融合学科视角下数学习题的教学研究

2022年4月，教育部正式颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》，明确指出要将数学与其他学科知识综合运用，实施有效的数学跨学科学习，使学生形成关联的知识体系，提高义务教育阶段学生的核心素养。目前，数学融合类教学研究过少，因此研究数学教材中融合学科类习题的教学刻不容缓，对北师大版初中二年级数学教材融合学科类习题统计并分类，列举北师大版教材中的数学融合学科类题目，给出对应分析与教学建议，使初中二年级学生更好地将数学与其他学科灵活地结合起来，感受学科与学科之间的融合，在习题中提升学科融合的意识，发展和提高学生的数学核心素养。

1 问题的提出

学科融合是通过心理学和教育学方法对专业学科知识进行整合、学科内部知识的融合、学科专业知识与中学学科基础知识的融合、专业理论知识与教育实践的融合。数学教材中融合学科类习题是指教材中的数学习题与物理、语文、生物等其他学科知识融合，一起解决情境中的真实问题。《义务教育课程标准（2022年版）》（以下简称《义务教育新课标》）在核心素养的构成中明确“能够有意识地运用数学语言表达现实生活与其他学科中事物的性质、关系和规律，并能解释表达的合理性”。《义务教育新课标》在77页综合与实践中明确“整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合”。《义务教育新课标》在78页学业要求中明确“整合数学与其他学科的知识，完成跨学科实践活动，感悟数学与生活、数学与其他学科的关联，发展学习能力、实践能力和创新意识”。2019年12月，世界经合组织在巴黎总部发表的PISA2018中增加“全球胜任力”测试项目，其评估量包含跨文化知识这一要素，要求学生具有跨界性思维。因此，研究数学学科跨界、融合已经成为义务教育阶段数学课堂、练习以及课后作业的热点问题。本文选取北师大版初中二年级数学教材中习题为研究对象，分析在《义务教育新课标》颁布之后，如何将融合学科思想落实到习题教学当中，研究数学教材中数学融合学科类习题在教学中的应用发展刻不容缓。

2 初中数学习题与其他学科融合的原则

初中数学习题与其他学科融合要建立在一定的原则之上。遵循开放性原则、启发性原则、创新性原则，才能更好地将数学融合学科思想落实到数学习题教学中。

2.1 开放性原则

不是每一道数学习题都涉及学科融合，也不是每一道涉及学科融合类的习题都只涉及一个科目。所以，学科融合习题个数不同，涉及的科目也多样。涉及学科融合类的习题涉及的方面很多，对于教师和学生查阅资料的途径和手段也就很多，在数学融合学科类习题的教师讲解和学生完成中要遵循开放性原则，选择适当的方式进行数学融合学科习题教学。

2.2 启发性原则

在进行数学融合学科类习题教学时，要遵循启发性原则，引导学生积极主动地联系其他学科的知识，将生活与其他学科真正融合起来进行教学。比方说，数学应用题中蕴含着物理运动知识、语文文言文翻译、生物中植物生长知识，引导学生发现其他学科知识与数学知识融合在一起的美妙，激发学生对数学融合学科习题的探究欲望。

2.3 创新性原则

数学包含的知识点很多，它自身的学科特点也决定了学生在学习过程中会遇见很多问题，因此基于融合学科视角下开展数学习题教学，可以帮助学生降低学习难度，帮助学生寻找不同的视角解决数学问题，提高学生对数学知识的掌握，开展融合习题类教学，能够改变原有的灌输式习题教学。教师要从学生自身实际情况和融合习题类型及难度出发，开展专题式创新性的教学方式，学生可以积极快乐地掌握融合类知识，并激发解决数学融合类习题的欲望。

3 初中数学融合学科类习题的教学案例

通过对北师大版初中数学二年级教材统计，得到数学融合学科类习题共94道，将其分类为数学与物理、数学与地理、数学与语文、数学与生物、数学与历史、数学与化学，共六大类。下面将从每类数学融合学科类习题中分析并提出针对性融合学科习题教学的建议（见表1）。

3.1 融合物理知识，巧解数学问题

数学习题融合物理学科知识，需要学生对物理知识及公式有一定程度的掌握和应用，降低学生解决问题的难度，提高学生对数学及物理知识的掌握程度，巧妙地解决数学习题。

本类型题中涉及数学与物理知识，意图在于联系初中速度、路程、时间有关的物理知识，通过数学中学习的一元一次方程、二元一次方程组等来解决实际问题。

教学建议：考虑融合学科类型题目所在部分，如在习题部分，所以应在课堂练习或课后作业中进行，遵循融合学科教学的创新性原则，在课堂中进行时可以利用计算机在一体机进行简单建模并演示。做习题之前教师应向学生明确融合学科类习题的练习，遵循融合学科教学的启发性原则，启发学生融合物理知识解决数学问题。让学生回忆并梳理涉及相应阶段物理学科“机械运动”中速度、路程、时间的等相关知识，使学生通过融合学科类习题的练习沟通初中数学与物理知识之间的练习，提高解决真实问题的能力。

3.2 融合语文知识，突破翻译困难

数学学科融合语文学科的习题大都涉及翻译知识，这就需要学生掌握和熟记语文文言文中涉及的重点翻译字词，以及拓展阅读范围，了解数学古书和古人，可以突破数学融合习题涉及的翻译困难，提高文化素养。

本类型题中涉及数学与语文知识，意图在于考查初中文言文有关理解的语文知识，并通过数学中应用一元一次方程、二元一次方程组等来解决该问题。首先，数学教师在进行该习题练习和讲解前应查阅相关书籍，遵循融合学科的开放性原则，将涉及书籍的背景以及原问题呈现给学生。其次，应让学生运用学习的语文文言文知识自己尝试进行翻译，增加学生课堂主体性的参与。若学生的翻译大都出现错误，数学教师也可与语文教师商议，在语文阅读课堂中可以带领学生阅读书籍知识部分并进行翻译，增加对数学史的了解。最后，教师呈现标准译文，并运用对应数学知识解决该数学融合语文学科习题。

教学建议：因为题目所在部分，如在习题部分，遵循融合学科教学的开放性原则，借助网络或书籍查阅资料，所以应在教师指导的课堂练习或课后作业中进行。利用数学中二元一次方程组等数学知识解决该问题之前，先引导学生利用语文文言文知识进行翻译，遵循融合学科教学的启发性和创新性原则，丰富教学方式，注重问题导向，从文言文中的数学问题出发，开展跨学科方式的练习与学习。

3.3 融合地理知识，巩固学习重点

数学学科融合地理学科，地理学科蕴含的基础知识及方位感对数学习题教学有较大的帮助。本类型题中涉及数学与地理知识，意图在于联系初中一年级上册经度与纬度等有关的地理知识，通过数学中学习的位置与坐标等来解决该问题。

教学建议：因为该类型题目所在位置，如在习题部分，需要用到世界地图与中国地图，所以应在课后作业中进行。做习题之前教师应向学生明确融合学科类习题的练习，让学生自己回忆并梳理涉及相应阶段地理学科“地球的面貌”中经度与纬度以及“认识大洲”中亚洲的等相关知识，学生通过融合学科类习题的练习学习初中二年级数学与初中一年级地理知识，遵循融合学科教学的创新性原则，体会地理与数学密不可分的思想，形成跨学科的应用意识与实践能力。但有些内容出现需要教师考虑调换位置，如某习题在初中二年级上册数学教材中出现，在湘教版初中二年级下册地理教材第五章“中国的地域差异”中才学习到南方地区的相关知识，湘教版初中二年级下册地理教材中在第七章“认识区域：联系与差异”中学习长江三角洲区域概况才涉及解决和应用该问题，因此该问题或者该习题提出设置应考虑学生已有的地理知识，遵循学科教学的启发性原则，教师应进行引导和帮助。

3.4 融合历史知识，提高文化素养

数学学科融合历史学科的习题教学涉及数学史的教学，了解数学知识发生、发展的过程，体会数学家锲而不舍的探索精神，深挖数学习题背后蕴含的理性精神和人文精神。

本类型题目中涉及数学与历史知识，意图在于联系初中历史教材中秦朝等历史知识，通过数学中学习的数据分析等知识来解决真实的问题。如部编版初中一年级上册历史教材，学生在第三单元“秦汉时期：统一多民族国家的建立和巩固”的第9课“秦统一中国”和第10课“秦末农民大起义”中学习了秦朝从统一大业到灭亡的历史过程。联系数学知识，解决八年级中章节学习的是平均数、中位数与众数的相关知识。

教学建议：因为该类型题目所在位置，如在复习题部分，并且涉及学生可以回顾复习的历史知识，所以应将该题目放至课后作业完成。例如，要求学生完成该题目之前应让学生明确本题目为数学融合历史学科类习题，遵循融合学科教学的开放性，让学生有意识去回顾初中一年级历史第三单元“秦汉时期：统一多民族国家的建立和巩固”的第9课和第10课，在学生有余力的情况下或历史复习课堂上，可以让学生自己建立秦朝从盛到衰的知识框架，以达到完成数学习题的同时也巩固了历史知识的目的。并且在部编版初中一年级历史教材第三单元第9课的“知识拓展”环节也向学生普及了“举世闻名的秦陵兵马俑”，在数学课堂中教师就可以提及这部分内容，引导学生课后找出课本梳理秦朝由盛到衰的知识框架，达到融合学科的目的，搭建数学与历史学科的联系。但这需要数学教师对历史教材达到熟悉的程度，也需要数学教师与历史教师的合作交流，因此想要使此类题目发挥融合学科的作用，需遵循融合学科教学的开放性和创新性原则，也需要丰富各科教师的知识面。如何较好地做到这一点，值得各位一线教师和研究者的进一步思考研究。

3.6 融合生物知识，拓展自然知识

数学学科融合生物学科的习题教学重点在拓展自然常识，在对数学习题教学的同时对所涉及的生物知识进行系统巩固，增加教学趣味，发现自然之美。

本类型题中涉及数学与生物知识，意图在于使学生回忆初中一年级绿色植物的生长等相关的生物知识，通过数学中一次函数等相关知识来解决该实际问题。例如，人教版初中一年级上册生物教材中，在第三单元“生物圈中的绿色植物”中学习了种子植物、裸子植物、被子植物种子的结构及其萌发的环境条件、自身条件、过程，还学习了植株的生长、开花和结果。利用数学知识，在八年级章节学习的是一次函数，来解决此问题。

教学建议：考虑该题目所在位置，如在习题部分，并且涉及初中三年级的化学知识，所以应在课堂练习中进行。进行该习题时，应首先让学生独立思考并尝试解决该数学问题。其次，考虑到此题目涉及初中三年级化学知识，学生还未进行系统性的学习，所以教师在讲解习题时应向学生提及在下一年的化学学习中将会学习到溶液的溶解、溶质质量分数等相关知识和计算公式，遵循融合学科教学的启发性原则，引起初二年级学生对初三年级化学知识的好奇心。在讲解完习题之后也可以向学生提出“如果一直向原本的糖水中加糖，加到足够多时，糖水达到饱和，糖将不会溶解”这种引发学生求知欲的问题，让学生带着疑问进入初中三年级化学知识的学习中。当然这也需要数学教师与化学教师的合作配合，在化学教师讲授该章节时，可以提及该数学问题，遵循开放性的融合学科教学原则，让学生对分式的加减法进行简单回顾。

4 初中数学融合学科类习题的教学建议

根据数学融合学科类习题教学的统计和研究，依次从备课、教学、课后作业三个大环节提出总述的教学建议，这部分教学建议可适用所有数学融合学科类习题教学。

4.1 找出融合学科类习题，增加各个学科知识面

教材中的数学融合学科类例题与习题的数量还是占据一定比例的，所以对教师了解涉及其他学科知识的要求还是比较高的。“备教材”时，教师需要先找出融合学科类习题，遵循开放性原则，阅读其他学科教材，知道数学融合类别、习题涉及的其他学科的知识位于其他学科教材中的位置，以免在讲解时学生对其他学科知识没有印象，同时促进数学学科走向综合化；“备学生”时，教师需要知道学生在目前阶段是否对涉及的知识有了解，是否需要数学教师进行补充，遵循启发性原则，将数学融合理念在教案中有所体现。

4.2 借助其他学科知识，提高问题解决效率

在数学融合类习题中会涉及数学与其他学科的知识应用，可以打破不同学科与数学没有关联的问题，使学生形成更加完整、更加系统的融合学科知识体系，加强数学融合学科的学习。数学融合学科类习题的教学既能够梳理该章节的数学知识，也能够梳理涉及的其他学科的某章节知识，可以将不同学科之间的章节知识通过知识框架建立联系，提高解决问题的效率。

（1）借助文科知识，将文化素养渗透数学课堂

逻辑性和理性思维是数学学科所要追寻的，感性是语文学科蕴含的，脉络和规律性是历史学科遵守的。数学和语文、历史看似有不可逾越的鸿沟，但实际上两两之间，甚至是三者之间存在很多的交集。所以，数学学科应通过语文学科涵养心灵，数学学科应通过历史学科明晰数学产生和发展的脉络，以此促进文科与理科真正的融会贯通。

数学教师接受师范教育时不应只对自己所学科目进行了解和研究，应选修语文、历史、地理等学科，学习基础知识，扩大知识层面。进入教师工作后，数学教师也不应只专注数学知识和例题、习题的备课，还应该看一些有关历史、语文、政治、生物等方面的书籍，至少做到在涉及数学融合学科类问题时，能够明确的解释出涉及的其他学科的相关内容。

学生在学习数学过程当中，也应把其他学科涉及的知识形成一个整体的脉络，涉及数学融合学科知识内容时，应明确地知道题目不仅仅单纯考查数学知识点，也在考查涉及的其他学科的知识，有融合学科的意识，这样才能使学生全面发展。

（2）融合理科知识，将逻辑思维贯穿始终

实践性、严谨性、逻辑性是理科学科追寻的，物理、化学、生物学科知识中有很多是需要动手实验、归纳推理得到的。数学和物、化、生联系紧密，其严谨的逻辑思维贯穿始终。所以，数学学科应与其他理科学科互融互通，促进学生的跨学科素养和数学核心素养的发展，增强学生的思考、动手能力。

数学教师接受师范教育时应对理科科目有贯通的学习，据了解，数学与应用数学、信息与计算科学、统计学都在大二期间开设了大学物理学科的学习，还应按照自身情况选修生物、化学等理科学科，将理性思维贯穿终身，开拓自身视野。进入教师工作后，数学教师也应了解物化生对应阶段的教学内容及核心素养，做到遇到数学融合学科习题时，能够清楚地知道涉及的相关公式和基础知识，提高教师和学生处理问题的能力。

让数学融合学习真正在数学习题课堂中真实发生，引导学生建立大单元或融合学科类知识框架，建立数学与其他理科学科之间的知识体系，形成融合学科的数学思维。在数学融合类习题中会涉及数学与其他学科的知识应用，可以打破不同学科与数学没有关联的问题使学生形成更加完整、更加系统的融合学科知识体系，加强数学融合学科的学习。

4.3 合理设置课后作业，驱动学生融合探究意识

在课后作业中适当增加习题个数，可以通过恰当地改编习题或适当增加数学融合学科类习题进行，通过在课堂中典型例题与习题的练习增强融合学科的意识。课后作业留有足够的开放性，学生通过查阅资料对某部分数学知识的产生和由来产生好奇心和探究欲望，遵循数学融合学科习题教学的启发性原则，加强对有所涉及学科对应部分知识的学习，借助数学融合习题作业引导学生形成数学融合学科的意识，能够用数学的眼光观察融合学科题目，一定程度上可以帮助偏科学生找回自信。

通信作者：谷焕春

（作者单位：聊城大学数学科学学院）