初中数学常用的解题技巧探讨

【摘要】初中数学题目类型多种多样，为了提升解题效率，在解题过程中应当有效运用解题技巧，增强解题的灵活性，实现快速解题.

【关键词】初中数学；解题技巧；方程组

初中数学作为基础数学教育的重要组成部分，不仅培养学生的基础数学知识，更重要的是传授学生掌握常用的解题技巧.代数方程是初中数学中的重要部分，在解决实际问题中应用广泛.

例1 若不论k取什么实数，2kx+a3－x－bk6=1（a、b是常数）的根均为x＝1，那么a、b的值是 .

解析 在解代数方程时，要求掌握等式的性质和基本的代数运算，解题时可以移项，将方程中的同类项进行合并，使得方程的右侧只剩下常数，左侧只剩下含未知数的项.合并同类项，简化方程.对方程进行变形，使其满足一元一次方程的标准形式，从而求解未知数.当一个方程中存在两个未知数时，可以通过代入法消去一个未知数，从而求解另一个未知数［1］.不等式与最值问题也是初中数学中常见的问题类型，解题时要求理解不等式的性质，并能够求解最值.找出临界点，将不等式进行分段讨论，从而简化问题.当需要求解最值时，可以利用基本不等式进行求解.在解决不等式问题时，需要进行加、减、乘、除等代数运算［2］.

解 将x＝1代入原方程，得出（b＋4）k＝7－2a，

为了使得等式（b＋4）k＝7－2a满足k取什么实数都成立，

则b+4=07－2a=0

解得a=72，b=－4

例2 如图1，AB为圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切圆O于点D，过点B作AC的垂线交CD于点E，如果AB=CD=2，那么CE的长为（ ）

（A）1. （B） 5－12.

（C）5－52. （D）5+52.

解析 连接半径OD，由于CD切圆O于点D，根据切线性质，可知OD垂直于CD.又因为AB是圆O的直径，BE垂直于AC，可以得出∠CBE =∠ODC=90°.由于∠BCE和∠BCD是同角，所以△BCE和△DCO相似，由此可以得出CE=5－52.

图2

例3 如图2，点P为x轴正半轴上的一个动点，若过点P作x轴的垂线PQ交反比例函数y=kx于点Q，连接OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）？

（A）逐渐增大. （B）逐渐减小.

（C）保持不变. （D）无法确定.

解析 函数与图像知识是初中数学中的重点和难点，也是后续学习的基石.在解决函数与图像问题时，需要学生掌握函数的性质，了解图像的特点，在解题过程中观察图像，可以直观地了解函数的性质和特点.根据函数奇偶性、单调性等性质，判断函数的图像［3］.

解 设点P的坐标为（x，0），其中x >0.由于PQ是垂线，所以Q的坐标为x，kx，

根据直角三角形的面积公式，SRt△QOP=12×OP×PQ=12×x×kx=k2，

由于k是常数，所以当点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积保持不变.选C.

图4

例4 在有一个直角坐标系xOy中，A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q是线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P.点Q在运动过程中，OP瘙簚OQ的值如何变动（ ）？

解析 在解决几何问题时，要求掌握基本的几何定理与性质，观察几何图形，直观地了解图形的性质和特点.根据勾股定理、相似三角形定理等基本定理，证明或求解几何问题.在解决几何问题时，也可以利用代数方法进行求解.利用坐标系和代数方程表示几何图形与性质［4］.

解 分析题意，点Q在线段AB上运动时，OP·OQ的值不变.

证明如下：将PC、DC连接

因为OCOB=ODOA=13，∠COD＝∠BOA＝90°

所以△COD∽△BOA，

所以∠1＝∠A，

因为O、C、P、D四点共圆，所以∠1＝∠2，

所以∠2＝∠A，

因为∠POC＝∠AOQ，

所以△POC∽△AOQ，

因为OCOQ=OPOA，

所以OP·OQ＝OC·OA＝36，

图5

题目 解以下方程组：

（1）y=7－3x6x－5y=7

（2）4x－y－1=31－y=2.

x2+y3=2

解析 在初中数学中，解方程组是常见的题型，解题时可以采用观察法，观察方程组的形式与特点，直接写出方程组的解，此种方法适用于线性方程组等一些简单的方程组.也可采用加减消元法与代入消元法等消元法，消除某些变量，将方程组转化为更简单的形式.加减消元法将方程进行加减，消除某些变量.代入消元法将一个方程的表达式代入另一个方程，消除某些变量.

结语

初中数学题目类型多样，不同的题目涉及的考点有所不同，在解题过程中，有效梳理题目中的相关条件，运用相关解题技巧，可以更好地理解与运用数学课程知识.

参考文献：

［1］黄智增.穷则变变则通——“构造法”巧解初中数学题举隅［J］.初中数学教与学，2023，（15）：25-27.

［2］张静.谈初中数学解题技巧学习的重要性——以“一元二次方程”为例［J］.数学之友，2023，37（04）：44-46.

［3］花萌.基于创新思维能力培养的初中数学一题多解探索［J］.数学学习与研究，2022，（30）：158-160.

［4］郑占厦.对初中数学陷阱题及其设计的研究［J］.数学之友，2022，36（24）：49-51.