数学解题思想面面观

数学题目浩如烟海，成千上万，虽然没有一种万能的解题方法，但解题还是有一定的规律可循，这一规律就是转化与化归.

数学家特有的思维方式是转化与化归.遇到问题，“他们（数学家）往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将其变形，直至把它转化为已经解决的问题.”这是匈牙利著名数学家路莎·彼得对转化与化归作出的精辟论断.

数学解题思想是解题者在解题活动开始时应该持有的思想，是对解题依据、解题策略、解题方法、解题途径等解题规律的本质认识.数学思想是对数学知识的本质认识，揭示了数学知识的本质属性和内在联系，是数学知识内容的精髓和灵魂.转化与化归不是对某一具体数学知识的本质认识，而是对数学解题规律的本质认识.从数学方法论的角度来看，转化与化归是最高层次的解题方法.转化与化归与其他数学思想相比，抽象度更高，概括性更强，适应面最广，几乎适用于所有的数学题目，贯穿数学解题过程与数学研究的始终，是数学解题最根本、最重要、最普遍的指导思想，是数学解题的根本规律，任何数学问题的解决都离不开转化与化归.所以，转化与化归思想就是数学解题思想.

所谓转化与化归思想，是以数学知识为依据，在转化思想与其他数学思想方法的共同指导下，用转化的观点观察、思考、分析问题，采用合适的转化策略与转化方法，最终将要解决的问题化归为一个已经解过的问题或会解的问题的思维倾向.从这个意义上来说，求解数学问题的过程就是从未知向已知、从复杂向简单不断实施转化的过程.

1 建立数学解题思想体系的意义

建立数学解题思想体系，可以使我们更好地理解数学知识之间的关系，准确把握数学解题规律；还能使我们在解题时能够确定正确的解题方向，迅速找到合理的解题思路.建立数学解题思想体系，对我们提升教学水平，提高学生的解题素养，具有十分重要的现实意义：一是完善知识结构、优化思维品质的妙策良方；二是提高解题能力、增强数学素养的根本途径；三是激发学习兴趣、树立学习信心的有效手段；四是克服题海战术、走向高效教学的快捷之路.

2 数学解题思想的主要内容

2.1 转化的性质

（1）普适性.几乎所有的数学题目都需要实施转化，才能实现解题目标.（2）多样性.同一题目可以有多种不同的转化途径.（3）层次性：同一题目，有的解法实施一次转化即可实现解题目标，有的解法则需要多次转化才能实现解题目标.（4）统一性.同一题目，采用不同的转化途径所得的结果是统一的.

2.2 转化的分类

转化可以分为学科内转化和学科间转化，也可以分为等价转化和非等价转化.比如：将代数问题转化为更简单的代数问题是学科内转化，而将代数问题转化为几何问题则是学科间转化.解题时首先考虑学科内转化，学科内转化无法实施时，再考虑实施学科间转化.

2.3 转化的本质

通过转化，虽然问题的形式发生了变化，但我们需要的东西并没有改变，这就是转化的本质（规律）——形变而质不变.

2.4 转化的根源

事物之间的普遍联系和矛盾的相互转化为转化提供了哲学基础.数学知识内部的逻辑联系，包括数学知识之间的纵横联系、条件与结论之间的必然联系、数学方法之间的有机联系，为实施转化提供了可能性.化归的实质就是以运动、变化和发展的观点，[JP2]以及事物之间相互联系、相互制约的观点来看待问题，善于对所要解决的问题进行转换，使问题最终得以解决.

2.5 转化的依据

数学中的公理、原理、定义、定理、公式、法则、正确命题、数学方法、解题策略、数学思想等都是转化的依据.

2.6 转化的指导思想

转化与化归思想是一切数学思想方法的灵魂、精髓、核心、统领，与其他数学思想一并构成数学解题的指导思想，共同决定数学解题的原则、方向、策略、方法等，是数学解题最根本的指导思想，是数学解题的根本遵循.

2.7 转化的原则

（1）熟悉化原则.当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它转化为已经解过的比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、方法、经验或解题模式，顺利地解出原题.（2）简单化原则.当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把它转化为一道或几道比较简单易于求解的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，顺利地解出原题.（3）直观化原则.当我们面临的是一道条件抽象、难以捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、生动、具体、直观的题目，以便凭借事物的形象，把握题中所涉及的各个对象之间的关系，找到解题思路，顺利地解出原题.（4）规范化原则.当我们面临的是一道不规范的题目时，要设法把它转化成规范的、有固定解决程式的题目，以便通过对规范题目的解答，顺利地解出原题.（5）数学化原则.当我们面临的是一道应用题时，要设法把它转化为一道数学题，再通过求解数学题，进而得到应用题的解.

2.8 转化的方向

方向是解题之本，方向就是思路.解题的首要问题是确定正确的转化方向，即把问题转化为一个更加简单的问题.确定正确的转化方向至关重要，因为只有确定了正确的转化方向，我们才能找到合适的解题方法和途径.

（1）转化的大致方向

转化的原则就是转化的大方向，即陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、抽象问题直观化、不规范问题规范化、应用问题数学化.解题时，还要具体问题具体分析，不同类型的问题要选择不同的转化方向.

（2）转化的具体方向

①多元问题少元化；②高次问题低次化；③超越问题代数化；④无理问题有理化；⑤分式问题整式化；⑥复数问题实数化；⑦空间（曲面）问题平面化；⑧几何问题代数化；⑨代数问题几何化；⑩动态问题静态化；⑪静态问题动态化；⑫特殊问题一般化；⑬一般问题特殊化；⑭相等问题不等化；⑮不等问题相等化；⑯直接问题间接化；⑰正难问题反面化；

⑱无限问题有限化；⑲复杂图形割补化；⑳复杂函数基本初等化；（21）复杂数列等差等比化；（22）未知数问题方程（不等式）化；（23）含参问题分类讨论化；（24）范围问题不等式（或函数）化；（25）方程（或不等式）问题函数化；（26）函数问题方程（不等式）化；（27）主元辅元互换化；（28）同构问题构造化；（29）随机问题确定化；（30）应用问题数学化.

2.9 转化的策略

转化的谋略、手段叫做转化策略.中学数学中常用的策略如下：（1）模式识别策略；（2）见微知著策略；（3）顺推逆推策略；（4）辅助元素策略；（5）语言转换策略；（6）分而治之策略；（7）正难则反策略；（8）特殊一般策略；（9）合情推理策略；（10）整体考虑策略；（11）回归定义策略；（12）差异分析策略；（13）假设结论成立策略；（14）动静转换策略；（15）紧盯目标策略.

2.10 转化的方法

转化的方法有三类：

（1）逻辑方法：分析法、综合法、归纳法、演绎法、类比法、反证法、同一法.

（2）数学方法：配方法、换元法、判别式法、待定系数法、参数法、递推法、解析法、三角法、复数法、定义法、分类讨论法、数学归纳法.

（3）技巧方法：比较法、放缩法、叠加法、叠乘法、割补法、等积法、错位相减法、倒序相加法、分离参数法等.

2.11 转化的步骤

（1）确定题目的学科类型；（2）确定转化的指导思想；（3）把握正确的转化方向；（4）选择适当的转化策略；（5）采用合适的转化方法；（6）实施转化的具体步骤.

2.12 转化的途径

美籍匈牙利著名数学家波利亚说过：“解题过程就是不断变更题目的过程.”“我们必须一再地变换它，重新叙述它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.”为了实施有效的化归，可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，还可以变更问题的内部结构，又可以变更问题的外部形式，既可以从数的角度去认识问题，又可以从形的角度去看待问题.通过不断的转化，将一个非基本的问题通过分解题目、变量替换、语言转换、等价变形、化繁为简、引参设变、平移对称、旋转伸缩等变形手段，最终将它化归为一个比较熟悉的基本问题，从而使问题获解.

3 掌握转化与化归思想的主要措施

一是要明确数学解题的基本规律——转化与化归；二是要讲清楚公理、原理、定义、定理、推论、公式、法则的转化功能和转化（逻辑）关系；三是在例题、习题教学时要讲清楚简单习题与复杂习题之间的转化关系；四是要逐步积累、熟练掌握一定数量的基本问题和典型例题，作为解决复杂问题的母题，以不变应对万变，这一点特别重要；五是要弄清楚中学数学中十几条重要的转化线，明确转化的大方向；六是要提炼、领悟、理解、掌握重要的数学思想方法，运用数学思想方法指导解题实践活动；七是要熟练掌握常见的十几种转化策略，这是当前教学中普遍被忽视的突出问题；八是要通过一题多法和多题一法熟练掌握数学解题思想、数学思想、数学方法、解题策略，把握数学解题规律，以起到举一反三、触类旁通的效果；九是把理解掌握转化与化归思想作为数学教学的基本任务之一；十是教师要精心研究教材，精心选择例题、习题，坚决克服题海战术，减轻学生的课业负担，走高效教学之路.