辅助圆模型在初中数学解题中的应用探究

【摘要】辅助圆模型在初中数学解题中的应用是一个备受关注的研究领域.本文以对角互补、定弦定角、定点定长三种构造方式为切入点，通过三个例题探讨了辅助圆模型在解决几何问题中的作用和应用，旨在推动辅助圆模型在初中数学教学中的应用，培养学生的数学思维和解决问题的能力.

【关键词】辅助圆模型;初中数学;教学策略

在初中数学教学中，辅助圆作为一种重要的解题工具，被广泛应用于各种几何题型的解决过程中.辅助圆模型是指利用与给定图形相关的圆来辅助解题的方法.经过教学实践和研究，发现辅助圆模型对于提高学生的几何问题解决能力和空间想象力具有显著的促进作用.

1 对角互补构造辅助圆

对角互补方式是利用“若四边形对角互补，则四点在同一圆上”的性质构建辅助圆.通过连接对角的顶点，构造出一个直径，从而得到一个与原图形相关的圆.

例1 如图1，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠AABE=20°，则∠AOE的大小是（ ）.

（A）10° （B）15° （C）20° （D）30°

图2

解 如图2，取BE的中点K.连接AK、OK.因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAE=90°，因为EO⊥BD，所以∠BOE=90°，所以四边形ABOE对角互补，所以A、B、O、E四点共圆，因为BK=KE，所以KA=KB=KO=KE，所以∠ABE=∠AOE=20°.

本题构造对角互补模型是解题的关键，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，定边对定角确定点O的运动路径.

2 定弦定角构造辅助圆

固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分.据此性质，可以唯一确定一个与原图形相关的圆.

例2 如图3，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 .

图4

分析 由∠AFC=90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与点B重合时，此时点F与点G重合，当点E与点D重合时，此时点F与点A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为AG的长，然后根据条件求出AG所在圆的半径及其所对的圆心角，从而解决问题.

解 因为CF⊥AE，所以∠AFC=90°，则点F在以AC为直径的圆上运动，此时以AC为直径画半圆AC，连接OA，当点E与点B重合时，点F与点G重合，当点E与点D重合时，点F与点A重合，因此点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为AG的长.因为点G为OD的中点，所以OG=12OD=12OA=2，又因为OG⊥AB，所以∠AOG=60°，AG=23，已知OA=OC=4，所以∠ACG=30°，AC=2AG=43，因此AG所在圆的半径为23，圆心角为60°，此时AG的长为60π×23180=23π3.

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，定角对定弦，弧长公式等知识，确定点F的运动路径是解题的关键.

3 定点定长构造辅助圆

定点定长方式是利用一个固定的点和与之连线长度相等的线段来构建辅助圆.通过选择一个定点和指定长度，我们可以画出与原图形相关的圆.

图5

例3 已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，2a>b.求cos∠DBA的值.

分析 欲求∠DBA的余弦值，需将已知条件构建到一个直角三角形中求解；已知四边形ABCD中，AB=AC=AD；若以A为圆心，AB为半径作圆，则此圆必过C、D；延长BA交⊙A于E，则BE为⊙A的直径，连接DE，在Rt△BDE中，已知BE=2a，需求出BD的长；根据DC∥AB，易证得DE=BC=b，则根据勾股定理即可求得BD的长，由此得解.

图6

解 以A为圆心，以a为半径作圆.如图6所示.延长BA交⊙A于E点，连接ED；因为AB∥CD，

所以∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；又因为AC=AD，∠DCA=∠CDA，所以∠DAE=∠CAB；在△DAE和△CAB中，

AD=AC∠DAE=∠CAB；AE=AB

所以△DAE≌△CAB，

所以ED=BC=b.又因为BE是直径，所以∠EDB=90°，在Rt△EDB中，ED=b，BE=2a，由勾股定理得ED2+BD2=BE2，因此BD=BE2－ED2=（2a）2－b2=4a2－b2，则cos∠DBA=BDBE=4a2－b22a.

此题主要考查了圆周角定理、勾股定理以及全等三角形的判定；能够通过辅助线构建出⊙A是解答本题的关键.

4 结语

在初中数学教学中，辅助圆模型作为重要的解题工具，为学生提供了一种更直观、更灵活的解决几何问题的方法.本文揭示了辅助圆模型在几何解题中的重要作用.未来有待于进一步的拓展和深化，完善其在数学教学中的运用.

参考文献：

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