基于数感培养的自然数概念教学素材思考与实践

［摘 要］自然数概念素材的选择与应用对数感的培养与发展具有重要影响。以“千以内数的认识”教学为例，先对比分析不同版本教材中的相关内容，厘清素材的不同类别，然后分解自然数概念和数感内涵，确定每个数感内涵的层级目标，最后挑选出与之对应的教学素材，设计不同层级的学习任务以培养学生数感。

［关键词］教学素材；数感；自然数；概念

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）20-0032-04

素材是激发学生建构数学思维、发展数学能力的关键元素，探索学生核心素养的提升路径离不开对数学素材的结构化整合与运用。整理和开发数学素材不仅能为新的教学设计提供灵感，还能激发教师在实践过程中对数学素材的深入反思，帮助教师理解学生运用素材进行数学学习的过程，从而更加规范地选择和使用相应的数学素材。在培养学生数感的层次性和深刻性方面，选择合适的素材至关重要。同时，如何运用与数学内容相关的素材以实现每个层次的教学目标，也是教学设计中的关键问题。下面以“千以内数的认识”为例，阐述如何通过不同素材逐步培养学生的数感。

一、依据课标要求，对比分析教材，厘清素材类别

教学素材是教学内容的各种形式的载体，可以是来自现实生活、已学的数学知识，也可以是其他学科的知识。

“千以内数的认识”是二年级下册的内容，为进一步厘清其素材类别，笔者统计了各版本教材在数的认识中使用的素材，并进行归纳整理。

第一类，实物素材：取材于生活真实情景，与数一一对应。

第二类，图像素材：包括点子图、手指图、珠子、单根小棒、方块等，与数一一对应，剥离了实物的外形特征，抽象出了事物表个数的表象。

第三类，结构化素材：包括计数器、算盘、成捆的小棒等，以一代多，不同形式或位置的素材对应不同计数单位。

第四类，顺序化素材：包括数轴、直尺等，突出数的排列顺序。

第五类，拓展性素材：包括人民币、青豆、时钟等，从货币、质量、时间等层面感知不同的计数单位。

第六类，发展性素材：包括算筹、结绳计数法、玛雅数字等，展现不同计数法和不同进制。

另外，笔者对各版本教材如何使用素材进行对比发现：

第一，十进制计数法是自然数概念的核心。为使学生感悟位值制，各版本教材对于10，100，1000，10000等数选取了可以“以一代十”“以一代百”的模型，强调个、十、百等计数单位的区别。到了千以内、万以内、万以上数的认识，部分教材舍去了实物、图像素材，只利用结构化素材构建对数的认知。

第二，各版本教材均借助直尺模型或数轴雏形来让学生体验数的顺序。

第三，各版本教材的练习或课后实践作业中均涉及拓展性素材，如人民币、青豆、方格图等模型，帮助学生从更多层面感知数的意义。

第四，各版本教材在课堂导入或练习、课外拓展等环节中均涉及对实物数量的估测。

第五，对于一千的认识，人教版、苏教版、冀教版、浙教版教材都侧重从结构化素材上塑造一千，重视“10个一百是一千”的教学，强调十进制概念。北师大版、青教版、北教版教材先编排了利用方块或计数器展示九百九十九添1是一千的过程，再进行“10个一百是一千”的教学。

二、分解概念内涵，细化层级目标，找准对应素材

“数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。”同时，自然数概念的内涵是丰富的。弗赖登塔尔提出，数的概念的形成可以粗略地分成以下几种：计数的数、数量的数、度量的数以及计算的数。教师可以结合教学素材，帮助学生更好地理解数的意义，培养他们的数感。

第一，针对学生对20以内数的熟悉程度，可以在百以内、千以内、万以内数的认识中，引入实物素材或图像素材，以丰富学生对大数的感知，帮助学生建立不同量级的数的表象。比如，可以通过实物或图像展示百、千、万的规模，给学生留下直观的印象。

第二，利用数轴与图像素材或结构化素材，帮助学生建立数的序数意义。例如，可以通过数轴展示十进制的概念，使学生更好地理解相邻计数单位之间的关系。

第三，在教授新课时，可以适当加入拓展性素材，进一步丰富学生的数感。例如，可以通过一些实际生活中的例子，让学生更好地理解数的意义和应用。

第四，估数是学生感知数量变化的重要方式，可以通过结构化整理和估数任务的设计，帮助学生更好地感知从一到十、从十到百、从百到一千的累积变化过程，培养他们的数感。

第五，“千”的概念构建需要实物或图像素材的支撑，可以先通过“九百九十九添1是一千”的教学，使学生形成对千的具体表象，再通过结构化素材进行“10个一百是一千”的教学，帮助学生构建计数单位千的模型，更好地理解十进制中相邻计数单位的关系。

基于这些思考，笔者将数感内涵对应每个层级自然数概念的目标及使用素材归纳如下（见表1）。

因为前两个数感内涵有相互交叉的内容，所以可以将其内容融合到1个课时，后两个数感内涵的相关内容可作为新课或课外拓展课，各安排1个课时。下面重点讨论第1课时。

三、把握学生认知起点，挑选对应教学素材，设计不同层级学习任务

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材；注重情境的多样化，让学生感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学的价值。在学习千以内数的认识之前，学生已经学习了一位数、两位数和100。学生对三位数已经有了哪些认识？能用什么素材表示三位数？学生对千有什么认识？为此，笔者对某个班的48名学生进行了学前调研。

调查结果显示，部分学生能将学习100以内的数的知识经验迁移至三位数的学习，但仅能感知到三位数代表几个计数单位的集合，且对其具体数量的感知较为片面，也难以联想到数的其他意义。因此，在数的概念教学中，借助不同素材对数的意义进行建构显得尤为重要。基于学生的认知水平、学习目标的具体要求以及对教学素材的选择，本节课设计了三个层级的学习任务。

（一）多类素材表征，理解数意

为了帮助学生从更多层面建立数的组成模型，笔者选取了小方块、小棒、计数器、人民币、数轴等素材丰富学生对数的表征，让学生多维度感受数的意义。

【学习任务1】多形式表征三位数，深化对计数单位和位值的理解

[活动1：用结构化素材、顺序化素材表征数]

师（课件展示400 555 860 986）：老师给大家准备了小棒、小方块、计数器、人民币、数轴。请想办法把这些数表示出来。

生1：我用1根小棒表示100，摆4根小棒，就是400。

生2：我用的是小方块，1个小方块代表100，摆4个就是400。

生3：我用的是计数器，在百位拨4颗珠子，表示4个一百，就是400。

生4：我用的是人民币，4张100元就是400。

生5：我用的是数轴，一大格是100，4大格就是400。

师：有没有表示其他数的？

生6：先摆5个百，然后摆5个十，再摆5个一，就是555。

师：谁能用计数器拨出555？

生7：先在个位拨5颗珠，再在十位拨5颗珠，最后在百位拨5颗珠，合起来就是555。

师：仔细看看555这个数，它是不是有点特别？

生8：对，它的个位、十位、百位都有5颗珠。

师：都是5颗珠子，它们表示的意思一样吗？

生9：不一样。个位上的5颗珠表示5个一，十位上的5颗珠表示5个十，百位上的5颗珠子表示5个百。

[活动2：多维度表征数]

师：365可以表示生活中的什么？

生1：长度365米。

生2：365元。

生3：一年有365天。

师：数学中，365表示什么？

生4：365表示3个一百和6个十、5个一。

师（出示素材图，略）：你们看图中的365，有什么发现？

师：楼高365米意味着极高，收入365元则相对微薄，365天时间跨度较长，而365千克则显得相当沉重。这表明，在学习千以内数值时，我们不仅需要掌握其组成和读写方法，还需要将数值置于生活情境之中，理解它们所承载的多元含义。

（二）由一一对应到结构表征

数数内涵丰富而深刻，它贯穿整个小学数学的教学。通过数数活动，学生能够加深对不同计数单位的理解，同时构建不同三位数的形象，并锻炼读写数的技能。学习任务2主要以数数活动为载体，利用结构化的素材来表征和呈现数的概念。

【学习任务2】点子表征，长度估计，方块进位，感悟一千

[活动1：多种方法数数，体验九百九十九添1是一千]

师（出示有999个点的点子图）：怎么才能知道这里面有多少个点？

生1：一个一个地数。

生2：十个十个地数。

生3：一百个一百个地数。

师：谁的方法比较好？

生4：生3，因为一百一百地数比较快。

（生3上台数数，他先数出一行10个点，10行就是100个点，圈出100，一百一百地数，100，200，300，…，900）

师：怎么停下来了？

生3：因为剩下的不够100了。

师：那怎么办？

生3：十个十个地数。10，20，30，…，90。

师：怎么又停下来了？

生3：因为剩下的不够10了。

师：又该怎么办？

生3：一个一个地数。1，2，3，…，9。因此，这幅点子图一共有999个点。

师：还有比999更大的三位数吗？

生4：没有了。因为999再加1个一就是最小的四位数1000。

师：所以最大的三位数是九百九十九。刚才有同学说用计数器表示的话，九百九十九再添上1颗珠子就是四位数了，请试一下。

（学生边说边演示连续“满十进一”的过程，最后只剩千位上有1颗珠子）

师：现在计数器表示的数是多少？

生5：一千。

[活动2：结合数轴，感受计数单位“千”]

师（出示一条线段，略）：如果这条线段表示100，那1000大约有多长呢？

生1：10个一百的长度。

师：请数数看。

生2：100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000。

师（出示一条线段，略）：如果这条线段表示10，那么1000大概有多长？

生3：100个10。

师（出示一条线段，略）：如果这条线段表示1，那么你能用手表示出1000吗？

生4：不能，1000里有1000个一，太长了。

师（课件呈现：把线段变成数轴。如图1所示）：数轴上有多少个圆点？估一估。

生5：1000。

师：你怎么知道是1000？

生5：圆点明显比100多，一个框里有100个，每个框都有十行，每行10个，10个十是100。

师：你真会观察，一个框里刚好有100个圆点的秘密被你发现了。那1000里有几个10呢？

生5（边数边在课件上演示1个圆点、2个圆点……10个圆点盖在方阵上：10个十、20个十、30个十、40个十、50个十、60个十、70个十、80个十、90个十、100个十）：1000里有100个十。

【活动3：方块、计数器数数，再次感悟计数单位“千”】

师：你能从1数到1000吗？一个一个地数到一千，你觉得怎么样？

生1：太慢了。

生2：先一个一个地数，再十个十个地数。

师：一个小方块代表1，接下来我们先一个一个地数。

生3：1，2，3，…，8，9，10。

师：10个一是一十。

师：接下来你们还是打算一个一个地数吗？

生4：不，十个十个地数。10，20，30，…，80，90，100。

师：10个十是一百。接下来怎么数？

生5：一百一百地数。100，200，300，…，800，900，1000。

师：10个一百是一千。

师：你能在计数器上从1拨到1000吗？

生6：个位上先拨1颗珠子，就是1；个位上再拨9颗珠子，满十进一，就是10；百位上拔1颗珠子，就是100；百位上再拨9颗珠子，满十进一，即向前一位进一。

师：你知道这一位是什么位吗？

生6：千位。

师：通过三次满十进一才得到一千，这说明一千很大。

在活动二中，学生被要求分别以100、10、1为单位，用线段来估计1000的长度。这样做的目的是让学生通过将数值转化为长度，从而直观地看到数值大小与数值之间进率的关系，进而体会和理解十进制体系。同时，估计的过程能使学生在简单的情境中获得合理估算的能力。若学生能对数量的多少有一个大致的感受，并估出物体的大致数量，就说明他们已经构建了1、10、100、1000等数值的表象。在后续的数数练习中，笔者又增加了先估计数值、再进行数数的训练，以增强学生对数字的敏感度。为了引导学生进一步学习，笔者还开展了数方块和拨计数器的活动。与点子图相比，方块和计数器更能清晰地表达出位值制的概念，并且能够直观地展示十进制中“千”这个计数单位的由来，以及它与之前学习的其他计数单位之间的关系。

综上，对教学素材的整理和分类能够帮助教师整合资源，有效地培养学生的数感，也回答了“如何对数学内容相关的素材进行结构化整合来实现数感每个层次的目标”的问题。“千以内数的认识”教学课例探索了如何在课堂教学实践中有效利用教学素材，以助力学习目标的有效达成，在回答“有什么用”的同时也指明了“该怎么做”。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 刘加霞.小学数学概念实质分析：以自然数为例[J].新教师，2014（11）：31-32.

[3] 刘加霞.小学生数数活动的教育意蕴[J].湖北教育（教育教学），2021（6）：36-38.

（责编 吴美玲）