借助开放式题型提高初中生数学解题能力

【摘要】初中数学解题教学中，培养学生解题能力是非常重要的内容.而在培养学生解题能力的过程中，培养学生解题思维能力是非常重要的.开放式题型具有明显的探索性质，能够有效激发学生的探索兴趣，从而激发学生的思维，实现对学生的解题能力进行更好的培养.本文通过开放式例题对初中解题教学中提升学生解题能力的策略进行说明.

【关键词】初中数学；解题教学；开放题型

开放式题型是相对闭合式题型而言的，开放式题型存在条件不完整或者结论不完整的情况，从而形成条件开放、结论开放或者策略开放的情况.同时，开放式题型解题过程中需要学生充分应用所学的数学知识和数学思想方法进行问题的观察、对比分析，从而得到结论，更加注重学生分析问题和解决问题的能力，所以通过开放式题型进行解题教学对提升学生解题能力有非常重要的作用.

1 以条件探索型开放式题型提升学生的解题认识

例1 已知圆O1与圆O2外切，圆O1的半径为1cm，圆O2的半径为3cm，一个半径为5cm的圆O3与圆O1和圆O2都相切的情况下可以作出的图形有多少种？

图1

分析 本题对圆O3与圆O1和圆O2相切的情况并没有进行明确，所以在解题过程中就需要对圆O3分别和圆O1、圆O2属于内切还是外切进行讨论.当圆O3与圆O1、圆O2都是内切的情况时，因为圆O1的半径为1cm，8b9e5348406e216781dc551f3bfd489a圆O2的半径为3cm，两个圆的半径之和小于圆O3的半径，所以会形成两种图形；当圆O3与圆O1、圆O2都是外切的情况下，也会形成两种外切的图形；当圆O3与圆O1内切，与圆O2外切，则会形成1种图形，同理当圆O3与圆O2内切，与圆O1外切也会形成一种图形，所以通过对上述不同相切方式形成的图形进行统计，圆O3与圆O1和圆O2都相切的情况有6种.如图2所示.

图2

通过条件探索型开放式题型来对学生进行解题教学，可以让学生更加深刻地理解解题条件在解题中的重要作用，从而让学生明确初中数学解题就是根据已知条件来进行相关问题求解的过程，让学生对解题有更加准确的认识，掌握解题的内涵，实现提升学生的解题能力.

2 以结论探索型开放式题型来培养学生解题思维的灵活性

例2 阅读问题（1）的解答过程，然后进行问题（2）的解答.

（1）已知实数a，b满足a2=2－2a，b2=2－2b，且a≠b，求ab+ba.

解法1 由a2=2－2a，b2=2－2b，

可得a2+2a－2=0，b2+2b－2=0，且a≠b，

所以可以将a，b作为方程x2+2x－2=0的两个不相等的实数根，

根据韦达定理可知a+b=－2，ab=－2，

原式ab+ba=a2+b2ab=（a+b）2－2abab=（－2）2+4－2=－4.

解法2 将a2=2－2a，b2=2－2b两式相减，

可得（a2－b2）+2（a－b）=0，

整理可得：（a－b）（a+b+2）=0.

因为a≠b，

所以a+b+2=0，解得a+b=－2.

将两式相乘可得a2b2=（2－2a）（2－2b）.

整理可得：（ab）2－4ab－12=0，

解得ab=6或ab=－2.

结合a+b=－2可知ab=6不成立，

所以a+b=－2，ab=－2.

原式ab+ba=a2+b2ab=（a+b）2－2abab=（－2）2+4－2=－4.

（2）已知实数p，q满足p2－2p－5=0，5q2+2q－1=0，求p2+1q2.

分析 通过对（1）的两种解题过程进行分析可以发现，解法1是通过构建一元二次方程的方式，通过韦达定理来进行问题的解决，相对于解法2更加简单.同时通过对问题（1）和（2）进行对比发现（1）中的条件在（2）中没有存在类似的条件，所以解题过程中需要对p≠1q与p=1q两种情况进行分类讨论.同时在解题过程中还需要对5q2+2q－1=0的格式进行调整，转化为（1q）2－2×1q－5=0.

解 根据题意可知q≠0，

可以将5q2+2q－1=0转化为（1q）2－2×1q－5=0，

当p≠1q时，可以将p，1q作为方程x2－2x－5=0的两个不等实数根.

由韦达定理可得p·1q=－5，p+1q=2，

原式p2+1q2=（p+1q）2－2p·1q=22－2×（－5）=14.

当p=1q时，则p，1q为方程x2－2x－5=0的一个根，

所以p=1q=1±6.

原式p2+1q2=2p2=2（1±6）2=14±46.

显然，这类结论探索型开放式问题中会存在较多的思维方式，不同的思维方式情况下会形成不同的解题思路，从而实现通过不同解题方式来进行问题的解决.教师在解题教学过程中可以通过这类试题来培养学生一题多解的能力，通过拓展学生解题思路的方式来进一步提升学生的解题能力.

3 结语

综上所述，本文以初中数学中常见的条件探索型和结论探索型开放式题型的例题来对初中数学解题教学中通过开放型试题来提升学生的解题策略进行了说明.在解题教学中，通过条件探索型开放型试题能够更加有效的提升学生对数学解题的认识，让学生更好地掌握解题方法，而通过结论探索型开放型试题能够有效激发学生的思维，从而通过不同方式来进行试题求解，通过两种方式的有效结合，有效的提升了学生的解题能力.

参考文献：

［1］钟钢.从培养思维能力的角度谈初中数学开放题型教学［J］.文理导航（中旬），2014（07）：24.

［2］徐纪兵.巧妙设计，用开放型题培养思维能力［J］.文理导航（中旬），2014（09）：17.

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