从“长×宽×高”走向“底面积×高”

［摘 要］在教授“长方体与正方体”单元时，大部分学生对公式“长方体体积=长×宽×高”非常熟悉，但对公式“体积=底面积×高”的理解和应用不够灵活。文章通过对教材内容的重新编排，适当增加关于“体积=底面积×高”的变式练习，让学生从本质上理解体积公式，熟练并能灵活应用“底面积×高”解决相关问题。

［关键词］体积；柱体；底面积；高

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）20-0043-03

长方体和正方体是最基本的立体图形，掌握好长方体和正方体的体积计算，有助于学生形成体积的概念，从而掌握体积的计量单位并能灵活计算各种几何形体的体积。

一、发现问题

在教学“长方体与正方体”单元前，笔者给六年级40名学生做了前测。

前测题1：如图1所示的四个物体中，不能通过“底面积×高”求体积的是（ ）。

前测题2：计算如图2所示物体的体积，方法正确的是（ ）。

A.5×10×3

B.5×10×4

C.（3+5）×3÷2×3

D.（3+5）×3÷2×10

根据前测结果，笔者随机访谈了几名学生，访谈结果见表1。

通过分析表1，可以得出学生出错的根本原因。第一，缺乏理解。学生对“长×宽×高”熟记于心，而对“底面积×高”比较陌生。因此在做前测题1时，认为如B选项这样少一块的，或者如D选项这样有上下两个大小不一的图形叠加的情况，都不能用“底面积×高”进行解答。说明学生不理解“体积=底面积×高”的本质含义。第二，思维定式。大部分学生认为“底面积×高”中的底面积就是指下底面的面积，并且这个底面只能是长方形或正方形。当遇到以侧面为底面积的柱体时就无从下手了。说明学生对体积公式的理解依然停留在记忆层面，在思维上有局限性。

二、分析现状

（一）教材编排

人教版教材中有关“图形与几何”领域的内容主要有：二年级上册主要学习与线相关的知识；三年级下册主要学习与面相关的知识；五年级下册和六年级下册主要学习与体相关的知识。可以看出，教材是按几何元素的线、面、体有序展开教学的。掌握长方体和正方体体积的计算方式是学生形成体积概念，以及掌握体积的计量单位和计算各种几何图形体积的基础，但教材中没有很明确地提出“什么是正六（三）棱柱”。因此，教师在六年级教学中细化和深化“底面积×高”的应用范围就显得尤为重要。在内容设计上，教师应该增加一些应用变式，帮助学生明确任何柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算。

（二）教师教学

1.照搬教材。在教学长方体体积的计算时，教师以“体积=长×宽×高”的公式作为教学重点，而对“体积=底面积×高”则是以等量代换的形式来推理的。这样就导致学生不懂如何运用“底面积×高”来求棱柱的体积。

2.欠缺知识之间的联结教学。在教学时，教师没有将“体积=底面积×高”和“体积=长×宽×高”进行联结，导致学生不理解“底面积×高”的含义，也就不会运用这一公式。

3.缺乏变式练习。教师对变式练习的设计不够全面，除了直接用“底面积×高”来计算的题型，学生接触最多的就是“横截面积”的计算，缺乏更深层次的变式练习。

三、教学策略

基于以上的思考和分析，以及为了让学生进一步理解“体积=底面积×高”的含义，笔者重新设计了本课时内容的教学。

（一）第一课时：借助活动，概括体积公式

本课是让学生用小正方体拼摆出不同的长方体，通过观察、分析和归纳，发现长方体的体积与长、宽、高之间的内在联系，从而总结出长方体体积的计算公式。

【教学片段】

1.操作探究，验证猜想

当学生猜测“长方体的体积=长×宽×高”时，教师引导学生利用摆一摆、数一数、算一算等方法验证猜想。

教师出示活动要求：

①四人小组合作，用若干个1 cm³ 的小正方体分别摆出3个不同的长方体。（小正方体可重复使用）

②数一数每次摆出的长方体所用小正方体的个数，将数据填在记录表中。

③观察摆出的长方体的长、宽、高，运用刚才提出的猜想，算一算长方体的体积，将计算结果填在记录表中。

④操作完成后，观察记录表中的数据，在小组内交流自己的发现。

2.交流汇报，概括公式

①学生分享操作活动中的发现：长方体的体积确实等于长、宽、高的乘积。

②教师引导学生总结：长方体的体积公式为[V=abh]，正方体的体积公式为 [V=a³]。

本课的教学定位并不仅仅是让学生记住公式并运用公式计算体积，而是让学生动手操作，摆一摆、数一数、算一算、验证猜想、揭示规律。这一活动真正将学生对长方体体积公式的理解引向深入。

（二）第二课时：借助沟通，统一体积公式

本课主要是利用直观图示和体积的计算公式，引导学生将长方体和正方体的体积公式统一成“底面积×高”，帮助学生理解长方体和正方体体积公式之间的内在联系，并能根据这一公式迁移到一般柱体体积的计算中，为后续学习圆柱的体积计算做好铺垫。

【教学片段】

1.第一次沟通

（1）感受“面动成体”的过程

师：这是一张白纸，通过不断叠加同样的白纸使其高度为2 cm（如图3），请你们利用体积公式计算出它的体积。

生1：用30×20×2就可以计算出它的体积，结果是1200 cm3。

（2）沟通体积计算公式的关系

师：谁来说说生1算式中每一步的含义？

生2：我发现30×20其实就是一张白纸的面积，那么30×20×2就可以理解为“一张白纸的面积×2”。

师：我们把“一张白纸的面积”称为底面积，“2”称为高，那么图3的长方体的体积=底面积×高，可以写成[V=S底h]。

通过以上教学，学生明白了[S底]就是底面积，只要[S底]乘上与它垂直的棱的长度，就可以计算出体积。

2.第二次沟通

（1）自主尝试，初探规律

师：这是一张直角三角形白纸，想象一下用同样的白纸通过不断叠加，使其高度为2 cm，得到什么图形？

师（课件动态出示图4）：请计算图4的体积。

生3：可以先用2×6÷2=6（cm²）求出直角三角形的面积，再用6×2=12（cm³）求出图4的体积。

（2）沟通验证，统一结果

师：想象一下，如果底面变成梯形，将这个底面向上平移5 cm后，所经过的区域将会形成怎样的形状？

师（课件出示图5）：请大家先给这个图形命名，然后计算出它的体积。

生4：经过多次计算和验证，我发现直直的柱体都可以用“底面积×高”来计算体积，都可以看成是由底面叠放而成的。

本课，笔者由长方体引申到其他直柱体，让学生通过“自主计算→比较沟通→公式推导→得出通式”四个步骤深刻理解“体积=底面积×高”的本质，实现了从长方体到一般柱体的贯通，有效迁移学习和建构知识，拓宽了思维的深度和广度。

（三）第三课时：借助应用，升华体积公式

学生对“底面积×高”的理解可能会拘泥于“下底面的面积×高”。在教学中，为了打破学生的思维定式，笔者设计了一些变式练习，并结合练习帮助学生理解“只要某一个面的面积与这个面垂直的棱的长度相乘”的本质。

【教学片段】

1.巩固练习，能力提升

师（出示前测题2）：这道题大家之前做过，现在谁能分析一下为什么选D吗？

生5：可以先把这个直角梯形当成底面，使图形变成柱体，就可以利用“底面积×高”来计算体积。因为底面是梯形，即底面积为（3+5）×3÷2，垂直底面的高为10，所以选D。

师：生5证明了“底面积×高”不只是“下底面的面积×高”，而是某一个面的面积与这个面垂直的棱的长度相乘。

2.重点练习，拓展升华

师：请用不同的方法计算出一个底面是正五边形的直五棱柱（出示图6-1）的体积。

生6：先把它分解成如图6-2所示的两部分，再利用“底面积×高”计算出每一部分的柱体体积，最后相加求总体积。

生7：先把它分解成如图6-3所示的三部分，再利用“底面积×高”计算出每一部分的柱体体积，最后相加求总体积。

3.生活应用，渗透模型思想

师：要砌一个长200 cm、宽140 cm、高 50 cm的长方形花坛，且在花坛内挖一个底面是正方形（边长80 cm）的长方体坑用于种树。请问砌这样一个花坛需要多少石料？

生8：可以将花坛看成底面是长方形（200×140）减去正方形（80×80）所形成的平面图形（如图7），将这个平面图形乘以高（50），就得到这个花坛需要用到石料的体积。

本课主要针对前面所学知识的应用，通过知识的类比巩固直柱体的体积计算方法，使学生自觉运用模型，举一反三、触类旁通，并能运用柱体体积公式解决实际问题，实现数学学习的应用价值，感受运用模型思想解题的优越性与便捷性。

课后，笔者对部分学生进行了后测，从检测结果（略）可以看出：第一，通过类比、转化，学生能自主写出圆柱的体积为[V=πr²·h]；第二，学生能通过“底面积×高”计算出稍复杂的图形体积。

综上所述，将长方体和正方体的体积统一成“底面积×高”，更能促进学生对体积公式本质的理解。这不仅有利于加深学生对长方体和正方体的认识，还能引导学生计算出底面是三角形、平行四边形、梯形及组合图形等其他柱体的体积，为后续圆柱和圆锥的体积学习打下坚实的基础。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 周虹.多维沟通：让模型思想培养落地生根：以“体积计算练习课”为例[J].小学教学参考，2020（5）：32-33.

[3] 李重莹，欧阳帆，向型常.“‘长方体和正方体’整理与复习”教学实践与思考[J].小学数学教育，2020（5）：34-35，58.

[4] 张所滨.“纸”中的学问：兼谈“圆柱的体积公式推导”结构化学习教学设计[J].小学数学教师，2021（11）：27-29.

（责编 李琪琦）