构造全等三角形解答平面几何问题的方法

【摘要】全等三角形问题是中考题中比较灵活多变的一类问题，仔细分析，可发现其背后的解题本质都是一样的.新的题型中往往蕴含着一些常见的全等三角形模型.因此，掌握一些基本的模型是极其重要的.本文依据几道例题谈构造全等三角形的几种技巧，以供读者参考.

【关键词】初中数学；全等三角形；解题技巧

1 倍长中线法

倍长中线法是构造全等三角形的常用方法，可以得到对顶角相等和要证明全等的两个三角形的对应边长相等，再结合题目的已知条件，就可以证明三角形全等，继而利用全等三角形的性质来解答问题.

例1 如图1所示，CE，CB分别是△ABC和△ADC的中线，且满足∠ACB=∠ABC，试证明：CD=2CE.

证明 过点B作BF∥AC，与CE的延长线交于点F.

因为点E是AB的中点，

所以AE=EB.

因为BF∥AC，

则∠CAE=∠FBE.

因为对顶角相等，

所以∠AEC=∠BEF，

则可得△ACE≌△BFE，因为全等三角形对应边相等，

则CE=EF，AC=BF，

即CF=2CE.

因为∠ACB=∠ABC，在三角形中等角对等边，

则AC=AB.

结合点B是AD的中点可得AC=AB=BD=BF，

利用三角形外角的性质可得∠CBF=∠CBD，

则△CBF≌△CBD.

因为全等三角形对应边相等，

则CD=CF，CF=2CE，

则CD=2CE.

2 旋转法

运用一些中心对称图形的性质，把图形旋转一定角度可以构造出全等三角形.旋转的作用是将题目中原本分散的条件集中起来，这样就可以在题目条件和证明结论之间建立起联系，便于利用全等三角形.

例2 平面中有一正方形ABCD，其中∠FAE=45°，试证明EF=DF+BE.

证明 如图2所示，将△ADF绕点A旋转90°到△ABG的位置，

则GB=FD，AF=AG.

因为四边形ABCD是正方形，

则∠ABG=∠D=90°，AB=AD.

因为△ADF≌△ABG，

所以AG=AF，∠GAB=∠FAD.

又因为∠BAD=90°，∠FAE=45°，

则∠BAE+∠DAF=45°.

所以∠GAB+∠BAE=45°，

即∠GAE=45°，

所以∠GAE=∠FAE.

又因为AE=AE，

所以△AEG≌△AEF.

所以EF=EG=BE+GB=DF+BE.

3 对称法

三角形问题中经常会利用角平分线作为对称轴，沿着角平分线翻折，即可得到全等三角形.在翻折的过程中，为了便于作出翻折之后的图象，可以利用角度或者边长来作为翻折后图象的基准量.

例3 在平面中有一△BCG，其中BM为∠CBG的角平分线，点D，S分别是边BC，BG上的一点，∠DMS+∠CBG=180°，试证明：MD=MS.

证明 在线段BC上截取BH=BS，连接HM.得到如图3所示的图象.

因为BM为∠CBG的角平分线，

则∠HBM=∠SBM.

所以相当于将△BSM沿着BM对称得到了△BHM.

则△BMS≌△BMH，

所以MS=MH，∠BHM=∠BSM.

因为∠DMS+∠CBG=180°，

所以在四边形BDMS中，

∠BDM+∠BSM=180°.

因为∠BHM+∠DHM=180°，

则可得MD=HM，从而证明MD=MS.

4 平移法

利用平行线来平移一些线段或者是角，可以和旋转法一样使条件相对集中，从而构造出全等三角形.在构造平行线时，要抓住题目中的关键几何量，如果有中线、角平分线等重要的几何线，可以尝试作它们的平行线.

例4 如图4所示，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE=BD，连接DE，CE，试证明：DE=CE.

证明 过点D作DF∥AC交AE于点F，

则∠BFD=∠BAC.

因为△ABC为等边三角形，

所以AB=AC，∠BAC=∠B=60°.

则∠BFD=60°，△BFD为等边三角形，

所以BF=BD=DF.

因为AE=BD，

所以AE=DF，AE=BF.

则EF=AB，AC=EF.

因为∠EFD=∠CAE，

所以△EAC≌△DFE，

则DE=CE.

5 结语

在解题时，构造全等三角形并不是毫无方向的，而是要以题目所求结论为目标，尝试对三角形进行操作，从而实现条件的位置转移.掌握以上四种方法有助于更快地找到解题思路，提高解题效率.