常微分方程中的生物数学模型及其在教学中的应用

摘 要 常微分方程作为数学课程中的一门重要基础课程，在提高学生综合素质方面具有举足轻重的作用。文章基于以学生为中心的教学理念和金课“两性一度”的建设要求，针对传统常微分方程教学中存在的问题，以两种群Lotka-Volterra生态模型和人口预测模型为研究对象，探索了生物数学模型在教学中的具体应用，旨在帮助学生更好地掌握该课程的基础理论，激发学生对该课程的学习兴趣，提高学习效率，并培养学生解决问题的能力。

关键词 常微分方程；教学研究；生物数学模型

中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.18.030

Bio-Mathematical Models in Ordinary Differential Equations and

Their Application in Teaching

QIN Wenjie， WU Xingxiao， LI Huimin

（School of Mathematics & Computer Science of Yunnan Minzu University， Kunming， Yunnan 650504）

Abstract Ordinary differential equations， as an essential foundational course in mathematics， play a crucial role in enhancing students' overall qualities. This article， based on a student-centered teaching philosophy and the construction requirements of the "two genders， one degree" curriculum， addresses issues in traditional ordinary differential equations teaching. Focusing on two types of mathematical models-the Lotka-Volterra ecological model and a population prediction model - the study explores the specific applications of biological mathematical models in teaching. The aim is to help students better grasp the fundamental theories of the course， stimulate their interest in learning， improve learning efficiency， and cultivate their problem-solving abilities.

Keywords ordinary differential equations; teaching research; Bio-Mathematical Models

1 常微分方程的重要性

2018年，在新时代全国高等学校本科教育工作会议上，教育部提出，对于现代大学生，应有效地增加他们的课业负担，将一些传统的水课转变为金课[1]。自从金课提出以来，各个部门一直在不断推行并落实这一政策。教育部于2020年11月24日公布了被评为国家级一流本科课程的名单，其中包括了常微分方程这门非常重要的课程。

常微分方程是指只有一个自变量的微分方程。著名数学家塞蒙斯曾说过：“近三个世纪以来，微分方程不仅是分析学的核心，也是高等分析中大多数理论和思想的根源。”[2]常微分方程是数学中与实际应用直接相关的基础课程，在许多学科领域中都有着极其重要的应用。常微分方程源于生活，同时也应用于生活。许多自然界规律的微观表示就是微分方程，因此为了更好地将这些规律呈现在人们面前，并解决生活中的实际问题，我们需要深入学习常微分方程的理论知识，并分析不同函数所对应的微分方程的相关性质。

2 生物数学模型引入微分方程教学的必要性

交叉学科是指不同学科之间相互融合而形成的新兴学科[3]。它不仅强调对单一领域的研究，还注重培养学生的跨领域思维和建立知识框架结构的能力。国务院学位委员会和教育部于2021年1月正式将交叉学科设立为我国的第14个学科门类，并在同年12月发布的《交叉学科设置与管理办法》中指出，交叉学科的设置必须坚持高起点和高标准，严格把控质量关口。另一方面，习近平总书记多次强调“要下大气力组建交叉学科群”。发展交叉学科有助于实现不同学科之间的融合与创新，发挥各个学科潜在的优势，推动科技的发展。

生物数学是近年来兴起的交叉学科，是一种利用数学知识和方法来分析解决自然界中复杂问题的学科[4]。至今，生物数学已经逐渐完善，并在生物学、农学、神经学和医学等各个领域广泛应用。虽然涉及范围较广，但在应对实际问题时，主要方法都是通过建立研究对象的相关数学模型，并对模型加以分析，得出具有参考价值的结论或策略。一个科学合理的数学模型能够准确反映问题的本质，因此建立模型是至关重要的一步，这需要大量微分方程及其定性理论的相关知识，通过对模型的讨论，最终将现实问题转化为求解微分方程的问题。

针对特定的情况，将微分方程理论知识与生物数学模型结合，能够将抽象的问题具体化，便于我们直观地分析问题。对于学生的理论学习，以及对问题中关键因素的探索都是有帮助的。

3 生物数学模型在常微分方程教学中的实际应用

为了学生更好地掌握和应用相关理论知识，教师可以在教学过程中引入适当的生物数学模型。

3.1 在概念教学过程中引入生物数学模型

教师可以引入合适的生物数学模型帮助学生深入理解抽象的概念[5]。例如在讲解常微分方程的奇点定理和驻定性理论时可以给学生讲解文献[6]中提到的两种群的Lotka-Volterra模型：

（1）

其中和分别表示在时刻两种群的数量；和分别表示两种群的内禀增长率；和分别表示两种群内部的作用系数；表示物种2对物种1的作用系数；表示物种1对物种2的作用系数。

由（1）式可以引出常微分方程组以及微分方程组驻定性的定义。例如，在（1）中的参数都是与无关的常数，所以是驻定的。同时可以引导学生根据（1）式探究两种群的Lotka-Volterra竞争、捕食、合作模型。

当两种群间是竞争关系时，每个种群除了受种内制约因素的限制外，两种群之间还彼此制约，所以、、和前面的符号都是负的，可得Lotka-Volterra竞争模型：

（2）

同理可得Lotka-Volterra捕食和合作模型。

进一步分析模型（2），通过求解，可知（2）式存在四个平衡点，分别为零平衡点，边界平衡点和，以及内部平衡点，在此处可引入奇点，并说明奇点在该模型中的实际意义，让学生更深入地理解奇点。例如表示的是在两种群的竞争过程中，种群1处于劣势地位，随着时间的推移，种群1最终趋于灭亡。

3.2 在定理教学过程中引入生物数学模型

在理论教学中引入生物数学模型，并以提问的方式讲解相关的定理知识，最后引导学生用理论知识解决实际问题。例如以（2）式为例引导学生探究两种群的竞争动态以及两种群的竞争动态和奇点的关系，从而引出雅可比矩阵、Hurwitz判据和零解稳定性定理。

先向学生介绍雅可比矩阵的定义，并以为例引导学生求解（2）式在平衡点处的雅可比矩阵：

再计算该矩阵的特征方程：

（5）

以此介绍零点稳定性定理和Hurwitz判据。由Hurwitz判据，当

时，有，所以（2）式在处特征方程的根都有负实部，可得奇点是渐进稳定的。

在进行定理教学之前引入合适的数学模型，再对模型进行分析，从而引出需要探究的问题，由此引出定理，再用定理解决需探究的问题，这不仅能让学生意识到理论知识的实用性，而且可以提高学习效率。

3.3 在解题方法的教学过程中引入生物数学模型

在讲解这部分的内容时，教师通常是直接给出相关类型的微分方程，然后对该方程进行求解，这忽略了从实际问题中提取微分方程的过程[7]。这样的教学方式往往只追求教会学生如何求解现有方程而忽于应用。因此，教师在讲解生物数学模型时可结合实例，让学生认识到解题方法在解决实际问题时的重要性。例如，在讲解 “变量分离法”时，可引入马尔萨斯的人口预测模型

（6）

其中表示时刻的人口总量，表示人口增长率。设时人口为，可解得通解为

（7）

可以看出人口增长速度不断加快，但人口增长受环境、经济、医疗等因素影响，导致不是一个常数。

引入Logistic人口模型。假设人口最大容纳量为，则

（8）

若时总人口为，则可解得

（9）

由此可知，当时人口的增长速度为零；当时出现负增长。

这不仅能让学生更好地掌握解题方法，而且可提醒学生知识来源于生活也将应用于生活。

3.4 在知识应用过程中引入生物数学模型

在培养学生解决实际问题能力的过程中，教师可把学生分成几个小组，提出生活中的实际问题，让学生以小组为单位建立相应的数学模型并分析，例如传染病模型可以让学生仿照人口增长模型进行建模并分析[8]。

学生应用所学知识，分析数学模型并解决实际问题，深入理解现实生活中传染病相关数据指标所代表的意义，根据官方公布的数据指标科学地观察传染病传播趋势，增强防控意识，并积极响应国家的号召，这样可以在教学中自然地融入课程思政理念。

4 结语

本文首先强调了常微分方程的实用性以及国家对该课程的重视。然后，从生物数学模型与微分方程的联系出发，说明了将生物数学模型引入常微分方程课程教学的必要性。最后，探讨了生物数学模型在常微分方程教学中的具体应用。

在教学中引入生物数学模型是践行“以学生为中心”教学理念的一种体现。在教学中引入适当的生物数学模型，可以让学生认识到常微分方程来源于生活并应用于生活，意识到学习该课程的重要性。在教学过程中，教师可以利用生物数学模型引导学生以解决实际生活问题为导向，既激发了学生的求知欲，又提高了他们应用所学知识解决问题的能力。将生物数学模型引入课堂中，可以将抽象知识具体化，极大地帮助学生理解和掌握相关知识。

在常微分方程教学中引入生物数学模型的同时，可结合计算机数学软件的应用，帮助学生在掌握各种理论知识的同时提高解题能力，促进学生全面发展。

*通信作者：李慧敏

基金项目：云南省第三批本科省级一流本科课程“常微分方程”；云南省研究生优质课程“生物数学原理”“高等数理统计”“高等概率论”；国家自然科学基金地区基金“云南生物多样性与害虫治理复杂关联的数学模型研究”（12261104）。

参考文献

[1] 陈怡静，刘娲路，张彩贞.高校英语金课建设的现实困境与实践路径[J].教育教学论坛，2020（28）：336-337.

[2] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3] 郝婷，郭凯锋，宋广林，等.我国农林高校发展新兴交叉学科的思考[J].高教学刊，2023，9（14）：17-20，25.

[4] 周玉梅.浅谈生物数学的发展及应用[J].课程教育研究，2018（14）：181-182.

[5] 冯涛.浅谈生物数学建模方法在常微分方程教学中的应用[J].科技视界，2022，31：105-107.

[6] 杨谦.Lotka-Volterra模型的扩展与应用研究[D].南昌：江西财经大学，2022.

[7] 蒙丽宇，张林，韦璎，等.基于混合式标准模式和数学核心素养下常微分方程标准的改革[J].大众标准化，2021（19）：115-11.

[8] 王金妮.数学建模思想在常微分方程教学中的应用[J].中国新通信，2021，23（16）：177-178.