.

3 变式拓展

4 教学启示

4.1 合理交汇，巧妙应用

基于直线与圆的位置关系，实现“数”与“形”的巧妙融合，可以从“数”的视角切入，合理进行数学运算；也可以从“形”的视角切入，巧妙进行数形结合.

同时，直线与圆的位置关系问题合理渗透直线与圆二者之间的“动”与“静”的和谐统一，巧妙实现数学基础知识、数学基本能力等方面的综合与应用，有效巩固“四基”，强化“四能”，使得学生的解题思维更加开阔，解题思路更加活跃，数学知识的掌握更加熟练，问题的破解更加快速有效.

4.2 变式拓展，“一题多变”

借助一些典型的数学试题的应用，合理挖掘问题的本质属性，整合数学基础知识，开拓数学基本思维，并借助“一题多解”“一题多思”“一题多变”“多题一解”等方式的深入探究与创新应用，达到“一题多得”.

基于典型数学试题的应用，深入挖掘内涵与实质，巧妙分析与解决，从而有效培养学生的发散思维能力与数学解题能力，有助于激发学生的学习积极性、主动性和趣味性等，全面提高学生的数学知识水平和数学思维能力，同时养成良好的数学品质与数学习惯，培养数学核心素养.